第6讲　函数的概念及其表示方法课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示方法”专题，依据高考评价体系梳理了函数概念理解、定义域求解、解析式求法、分段函数应用四大核心考点，通过教材经典题改编及模拟题分析，明确定义域和分段函数为高频考点，归纳出选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养渗透”，如通过含参数二次函数定义域分类讨论、分段函数求值等典型题型，培养学生数学思维和符号表达能力。特设易错点警示和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第二章 第6讲　函数的概念及其表示方法 基本初等函数 1 1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是 (　　) D 2．(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是 (　 　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 AD (－∞，1)∪(1，4] 【解析】 　　　　由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26． 26 5．(教材经典题改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝ min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝____________________________________． 【解析】 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个________的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__________，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的________ 三要素 (1) 函数的三要素：__________、____________、________． (2) 如果两个函数的__________相同，并且____________完全一致，那么这两个函数为同一个函数 表示方法 (1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法 非空 唯一 定义域 值域 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 注意： (1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．定义域的求法 (1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1． (2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 目标 1 对函数概念的理解 1 B 　　　(2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是 (　　) 【解析】 　　　　对于A，当0＜x≤4时，每个x对应两个y，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除； 对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确． D 1 变式1　(1) 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，下列能表示从A到B的函数的是 (　　) C．f：x→y，y＝2x　 D．f：x→y，y＝x 【解析】 对于B，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意； 对于C，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意； 对于D，若f：x→y，y＝x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意． 【答案】 A 变式1　(2) (多选)下列说法正确的有 (　 　) 【解析】 对于B，函数v(x)＝x2－2x＋2与u(t)＝t2－2t＋2定义域相同，对应关系一致，所以是同一个函数，故B正确； 对于C，根据函数的定义可知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点，故C正确； 【答案】 BC 目标 2 函数的定义域 2 【解析】 【解析】 2 D 　　　(3) 已知函数f(x＋1)的定义域为(－5，0)，则f(2x－1)的定义域为 (　　) 【解析】 2 B 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的取值集合． A．[2，＋∞)　 B．(3，＋∞) C．[2，3)　 D．[2，3)∪(3，＋∞) 【解析】 D 【解析】 A A．[0，8]　 B．[0，8) C．(0，8]　 D．(0，8) 【解析】 　　　　因为函数的定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a＜0，解得0＜a＜8．综上，0≤a＜8． B 目标 3 函数的解析式 【解答】 3 　　　(2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)． 【解答】 　　　　(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7． 3 (3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x)． 【解答】 　　　　由f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，得f(－x)＋2f(x)＝3x2＋x． 变式3　(1) 已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))． 【解答】 【解答】 目标 4 分段函数 4 【解析】 　　　　当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a＞0时，f(a)＝ln a＝1，解得a＝e．综上，a＝0或e． 0或e A．－10　 B．－9 C．－7　 D．－6 【解析】 　　　　当x＝1，y＝1时，f(1)＝f(1)－f(1)＋1，所以f(1)＝1；令y＝2x，得f(2x)＝f(x)－1，所以f(2)＝f(1)－1＝0；f(22)＝f(2)－1＝－1，f(23)＝f(22)－1＝－2，…，f(1 024)＝f(210)＝f(29)－1＝…＝f(2)－9＝－9． 4 B (1) 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2) 抽象函数求函数值，要合理赋值． A．0或1　 B．－1或1 C．0或－2　 D．－2或－1 【解析】 　　　　令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1．当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2； 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1．综上所述，a＝－2或－1． D _____________________． 【解析】 　　　　当x＋2＜0，即x＜－2时，则f(x)＋f(x＋2)＝－x－(x＋2)＝－2x－2＞2，解得x＜－2； 当x＋2≥0，x＜0，即－2≤x＜0时，则f(x)＋f(x＋2)＝－x＋(x＋2)2＞2，即x2＋3x＋2＞0，解得－1＜x＜0； 当x≥0时，f(x)＋f(x＋2)＝x2＋(x＋2)2≥22＝4＞2恒成立．综上所述，所求不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1，＋∞)． (－∞， －2)∪(－1，＋∞) A．[－2，2] B．(－∞，－1)∪(－1，2] C．[－2，－1)∪(－1，2] D．(－2，2) 【解析】 　　　　要使得函数有意义，则4－x2≥0且x＋1≠0，解得x∈[－2，－1)∪(－1，2]． C A．9　 B．11 C．28　 D．14 【解析】 　　　　f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11． B ______________． 【解析】 ∪(－2，0] 4．设f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1．若f(3)＝－5，则f(x)＝____________． 【解析】 －2x＋1 【解析】 　　　　当a≥0时，a2－2a＜3，解得0≤a＜3；当a＜0时，－2a－1＜3，解得－2＜a＜0．综上，a的取值范围是(－2，3)． (－2，3) 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．下列选项中表示同一个函数的是 (　　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 D A．2　 B．9 C．65　 D．513 A 3．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为 (　　) A．(－1，0)　 B．[－1，1] C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 【解析】 　　　　由函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，得ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a．当a＝0时，h(x)＝－2x，显然－2x＞0不恒成立，舍去； D 4．设函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，f(f(x))＝x，则称f(x)为“循环函数”．下列函数中，不是“循环函数”的是 (　　) A．f(x)＝5－x　 B．f(x)＝5＋x B 【解析】 当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误； 在f(2x－3)中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确； 【答案】 CD A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．任取一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 【解析】 当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，所以∀x∈R，f(f(x))＝1，故C正确． 对任意非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确． 【答案】 BCD 三、填空题 7．若函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为________． 【解析】 【解析】 [－2，－1) 【解析】 四、解答题 10．(1) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的表达式； 【解答】 　　　　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(0)＝1，所以c＝1．又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，整理得2ax＋(a＋b)＝2x． 10．(2) 已知f(2x＋1)＝4x2＋4x，求f(x)的表达式； 【解答】 【解答】 【解答】 B组　能力提升练 12．(2025·扬州模拟)写出满足f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy的函数的解析式： ____________． 【解析】 　　　　f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy中，令x＝y＝0，得f(0)＝0．令y＝x得f(x－x)＝f(x)＋f(x)－2x2，故f(x)＋f(x)＝2x2，则f(x)＝x2． f(x)＝x2 13．(2025·济宁期中)已知函数 【解答】 　　　　画出f(x)的简图如图所示，可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)． (1) 请在网格纸中画出f(x)的简图，并写出函数的单调区间(无需证明)． 【解答】 $