主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心性质，以定义辨析、图像分析、最值求解为主线，融合函数与方程思想，实现概念到应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|3题（1,2,10）|定义参数求解、图像性质判断|从幂函数定义（系数为1）到指数与奇偶性、单调性的关联推导| |二次函数性质|6题（3,4,5,6,11,12）|配方求最值、恒成立转化、零点分布|从解析式（顶点式、一般式）到图像对称轴、区间最值的应用拓展| |综合应用|7题（7-9,13-16）|复合函数单调性、存在性问题转化|结合幂函数与二次函数性质，运用数形结合解决函数零点、参数范围综合问题|

课时冲关10　幂函数与二次函数 [基础训练组] 1．已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．定义域内的增函数 解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3，∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．如图所示是函数 (m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数且＜1 B．m是偶数，n是奇数，且＜1 C．m是偶数，n是奇数，且＞1 D．m，n是奇数，且＞1 解析：B　[由幂函数性质可知：与y＝x恒过点(1,1)，即在第一象限的交点为(1,1)，当0＜x＜1时，＞x，则＜1，又y＝图象关于y轴对称，∵y＝为偶函数，∴＝＝＝，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．] 3．已知函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则c的最大值为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：A　[当－2＜x＜0时，f(x)＝x2＋x＝2－，故当x＝－时，f(x)有最小值为－；0≤x＜c时，f(x)＝－单调递减，所以－＜f(x)≤0，由题意f(x)存在最小值，则－≥－，解得0＜c≤，即c的最大值为.] 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0,1)，都有f(x)＞0 B．∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0 C．∃x∈(0,1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0,1)，使得f(x)＞0 解析：B　[由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上． 因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0，B正确，ACD错误．] 5．若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　) A．0　　 B．2 C．－　　 D．－3 解析：C　[设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在x∈上恒成立，x2＋ax＋1≥0， 即a≥－在x∈上恒成立． 又h(x)＝－在x∈上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－即可，解得a≥－.] 6．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2)，且截x轴所得线段的长度是4，将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝g(x)，则抛物线y＝g(x)与y轴的交点是(　　) A．(0，－8) B．(0，－6) C．(0，－2) D．(0,0) 解析：B　[因为二次函数f(x)的图象的顶点为(2,2)，故f(x)的对称轴为直线x＝2，又因为f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4，所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0)， 设f(x)＝a(x－2)2＋2(a≠0)，将点(0,0)代入得a(－2)2＋2＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，因为g(x)的图象为f(x)的图象右移2个单位得到的，所以g(x)＝f(x－2)＝－(x－2－2)2＋2＝－(x－4)2＋2，令x＝0，则y＝g(0)＝－(0－4)2＋2＝－6，所以g(x)与y轴交点坐标为(0，－6)．] 7．(多选)有如下命题，其中真命题的标号为(　　) A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＞ B．函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(1,2) C．函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递减 D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2] 解析：BD　[对于A，令f(x)＝xα，则2α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f(3)＝＜，A错误；对于B，令x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝1＋1＝2， ∴f(x)恒过定点(1,2)，B正确；对于C，∵f(x)为开口方向向上，对称轴为x＝0的二次函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；对于D，令f(x)＝4，解得x＝0或x＝2；又f(x)min＝f(1)＝3，∴实数m的取值范围为[1,2]，D正确．] 8．(多选)函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a可能的取值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：ABC　[由题意可知问题转化为f(x)max≤g(x)max， g(x)＝x＋4在(－∞，－1]上单调递增， ∴g(x)max＝g(－1)＝3， f(x)＝－x2＋ax－6＝－2＋－6， ①当对称轴x＝≤0，即a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝－6， ∴3≥－6，符合题意，∴a≤0； ②当对称轴x＝＞0，即a＞0时，f(x)max＝f＝－6， ∴－6≤3，解得－6≤a≤6，∴0＜a≤6， 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，6]．] 9．关于x的不等式(x－1)9 999－29 999·x9 999≤x＋1的解集为________． 解析：由题设，(x－1)9 999－(2x)9 999≤x＋1，而y＝x9 999在R上递增， 当x－1＞2x即x＜－1时，(x－1)9 999－(2x)9 999＞0＞x＋1，原不等式不成立； 当x－1≤2x即x≥－1时，(x－1)9 999－(2x)9 999≤0≤x＋1，原不等式恒成立． 综上，解集为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 10．如图是幂函数 (αi＞0，i＝1,2,3,4,5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝，α5＝，已知它们具有性质： ①都经过点(0,0)和(1,1)；②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：________. 解析：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方． 答案：α越大函数增长越快 11．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 当x∈[－1,2]时，f(x)min＝f(1)＝－1， f(x)max＝f(－1)＝3，即函数f(x)的值域为[－1，3]，当x∈[－1,2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，若满足题意，则解得a≥3. 答案：[3，＋∞) 12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围． 解：(1)由题意知 解得所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 由g(x)＝2＋，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，即k的取值范围是(－∞，1)． [能力提升组] 13．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点 C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 解析：BD　[令f(x)＝0，g(x)＝0，得|2x－1|＝a，x2－4|x|＋2＝a，利用指数函数与二次函数的性质作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示， 由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a＞2，此时f(x)无零点或只有1个零点，故A错误；当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f(x)只有1个零点，故B正确；当f(x)有2个零点时，0＜a＜1，此时g(x)有4个零点．故C错误，D正确．] 14．已知loga＜1，a＜1，，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D. 解析：D　[a＜1＝0，根据指数函数y＝x在R上单调递减得a＞0， ，根据幂函数在[0，＋∞)上单调递增知0≤a＜1，则0＜a＜1，loga＜1＝logaa，根据对数函数y＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上单调递减得0＜a＜，综上实数a的取值范围为.] 15．M是幂函数f(x)＝xα图象上的点，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若点Tn(n，m)(n∈N*，且n≥2)在g(x)的图象上，则|MT2|＋|MT3|＋…＋|MT9|＝________. 解析：由＝α，得α＝，， ∴ 因为点(n，m)在函数g(x)的图象上， 所以，即2＝n－2. 所以|MTn|＝ ＝ ＝＝ ＝n－(n≥2)， 所以|MT2|＋|MT3|＋…＋|MT9| ＝＋＋…＋ ＝(2＋3＋…＋9)－×8＝－14＝30. 答案：30 16．已知函数 (m∈Z)为偶函数，且f(3)＞f(2)． (1)求m的值，并确定f(x)的解析式； (2)若g(x)＝loga[f(x)－ax＋5](a＞0，且a≠1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数． 解：(1)因为f(3)＞f(2)， 则－m2＋2m＋2＞0，解不等式可得1－＜m＜1＋， 因为m∈Z，则m＝0或m＝1或m＝2， 又因为函数f(x)为偶函数，所以－m2＋2m＋2为偶数， 当m＝0时，－m2＋2m＋2＝2 ，符合题意； 当m＝1时，－m2＋2m＋2＝3，不符合题意，舍去； 当m＝2时，－m2＋2m＋2＝2，符合题意， 综上可知，m＝0或m＝2，此时f(x)＝x2. (2)存在．理由如下： 由(1)可得f(x)＝x2，则g(x)＝loga(x2－ax＋5)(a＞0，且a≠1)， 当0＜a＜1时，根据对数函数的性质可知y＝loga h(x)为减函数．根据复合函数单调性判断方法可知，h(x)＝x2－ax＋5在[1,2]上为增函数且满足h(x)＞0在[1,2]上恒成立， 即 解不等式组得0＜a＜1. 当a＞1时，根据对数函数的性质可知对数部分为增函数．根据复合函数单调性判断方法可知， h(x)＝x2－ax＋5在[1,2]上为减函数且满足h(x)＞0在[1,2]上恒成立， 即 解不等式组得4≤a＜. 综上可知，当0＜a＜1或4≤a＜时，g(x)在[1,2]上为减函数， 所以存在实数a∈(0,1)∪，满足g(x)在[1,2]上为减函数． 学科网（北京）股份有限公司 $