第6讲 函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”专题，依据新课标要求梳理了定义域、解析式、分段函数三大核心考点，对接高考评价体系分析得出定义域求解占30%、分段函数应用占40%的高频考点分布，归纳出具象/抽象定义域、换元法求解析式等常考题型。 课件亮点在于“真题演练+通解法指导”，如结合2024上海高考分段函数不等式真题，详解分类讨论策略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。特设“易错点警示”（如抽象函数定义域混淆）和“答题模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第 6 讲 函数的概念及其表示 第2章 函 数 · 2027 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式 01 在实际情境中，会根据需要选择适当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数 02 了解简单的分段函数，并能简单应用 03 掌握求函数定义域及解析式的基本方法 04 · 课 标 要 求 · 必 备 知 识 梳 理 新高考第一轮复习 · 高三数学 概念 一般地,设A,B是非空的_________,如果对于集合A中的__________________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x),x∈A 定义域 ___的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 1. 函数的概念 实数集 任意一个数x 唯一 x 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 2. 同一个函数：必须满足两个条件:①定义域______;②对应关系______. 3. 函数的表示法 表示函数的常用方法有_________、图象法和列表法. 相同 相同 解析法 4. 分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是_____个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______,其值域等于各段函数的值域的______. 并集 对应关系 一 并集 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 1. 直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2. 常见函数的定义域 （1）一次函数、二次函数的定义域为 . （2）分式函数中分母不等于0. （3）偶次根式函数的被开方式大于或等于0. （4）零次幂的底数不能为0. （5）且，，的定义域均为 . （6）的定义域为 . （7）的定义域为， . · 重 要 结 论 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 (3)分段函数定义域的各段区间的交集一定是空集.(　　) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　　) (5)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(　　) 1.判断下面结论是否正确(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(　　) (2)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(　　) 解 析 × √ × √ (1)函数值域是集合B的子集. (4)分段函数是一个函数. (5)只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数. × · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 2. (人教A·必修一·P63 T3·改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.u＝C.y＝ D.m＝ 解 析 B 函数y＝()2,m＝和y＝x的定义域不同,不是同一个函数; 函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同,也不是同一个函数,故选B. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 3.(2024·上海,2)已知函数f(x)=则f(3)=　 .  解 析 ∵3>0,又当x>0时,f(x)=,∴f(3)= · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 4.(北师大·必修一·P55·例2(2)·改编)函数y＝的定义域为__________.  解 析 由 故函数的定义域为[－3,0)∪(0,＋∞). [－3,0)∪(0,＋∞) · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 5.(人教B版·必修一·教材习题) 已知函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=　　　,f(x)=　　　.  解 析 令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3; 设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5. 3 2x-5 · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 考 点 题 型 剖 析 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 求函数的定义域 解 析 角度一：求具象函数的定义域 B 例1 (1) (2026·重庆质检)函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[1,4] B.[1,4) C.[1,＋∞) D.[2,4) 由题意知,函数f(x)＝有意义, 需满足解得1≤x<4, 故f(x)＝的定义域为[1,4). · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 对求具象函数f(x)的定义域可能有如下几种情况： ①若f(x)是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合； ②若f(x)是偶次根式，则其定义域是使被开方数大于等于0的实数的取值集合； ③若f(x)是对数型函数，其真数大于0的实数的取值集合； ③如果f(x)是由一些函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是 各函数定义域的交集. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练1(1)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)函数f(x)=的定义域为(　) A.(1,5) B.(-∞,1)∪(5,+∞) C.(-∞,1]∪(5,+∞) D.(-∞,1]∪[5,+∞) 1 求具象函数定义域 解 析 C 由题意得解得x≤1或x>5, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪(5,+∞).故选C. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 角度二：求抽象函数的定义域 例1 （2）若函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-4)的定义域为(　　) A. B.[-8,2] C. D. 函数f(x)的定义域为[-2,3],要使函数f(2x-4)有意义, 需满足-2≤2x-4≤3,解得1≤x,即函数f(2x-4)的定义域为 故选C. C · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b], 则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b], 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 求抽象函数定义域 解 析 跟练1 （2）函数f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-4)的定义域为(　　) A. B.[-8,2] C. D. 因为函数f(x-1)的定义域为[-2,3],所以-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,所以f(x)的定义域为[-3,2]. 则函数f(2x-4)的自变量x需满足-3≤2x-4≤2,解得x≤3, 即函数f(2x-4)的定义域为 A · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 求混合函数定义域 解 析 跟练1 （3）(2026·承德调研)函数f(x＋1)的定义域为[－2,2],函数g(x)＝,则g(x)的定义域为____________.  由于f(x＋1)的定义域为[－2,2],故x∈[－2,2],则x＋1∈[－1,3], 因此g(x)＝ 解得<x≤4且x≠2, 故定义域为∪(2,4]. ∪(2,4] · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 2 求函数的解析式 例2　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (2)已知f＝x4＋,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 换元法 例2　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; 设1－sin x＝t,t∈[0,2], 则sin x＝1－t, ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x, ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2,x∈[0,2]. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 配凑法+换元法 例2　(2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; (2)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2, 又x2+2=2,当且仅当x2=,即x=±1时,等号成立. 设t=x2+,则t≥2,所以f(t)=t2-2(t≥2),所以f(x)=x2-2(x≥2). · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例2　(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; 解 析 待定系数法 (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17, 所以解得 所以f(x)=2x+7(x∈R). · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 解方程组法 (4)(解方程组法)因为f(x)-2f(-x)=9x+2,① 所以f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,② 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, 所以f(x)=3x-2(x∈R). 例2　(4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式, 然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法, 此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想:已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构 造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练2 (多选)下列命题中正确的有(　　 ) A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞) C.若f＝x3－,则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x 解 析 2 求函数的解析式 BCD 对于A,设f(x)＝kx＋b(k≠0),则f(f(x))＝k2x＋kb＋b,又因为f(f(x))＝4x＋3, 所以， · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误; 对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0),则f(t)＝(log3t)2＋4log3t,t>0, 故函数的定义域为(0,＋∞),B正确; 对于C,f＝x3－＝＝, 且x－的取值范围是R,所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确; 对于D,由f(x)＋2f＝3x,用替换x,得f＋2f(x)＝, 联立解得f(x)＝－x,D正确. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例3 (1) (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3 分段函数问题 角度一：分段函数求值 解 析 B 将x＝－1代入,得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0,所以f[f(－1)]＝f(0), 将x＝0代入,得到f(0)＝e0＋ln 1＝1. 因此,f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、分段函数求值问题的求解策略 (1)单层函数求值:确定x所属的区间范围,选择对应的分段解析式计算f(x). (2)复合函数求值:对于f(f(a))这类嵌套函数,采用由内到外的求解顺序计算. (3)周期函数处理:当某段解析式满足f(x)=f(x+m)(m≠0)时,利用周期性将自变量的值转化到定义域范围内,再代入计算. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练3 (1)(2026·河南部分名校联考) 已知函数f(x)＝ 则f＝(　　) A.128 B.256 C.512 D.1 024 解 析 3 分段函数求值 B 由题意,f＝2f＝22f＝…＝210f(－1)＝1 024×＝256.故选B. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例3（2）设若，则 ( ) 角度二：分段函数方程与不等式 解 析 C A.2 B.4 C.6 D.8 由已知得， ， ， ， 解得， . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例3（3）设函数f(x)=若f(a)≥0,则实数a的取值范围是_______.　　　　 角度二：分段函数方程与不等式 解 析 当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0,得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又a≤0,所以可得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0,得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又a>0,所以可得a>0. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞). (-∞,-2]∪[0,+∞) · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、与分段函数有关的方程、不等式的解法 当未知数的取值范围不确定时,分类讨论求解; 当未知数的取值范围确定,且含有参数时,依据未知数的情况,直接代入相应的解析式求解. 注意: 求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时, 按不同范围求解后合并结果. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练3（2）若函数f(x)＝不等式f(x)>2的解集为_____________, 若f(a)＝f(－a),则a的值为____________.  解 析 3 分段函数方程与不等式 (－∞,－1)∪(0,＋∞) 0或± 当x≤0时,f(x)＝x2＋1>2,则x2>1,解得x<－1; 当x>0时,f(x)＝3>2,恒成立,所以不等式f(x)>2的解集为(－∞,－1)∪(0,＋∞). 当a>0时,－a<0,由f(a)＝f(－a)得3＝(－a)2＋1,解得a＝, 当a＝0时,f(a)＝f(－a)＝1,显然成立. 当a<0时,－a>0,由f(a)＝f(－a)得a2＋1＝3,解得a＝－. 故a的值为0或±. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 A. B. C. D. 角度三：分段函数值域为R求参数范围 解 析 例3 （3）已知函数的值域为，则实数 的范围是( ) B 当时，在上单调递增，且， 所以函数在的值域是. 因为函数的值域是，所以当 时的函数值域应该包含 ，即 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 走 进 高 考 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 B · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 本 讲 结 束 新高考第一轮复习 · 高三数学 $