课时规范练9　二次函数与幂函数 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建二次函数与幂函数的概念-性质-应用逻辑链，通过分层训练渗透定义法、分类讨论、数形结合等解题思想，培养数学推理与模型应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|幂函数定义判断、二次函数对称轴与单调性分析、最值分类讨论|从幂函数系数与指数概念切入，到二次函数图像性质，形成概念到基础应用的递进| |综合提升|3题|存在性问题转化、函数图像对称性应用|结合指数函数综合考查二次函数值域与恒成立，深化性质应用| |创新应用|2题|分段函数周期性分析、复合函数零点问题|通过抽象函数与绝对值函数，拓展函数性质的综合迁移能力|

课时规范练9　二次函数与幂函数 基础巩固组 1.若幂函数f(x)=(3m2-2m)x3m的图象不经过坐标原点,则实数m的值为(　　) A. B.- C.-1 D.1 2.已知函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,20]上具有单调性,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,10]∪[40,+∞) B.(-∞,-40]∪[-10,+∞) C.[10,+∞) D.[40,+∞) 3.已知幂函数f(x)=(m+2)xn的图象经过点(16,4),函数g(x)=mf(x),则(　　) A.g(x)为偶函数 B.g(x)为奇函数 C.g(x)为增函数 D.g(x)为减函数 4.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在区间[0,2]上单调递增.若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是(　　) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞) 5.满足(m+1<(3-2m的实数m的取值范围是(　　) A.() B. (-∞,)∪(1,) C.(,+∞) D.(-∞,-1)∪() 6.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.[6,+∞) D.(-∞,4]∪[6,+∞) 7.若函数f(x)=x2-2ax+1-a在区间[0,2]上的最小值为-1,则a=(　　) A.2或 B.1或 C.2 D.1 8.(多选)已知二次函数f(x)=mx2-4mx+12m-3(m<0),若对任意x1≠x2,则(　　) A.当x1+x2=4时,f(x1)=f(x2)恒成立 B.当x1+x2>4时,f(x1)<f(x2)恒成立 C.∃x0使得f(x0)≥0成立 D.对任意x1,x2,均有f(xi)≤8m-3(i=1,2)恒成立 9.(多选)已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),下列说法正确的是(　　) A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递增 B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数 C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于x=1对称 D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点 10.若∀x∈[1,2],x2-2ax-3a<0(a∈R)恒成立,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 综合提升组 11.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-a,∀x1∈[1,5],∃x2∈[1,5],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围是(　　) A.a≥1 B.a≥-23 C.a≥31 D.a≥7 12.已知二次函数f(x),对任意的x∈R,有f(2x)<2f(x),则f(x)的图象可能是(　　) 13.已知函数f(x)=|x2-4x+3|在[m,n]上的最大值、最小值分别为1,0,则n-m的取值范围是(　　) A.[1,2] B.[-1,2] C.[1,2] D.[-1,2] 14.已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0). (1)若f(x)的值域为[0,+∞),求关于x的方程f(x)=4的解; (2)当a=2时,函数g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在区间[-2,1]上有三个零点,求实数m的取值范围. 创新应用组 15.设函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=2f(x),当x∈(0,4]时,f(x)=2x2-8x,若∀x∈(-∞,t],f(x)≥-恒成立,则t的取值范围是(　　) A.(-∞,-11] B.(-∞,-7] C.(-∞,-5] D.(-∞,-3] 参考答案 1.B　解析由题意得3m2-2m=1,解得m=1或m=-,①当m=1时,f(x)=x3,函数图象经过原点,不符合题意;②当m=-时,f(x)=x-1,函数图象不经过原点,符合题意,故m=-. 2.A　解析由于函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,20]上具有单调性,所以f(x)图象的对称轴x=≤5或x=≥20,解得k≤10或k≥40,所以k的取值范围是(-∞,10]∪[40,+∞).故选A. 3.D　解析 因为f(x)=(m+2)xn是幂函数, 所以m+2=1,即m=-1, 又f(x)的图象经过点(16,4),所以16n=4, 解得n=, 所以f(x)=,则f(x)为[0,+∞)上的增函数, 则g(x)=mf(x)=-,则函数g(x)的定义域为[0,+∞), 所以g(x)是非奇非偶函数,且g(x)为[0,+∞)上的减函数.故选D. 4.C　解析由题意可知二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=2(如图).若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4. 5.D　解析幂函数y=在(0,+∞)上单调递减,且函数值为正,在(-∞,0)上单调递减,且函数值为负,等价于解得<m<或m∈⌀或m<-1,所以不等式的解集为(-∞,-1)∪().故选D. 6.B　解析 因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数, 则m2-5m+5=1,解得m=1或m=4, 当m=1时,f(x)=x-1,该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数,不符合题意; 当m=4时,f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意. 所以f(x)=x2,则g(x)=x2-(2a-6)x,其对称轴方程为x=a-3, 因为g(x)在区间[1,3]上单调递增,所以a-3≤1,解得a≤4.故选B. 7.D　解析由题意知,二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x=a,且图象开口向上.①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,则f(x)min=f(0)=1-a,由1-a=-1,得a=2,∵a≤0,∴a=2不符合;②当0<a<2时,f(x)min=f(a)=a2-2a2+1-a=-a2-a+1,由-a2-a+1=-1,得a=-2或a=1,又0<a<2,∴a=1;③当a≥2时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=4-4a+1-a=5-5a,由5-5a=-1,得a=,又a≥2,∴a=不符合.综上可得a=1. 8.AD　解析f(x)=mx2-4mx+12m-3(m<0)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=2,对于A,由x1+x2=4,得x1,x2关于直线x=2对称,则f(x1)=f(x2)恒成立,∴A正确.对于B,当x1+x2>4,若x1>x2,则有x1-2>2-x2,∴f(x1)<f(x2);若x1<x2,则不等式可化为x2-2>2-x1,∴f(x2)<f(x1),∴B错误.对于C,∵m<0,∴Δ=(-4m)2-4m(12m-3)=-32m2+12m<0,∴f(x)的图象在x轴下方,不存在x0使得f(x0)≥0成立,∴C错误.对于D,f(x)max=f(2)=4m-8m+12m-3=8m-3,∴∀x1,x2,均有f(xi)≤8m-3(i=1,2)恒成立,∴D正确.故选AD. 9. AB　解析对于选项A,若a2-b≤0,则f(x)=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2在区间[a,+∞)上单调递增,故A正确;对于选项B,当a=0时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故B正确;对于选项C,取a=0,b=-2,函数f(x)=|x2-2ax+b|可化为f(x)=|x2-2|,满足f(0)=f(2),但f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;对于选项D,如图,a2-b-2>0,即a2-b>2,则h(x)=|(x-a)2+b-a2|-2有4个零点,故D错误. 10.B　解析 令f(x)=x2-2ax-3a,x∈[1,2],其图象的对称轴为直线x=a,依题意可得∀x∈[1,2],f(x)<0恒成立.当a≤时, 则 解得<a≤; 当a>时,则解得a>. 综上可得,a的取值范围是.故选B. 11.A　解析由已知得(m-1)2=1,解得m=0或m=2,当m=0时,f(x)=x2;当m=2时,f(x)=x-2.因为幂函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x2.所以当x∈[1,5]时,函数f(x)的值域为[1,25].因为函数g(x)=2x-a在R上为增函数,所以当x∈[1,5]时,函数g(x)的值域为[2-a,25-a].因为∀x1∈[1,5],∃x2∈[1,5],使得f(x1)≥g(x2)成立,所以1≥2-a,解得a≥1. 12.A　解析∵对任意的x∈R,有f(2x)<2f(x),令x=0,则f(0)<2f(0),∴f(0)>0,即f(0)=c>0,排除C,D.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(2x)=4ax2+2bx+c,2f(x)=2ax2+2bx+2c,由f(2x)<2f(x),得4ax2+2bx+c<2ax2+2bx+2c,则2ax2-c<0,∴c>2ax2对任意的x∈R恒成立,∵c>0,∴2a<0,故排除B.故选A. 13.D　解析 由x2-4x+3>0,即(x-1)(x-3)>0,解得x>3或x<1,∴f(x)=|x2-4x+3|= 当x∈[1,3]时,f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴f(2)=1, 当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,令f(x)=1,即x2-4x+3=1,解得x1=2-,x2=2+, 则f(x)的图象如图所示: ∵函数f(x)=|x2-4x+3|在[m,n]上的值域为[0,1],当m=2-,n=1(或m=3,n=2+)时,n-m取得最小值,(n-m)min=1-(2-)=-1; 当m=2-,n=2+时,n-m取得最大值, (n-m)max=(2+)-(2-)=2. ∴n-m的取值范围是[-1,2].故选D. 14.解(1)因为f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)min=f(-)=a2-a2+1=0.因为a>0,所以a=2,所以f(x)=x2+2x+1.由f(x)=4,即x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1. (2)g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在区间[-2,1]上有三个零点等价于方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在区间[-2,1]上有三个不同的根.因为[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0,所以f(x)=m+1或f(x)=m-1.因为a=2,所以f(x)=x2+2x+1.结合f(x)在[-2,1]上的图象(图略)可知,要使方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在区间[-2,1]上有三个不同的根,则f(x)=m+1在区间[-2,1]上有一个实数根,f(x)=m-1在区间[-2,1]上有两个不等实数根,即解得1<m≤2.故m的取值范围为(1,2]. 15.A　解析 当x∈(0,4]时,f(x)=2x2-8x=2(x-2)2-8,f(x)∈[-8,0].因为f(x+4)=2f(x),即x每增大4,对应的纵坐标都变为原来的2倍. 当x∈(-4,0]时,x+4∈(0,4],故f(x+4)=2(x+2)2-8,则f(x)=f(x+4)=(x+2)2-4,f(x)∈[-4,0]; 当x∈(-8,-4]时,x+4∈(-4,0],故f(x+4)=(x+6)2-4,则f(x)=f(x+4)=(x+6)2-2,f(x)∈[-2,0]; 当x∈(-12,-8]时,x+4∈(-8,-4],故f(x+4)=(x+10)2-2,则f(x)=f(x+4)=(x+10)2-1,f(x)∈[-1,0]. 当x∈(-12,-8]时,由f(x)=(x+10)2-1=-,可得(x+10)2=1,解得x=-11或x=-9, 如图所示: 由图可知,当x≤-11时,f(x)≥-恒成立,故实数t的取值范围是(-∞,-11].故选A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $