专题3.1 一元二次方程的概念（6大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理其定义（整式方程、一个未知数、最高次2）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的概念，通过“即学即练”衔接概念辨析与实际应用，构建从定义到模型的学习支架，为后续解法学习奠基。 资料以真实情境问题为载体，结合地区期末、模拟题典例及变式训练，培养学生抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维）。题型分层设计，从概念判断到解的估算，助力教师课中分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺，强化模型意识（数学语言）。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1一元二次方程的概念 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01一元二次方程的概念 知识点02一元二次方程的一般式 2知识清单 知识点03一元二次方程的解 题型01一元二次方程的定义 元二次方程的概念 题型02化为一元二次方程的一般式 题型03由一元二次方程的定义求参数 3.题型精讲 题型04判断是否是一元二次方程的解 题型05由一元二次方程的解求参数 题型06一元二次方程的解的估算 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方 程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际 教学目标 生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数 学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 1.重点 教学重难点 (1)了解一元二次方程的概念： (2)掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)，能分清二 次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形式。 2难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型.。 知识清单 知识点01一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（仁次）的整式方程，叫做一元二次方 程. 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：(1)整式方程：(2)含有一个未知数；(3)未知数的最 高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练】1.下列关于x的方程中是一元二次方程的是() A.x2+5x-2=0 B.3x+1=0 c.x2+=3 D.x-5y=6 2.关于x的方程(m-2)x2-5x-1=0是一元二次方程，那么m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.±3 3.关于x的方程m+3)x7+x-1=0是一元二次方程，则m为 知识点02一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0(a≠0）)，这种形式叫做一元二 次方程的一般形式.其中ax是二次项，a是二次项系数：bx是一次项，b是一次项系数：c是常数项。 要点：()只有当&≠0时，方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程： (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉 前面的性质符号。 【即学即练】4.一元二次方程2x2-5=x的二次项系数和一次项系数分别是(). A.2,-5 B.2,1 C.-2,1 D.2,0 5.将一元二次方程2x-x(x-3)=3化为一般形式，正确的是（) A.5x-x2=3B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0D.5x-x2-1=0 2/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.将一元二次方程x(x+2)=1化为一般式为 知识点03一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 【即学即练】7.若a-b+c=0,则ar+bx+c=0(a≠0)必有一个根是() 1 A.0 B.1 C.-1 D.- 2 8.根据下列表格的对应值：由此可判断方程x+12x-15=0必有一个根满足() 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -2 -0.59 0.84 2.29 3.76 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.x>1.3 9.如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1,n2-2n=1,则2m2+4n2-4n+2026= 题型精讲 题型01一元二次方程的定义 【典例1】(25-26八年级下·山东烟台期末)下列方程中是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.x2+1=5 C.x+12=x2 D.x2-y-5=0 【变式1】(25-26八年级下：陕西西安期末)下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.2x+5=0 B.x2-3x=2 C.x+y=1 D.x2+1=1 【变式2】(25-26八年级下·浙江丽水·期末)在下列方程中，属于一元二次方程的是() A.2(x-3)=xB.x-3y+1=0 C.x+2=1 D.-2xX2+3x-1=0 【变式3】(25-26八年级下山东烟台期中)下列方程中：①2x2-1=0,②ax2+bx+c=0,③ (c+2x-3)=r-3,@0,⑤-5，⑥F+-2=0:是一元=次方程的有() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02化为一元二次方程的一般式 【典例1】(25-26八年级下浙江杭州期末)把一元二次方程(x+2)°=x化为一般形式，正确的是() A.x2+3x+2=0 B.x2+5x+4=0 C.x2+3x+4=0 D.x2-x+4=0 【变式1】(25-26八年级下安徽六安期末)将一元二次方程3x2=-2x+1化成一般式后，二次项系数、 一次项系数、常数项分别是() A.3,-2,-1B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2,-1 【变式2】(25-26八年级下·浙江丽水期末)把方程(3x+2)(2x-3)=0化为一般形式是 【变式3】(25-26九年级上·四川广安阶段检测)一元二次方程(c+3-x=2(x2+3)化成一般形式为 题型03由一元二次方程的定义求参数 【典例1】(25-26八年级全国暑假作业)若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则() A.p≠1 B.p≠0且p≠1C.p≠0 D.p为一切实数 【变式1】(25-26八年级下重庆期末)若方程(m-3)x+3x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的 值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 【变式2】(25-26八年级下山东济南期末)若关于x的方程(k+2)-2+4x-3=0是一元二次方程，则 k= 【变式3】(2026江苏南通模拟预测）)已知关于x的方程(m+n-1)xm1-(m+m)x+mn=0是一元二次方程， 则m+n的值为 题型04判断是否是一元二次方程的解 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级上福建福州期末)已知代数式x2+c-20的值如下表，则关于x的一元二次方 程x2+c-20=0的根为() -3 -2 -1 9 10 11 x2+x-20 13 0 -11 -11 0 13 A.-2 B.10 C.-2或10 D.-3或11 【变式1】(25-26九年级上·山西大同阶段检测)如下表是某同学求代数式x2+bx(a,b为常数)的值 的情况.根据表格中数据，可知关于x的方程ax2+bx-2=0的实数根是（) … -2 -1 0 1 2 ax2+bx … 6 2 0 0 2 A.x=2,x2=-3 B.=-1,3=2 C.x=0.x2=1 D.x=-2,x2=3 【变式2】(25-26八年级下江苏苏州期中)在一元二次方程m2+br+c=0(a≠0)中，实数a,b,c满足 4a-2b+c=0,则此方程必有一根为 【变式3】(2425九年级下四川泸州阶段检测)若a,b是方程x2+x-1=0的两个实数根，则 a2+4a+3b的值是 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例1】(2026四川雅安一模)若关于x的一元二次方程a㎡2+hx+3=0(a≠0)的一个根是x=2,则 2026-4a-2b=() A.2029 B.2023 C.-2029 D.2025 【变式1】(25-26八年级下北京平谷期末)若关于x的一元二次方程(m-3)x+3x+m-9=0的一个根 是x=0,则m的值是() A.±3 B.3 C.-3 D.0 【变式2】(25-26八年级下：浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程ax2+5x+c=0(其中aC≠0)的 一个根是x=c,则ac= 【变式3】(25-26八年级下北京期末)已知m是一元二次方程x2+2x-2=0的一个根，则代数式 2m2+4m的值是 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】(2425九年级上山西阶段检测)根据下表得知估算一元二次方程x+2x-10=0的一个根的 范围是() -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 x2+2x-10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 A.-4.2<x<-4.1 B -4.3<x<-4.2 C.-4.5<x<-4.4 D -4.4<x<-4.3 【变式1】(25-26九年级上江苏无锡期中)根据下面表格中的对应值： x 1.21 1.22 1.23 ax2+bx+c -0.04 -0.01 0.03 判断关于x的方程ar+br+c=0(a≠0)的一个解x的范围是() A.x<1.21 B.121<x<1.22 C.1.22<x<1.23 D.x>1.23 【变式2】(2025九年级上全国·专题练习)在探究一元二次方程x2+12x-15=0的近似解时，小明所在 的小组采用了赋值法，算结果如表： 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说， 他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的大致范围是 【变式3】(25-26九年级上·安徽宿州阶段检测)根据下列表格的对应值： -1 1 1.1 1.2 x2+12x-15 -26 -2 -0.59 0.84 由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x的取值范围是」 强化训练 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.x2-2y-3=0 11 C.2+x D.ax2+bx+c=0 2.若一元二次方程3x-5=2x化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是() A.3 B.-3 c.5 D.-5 3.若x=2是方程x2+x-m=0的一个根，则m的值为() A.-6 B.-2 C.2 D.6 4.根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数)一个解的范围是() 3.1 3.2 3.3 3.4 ax2+bx+c -1.3 -0.6 -0.3 0.5 A. 3<x<3.1 B.3.1<x<3.2 C.3.2<x<3.3 D.3.3<x<3.4 5.已知关于x的方程a(c+m+b=0(a,b,m为常数，a≠0)的解是x=2,x=-1,那么方程 a(x+m+2)+b=0的解为() A.x=2,x2=-3 B.x=4,x2=12 C.x=0,x2=-1 D.x=0,x2=-3 6.已知某一元二次方程的一个根是-2，则此方程可以是 (填一个即可) 7.将一元二次方程x2=5x-4化成一般形式为 8.若关于x的方程(m-2)x2+x=0是一元二次方程，则m的值是 9.若x=-2是关于x的方程ax2+bx=4的解，则2025+2a-b的值为 10.根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x的取值范围是 -1 1 1.1 1.2 x2+12x -11 13 14.41 15.84 x2+12x-15 -26 -2 -0.59 0.84 11.将一元二次方程y(3y-)=(y+3(少-3)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，有一个根为-1，求a+c的值. 13.方程(m+1)x1+(m-3)x-1=0. (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 14.已知一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0). (1)如果方程有一个根是1，那么ab、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是-1，那么4、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 15.定义：如果一元二次方程a+br+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐方程”. (1)判断一元二次方程22+7x+5=0是否为“和谐方程”，说明理由： (2)已知3x2-mx+n=0是关于x的“和谐方程”，若-2是此“和谐方程”的一个根，求，n的值. 16.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 2 3 4 5 6 7 9 10 x2-x-56 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根。 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2方程x2-x-56=0有一个根为x=8,它还有其它的根吗？ 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下河北张家口期末)关于x的一元二次方程x(x-1)=0化为一般形式为() A.x2+x=0 B.x2-x=0 C.x2-1=0 D.x2+1=0 2.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x2+1-1=0 B.(x+2)(2x-1)=6 C.ax2+bx+c=0 D.2x(x-3)-9=2x2+1 3.(25-26八年级下·安徽六安期末)已知a是方程x2+3x+2=0的一个根，则代数式a2+3a的值为 () A.-2 B.-4 C.-1 D.-4或-10 4.(2025九年级全国专题练习)根据关于x的二次函数y=x+px+9,可列表如下： 0 0.5 1.1 1.2 1.3 -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29 方程x+pr+q=0的正数解满足() A.解的整数部分是0，十分位是5 B.解的整数部分是0，十分位是8 C.解的整数部分是1，十分位是1 D.解的整数部分是1，十分位是2 5.(25-26八年级下安徽安庆期末)若实数a,b(a≠b)满足a2-2a-2=0,b2-2b-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 二、填空题 6.(22-23九年级下湖南永州单元复习)把一元二次方程x(2x-)=x-3化为一般形式为 7. (22-23八年级下·安徽合肥期中)探索一元二次方程x+3x-5=0的一个正数解的过程如表： 0 2 3 4 x2+3x-5 -7 -5 -151323 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，a+b的值为. 8.(25-26八年级下·安徽蚌埠期末)已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 9.(22-23八年级下山东青岛开学考试)若关于x的方程(c-1)中+9x-4=0是一元二次方程，则c= 10.(25-26九年级下山东烟台期中)已知关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+m2+m=0有一根为0， 则它的另一个根是一 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(2425九年级上全国随堂练习)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数和常数项. (1)3x2=5x-1. (2)(x-3)2=x+3. (3)(2x-10(x+5)=6x 12.(24-25九年级上全国随堂练习)若关于x的方程(m+3)xm+2(m+3)x-5=0是一元二次方程，求 m的值。 13.(2026广东揭阳·一模)解方程：解一元二次方程x2-2x=3时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：x(x-2)=3 所以x=1或x-2=3, 所以x=1,x2=5 (1)你认为x=1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程. 14.(25-26八年级全国暑假作业)已知方程(m-2)x-2+(m+1)x+3m-1=0. ()如果是关于x的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定的值. 15.(26-27九年级江苏·暑假作业)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程， 其中a,b,c为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒方程”是一： (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出C的值： (3)若m是一元二次方程6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m+m2-6m+2025的值为一 10110 专题3.1 一元二次方程的概念 教学目标 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重难点 1.重点 （1）了解一元二次方程的概念； （2）掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。 2.难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．。 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练】1．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 2．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 3．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练】4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 5．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 6．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练】7．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 8．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 9．如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 题型01 一元二次方程的定义 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 【详解】解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 【变式2】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 题型02 化为一元二次方程的一般式 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【变式1】（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 【变式3】（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型03 由一元二次方程的定义求参数 【典例1】（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 【变式3】（24-25九年级下·四川泸州·阶段检测）若，是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解和根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：由题意知，，是方程的两个实数根， 所以，， 则， 所以． 故答案为：． 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例1】（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握是解题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程中，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 3．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故选：D． 4．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 5．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 6．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 7．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式），并通过移项将给定方程化为该形式． 根据等式的基本性质，把方程中的各项进行移项，使方程右边为0，从而得到一元二次方程的一般形式． 【详解】将化成一般形式可得， 故答案为：． 8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 9．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 把代入方程，求得，再把整体代入计算即可． 【详解】解∶把代入方程，得 ， ∴， ∴． 故答案为∶2027 10．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 11．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 故方程的一般形式为：， ∴二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 14．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【知识点】加减消元法、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 16．从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】(1)一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根 (2) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的根． （1）根据一元二次方程根的定义即可求解； （2）将代入方程，验证左右两边相等，可知也是方程的一个根． 【详解】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 4．（2025九年级·全国·专题练习）根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 二、填空题 6．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 9．（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 13．（2026·广东揭阳·一模）解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 15．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $