2.1平方根（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“平方根”为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用再到跨知识综合的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|算术平方根与平方根的概念、基本性质|以选择题为主，如求非负数的算术平方根，夯实抽象能力| |技能应用层|性质应用、解方程、简单实际问题|包含计算题与应用题，如正方形面积扩大问题，发展运算能力与模型意识| |综合拓展层|非负性、与乘法公式/线段综合、规律探究|设计综合题与规律题，如“0+0”模型及立方和规律，培养推理意识与创新意识|

2.1平方根 题型一 求一个非负数的算术平方根 1．（2026·南京·校级月考）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·苏州·期末）（　　） A．0.4 B．±0.4 C．0.04 D．±0.04 3．（2025·沭阳县·期中）下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣1）3＝﹣3 C．﹣32＝9 D． 题型二 算术平方根的性质 1．（2026·南京·校级月考）如果（x﹣y）2的算术平方根是x﹣y，则下列式子中成立的是（　　） A．x＞y B．x≥y C．x≤y D．x＜y 2．（2025·兴化市·期中）下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 3．（2025·无锡·月考）计算：　　． 4．（2023·浦口区·校级月考）计算：　　． 5．（2026•鼓楼区·校级模拟）已知，那么的值约为　　．（精确到0.01） 6．（2026·如皋市·校级期中）已知1.859，5.879，则　　． 题型三 算术平方根的实际应用 1．（2025·盐都区·月考）如图，公园里有一个边长为8m的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加80m2后仍为正方形，则边长应扩大（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 2．（2026·南通·期末）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为8cm2，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． （1）图2中拼成的大正方形纸片的边长为　　cm； （2）如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为3：1且面积为12cm2？请通过计算说明理由． 题型四 求一个非负数的平方根 1．（2025·鼓楼区·期末）16的平方根是±4的数学表达式是（　　） A．4 B．±4 C．±4 D．±±4 2．（2024·海州区·校级期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 3．（2026•沛县·模拟）1的平方根是　　． 4．（2024·姑苏区·校级期中）的平方根是　　． 题型五 根据平方根求参或求值 1．（2025·赣榆区·月考）2x+4有平方根，则x满足的条件是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 2．（2025·滨湖区·校级月考）若一个数的一个平方根是，则这个数是　　． 3．（2025·常州·校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是3x+2和5x+6，则这个正数是　　． 4．（2025·钟楼区·月考）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为　　． 5．（2025·鼓楼区·校级期末）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值． 6．（2025·秦淮区·校级作业）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）若a+1和2a﹣7是数A的平方根，求A的值． 题型六 根据平方根解方程 1．（2025·东台市·期中）a2＝16，则a是（　　） A．4或﹣4 B．﹣4 C．4 D．8或﹣8 2．（2025·秦淮区·校级作业）若（x﹣3）2＝4，则x＝　　． 3．（2025·鼓楼区·校级期中）如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为　　． 4．（2025·秦淮区·校级月考）求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 5．（2025·江都区·月考）求下面各式中的x的值： （1）3x2﹣12＝0； （2）8（x+1）2﹣24＝0． 题型七 算术平方根的非负性—“0+0”模型 1．（2025·南京·月考）已知，则的值为　　． 2．（2026·宿城区·校级期末）若与|a﹣1|互为相反数，则（a+b）5的值为　　． 3．（2025·东台市·期末）若，则mn＝　　． 4．（2025·南京·期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是　　． 5．（2025·泉山区·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为　　． 题型八 平方根的运算综合 1．（2026·宿迁·期末）代数式的最小值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．9 2．（2025·崇川区·校级月考）已知|a|＝5，b是49的平方根，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 3．（2025·昆山市·校级月考）已知a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3，c2＝16． （1）分别求a，b，c的值； （2）若c＜0，求3a﹣b+c的平方根． 题型一 平方根与乘法公式综合 1．（2026·响水县·模拟）已知a﹣b＝3，a2+b2＝7，则a+b的值为（　　） A． B． C． D．与a、b取值有关 2．（2026·东台市·月考）已知m、n为实数，且满足，则m﹣n的算术平方根为　　． 3．（2026·邗江区·期末）若20252+20272＝m，则的值为　　． 4．（2026·钟楼区·校级月考）已知实数a，b满足a2＝3a+b，b2＝a+3b，且a≠b，则代数式的值是　　． 题型二 平方根与线段综合 1．（2025·崇川区·校级月考）已知a，b满足|2a﹣1|与互为相反数． （1）求a，b的值． （2）若线段AB＝3b，在直线AB上取一点P，恰好使，点Q为AP的中点，求线段BQ的长． 题型一 以平方根为背景的规律问题 1．（2025·沭阳县·期末）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53＝（　　）2＝　　； （2）　　；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1平方根 题型一 求一个非负数的算术平方根 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 题型二 算术平方根的性质 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】5 4．【答案】4﹣π 5．【答案】17.32 6．【答案】587.9 题型三 算术平方根的实际应用 1．【答案】C 2． 【答案】（1）4；（2）不能，理由详见解析． 【详解】解：（1）由条件可知：大正方形纸片的面积为8×2＝16（cm2）， ∴大正方形纸片的边长为（cm）， 故答案为：4； （2）设长方形纸片的宽为x cm，则长为3x cm， 由题意可得：3x•x＝12，解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去） ∴3x＝6， ∵6＞4， ∴不能剪出这样的长方形． 题型四 求一个非负数的平方根 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】± 4．【答案】±3 题型五 根据平方根求参或求值 1．【答案】D 2．【答案】 3．【答案】1 4．【答案】4或100 5． 【答案】（1）x≤3；（2）A＝9． 【详解】解：（1）由题意可知：6﹣2x≥0，解得：x≤3； （2）由题意可知：a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2， 将a＝2代入a+1，得其中一个平方根为2+1＝3， ∵A是这个平方根的平方， ∴A＝32＝9． 6． 【答案】（1）x≤3；（2）A的值为81或9． 【详解】解：（1）由题意可得：6﹣2x≥0，解得：x≤3； （2）∵a+1和2a﹣7是数A的平方根， ∴分两种情况讨论： ①a+1＝2a﹣7，解得：a＝8，则a+1＝9， ∴A＝81； ②a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2，则a+1＝3， ∴A＝9； 综上，A的值为81或9． 题型六 根据平方根解方程 1．【答案】A 2．【答案】1或5 3．【答案】4或﹣2 4． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】解：（1）∵12x2＝36， ∴x2＝3， ∴； （2）∵64（x+1）2＝49， ∴， ∴或， ∴或． 5． 【答案】（1）x＝±2；（2）． 【详解】解：（1）3x2﹣12＝0， 3x2＝12， x2＝4， x＝±2； （2）8（x+1）2﹣24＝0， 8（x+1）2＝24， （x+1）2＝3， x+1＝±， ∴． 题型七 算术平方根的非负性—“0+0”模型 1．【答案】1 2．【答案】﹣1 3．【答案】 4．【答案】等边三角形 5．【答案】15 题型八 平方根的运算综合 1．【答案】D 2．【答案】D 3． 【答案】（1）a＝5，b＝10，c＝±4；（2）±1． 【详解】解：（1）∵a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3， ∴a+3＝8，b﹣1＝9，解得：a＝5，b＝10， ∵c2＝16， ∴c＝±4； （2）若c＜0，则c＝﹣4， ∵a＝5，b＝10， ∴3a﹣b+c＝15﹣10﹣4＝1， ∴3a﹣b+c的平方根是±1． 题型一 平方根与乘法公式综合 1．【答案】C 2．【答案】1 3．【答案】4052 4．【答案】3 题型二 平方根与线段综合 1． 【答案】（1）a，b＝2；（2）BQ＝5或BQ＝9． 【详解】解：（1）∵|2a﹣1|与互为相反数， ∴|2a﹣1|0， ∵|2a﹣1|≥0，0， ∴2a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得：a，b＝2； （2）由题意可知：AB＝6，， 如图1，当点P在点A的右侧时， ∵AB＝6，， ∴APAB＝2，BPAB＝4， ∵点Q为AP的中点， ∴AP＝1， ∴BQ＝PQ+BP＝1+4＝5； 如图2，当点P在点A的左侧时， ∵AB＝6，， ∴AP＝AB＝6， ∵点Q为AP的中点， ∴AP＝3， ∴BQ＝AQ+AB＝3+6＝9； 综上，BQ＝5或BQ＝9． 题型一 以平方根为背景的规律问题 1． 【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）；（3）41075． 【详解】解：（1）∵1+2+3+4+5＝15， ∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225， 故答案为：1+2+3+4+5，225； （2）由（1）可得：1+2+3+…（n﹣1）+n， 故答案为：； （3）由（2）可得：113+123+133+…+193+203 ＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103） ＝44100﹣3025 ＝41075． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1平方根 题型一 求一个非负数的算术平方根 1．（2026·南京·校级月考）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的算术平方根是． 故选：A． 2．（2025·苏州·期末）（　　） A．0.4 B．±0.4 C．0.04 D．±0.04 【答案】A 【详解】解：． 故选：A． 3．（2025·沭阳县·期中）下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣1）3＝﹣3 C．﹣32＝9 D． 【答案】D 【详解】解：根据运算法则逐项分析判断如下： A、是9的算术平方根，所以，故A不合题意； B、（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，故B不合题意； C、﹣32＝﹣3×3＝﹣9，故C不合题意； D、是9的负的平方根，所以，故D符合题意． 故选：D． 题型二 算术平方根的性质 1．（2026·南京·校级月考）如果（x﹣y）2的算术平方根是x﹣y，则下列式子中成立的是（　　） A．x＞y B．x≥y C．x≤y D．x＜y 【答案】B 【详解】解：∵（x﹣y）2的算术平方根是x﹣y， ∴x≥y． 故选：B． 2．（2025·兴化市·期中）下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 【答案】D 【详解】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、3，故本选项错误； D、±3，故本选项正确． 故选：D． 3．（2025·无锡·月考）计算：　　． 【答案】5 【详解】解；5， 故答案为：5． 4．（2023·浦口区·校级月考）计算：　　． 【答案】4﹣π 【详解】解：4﹣π， 故答案为：4﹣π． 5．（2026•鼓楼区·校级模拟）已知，那么的值约为　　．（精确到0.01） 【答案】17.32 【详解】解：1010×1.732＝17.32． 故答案为：17.32． 6．（2026·如皋市·校级期中）已知1.859，5.879，则　　． 【答案】587.9 【详解】解：∵，5.879，， ∴587.9． 故答案为：587.9． 题型三 算术平方根的实际应用 1．（2025·盐都区·月考）如图，公园里有一个边长为8m的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加80m2后仍为正方形，则边长应扩大（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【答案】C 【详解】解：设边长应该延长x米， 由题意可得：（x+8）2＝64+80，即（x+8）2＝144， ∴x+812（舍去负值）， ∴x＝4， 答：边长应该延长4米． 故选：C． 2．（2026·南通·期末）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为8cm2，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． （1）图2中拼成的大正方形纸片的边长为　　cm； （2）如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为3：1且面积为12cm2？请通过计算说明理由． 【答案】（1）4；（2）不能，理由详见解析． 【详解】解：（1）由条件可知：大正方形纸片的面积为8×2＝16（cm2）， ∴大正方形纸片的边长为（cm）， 故答案为：4； （2）设长方形纸片的宽为x cm，则长为3x cm， 由题意可得：3x•x＝12，解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去） ∴3x＝6， ∵6＞4， ∴不能剪出这样的长方形． 题型四 求一个非负数的平方根 1．（2025·鼓楼区·期末）16的平方根是±4的数学表达式是（　　） A．4 B．±4 C．±4 D．±±4 【答案】D 【详解】解：16的平方根是±4的数学表达式是． 故选：D． 2．（2024·海州区·校级期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 【答案】D 【详解】解：A．9的平方根是±3，选项错误，不合题意； B．﹣9没有平方根，选项错误，不合题意； C．（﹣2）2的平方根为±2，选项错误，不合题意； D．2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2026•沛县·模拟）1的平方根是　　． 【答案】± 【详解】解：1，±±． ∴1的平方根是±． 故答案为：±． 4．（2024·姑苏区·校级期中）的平方根是　　． 【答案】±3 【详解】解：∵9，9的平方根是±3， ∴的平方根是±3． 故答案为±3． 题型五 根据平方根求参或求值 1．（2025·赣榆区·月考）2x+4有平方根，则x满足的条件是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 【答案】D 【详解】解：由题意可得：2x+4≥0， ∴2x≥﹣4，解得：x≥﹣2． 故选：D． 2．（2025·滨湖区·校级月考）若一个数的一个平方根是，则这个数是　　． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2025·常州·校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是3x+2和5x+6，则这个正数是　　． 【答案】1 【详解】解：由题意可得：3x+2+5x+6＝0，解得：x＝﹣1 ∴3x+2＝﹣1，5x+6＝1 ∴这个正数的两个平方根分别为﹣1和1， ∴这个正数为1． 故答案为：1． 4．（2025·钟楼区·月考）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为　　． 【答案】4或100 【详解】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根， ∴2m﹣4+3m﹣1＝0或2m﹣4＝3m﹣1，解得：m＝1或﹣3， ∴当m＝1时，2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2， ∴a＝（﹣2）2＝4； 当m＝﹣3时，2m﹣4＝2×（﹣3）﹣4＝﹣10， ∴a＝（﹣10）2＝100； 综上，a为4或100． 故答案为：4或100． 5．（2025·鼓楼区·校级期末）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值． 【答案】（1）x≤3；（2）A＝9． 【详解】解：（1）由题意可知：6﹣2x≥0，解得：x≤3； （2）由题意可知：a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2， 将a＝2代入a+1，得其中一个平方根为2+1＝3， ∵A是这个平方根的平方， ∴A＝32＝9． 6．（2025·秦淮区·校级作业）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）若a+1和2a﹣7是数A的平方根，求A的值． 【答案】（1）x≤3；（2）A的值为81或9． 【详解】解：（1）由题意可得：6﹣2x≥0，解得：x≤3； （2）∵a+1和2a﹣7是数A的平方根， ∴分两种情况讨论： ①a+1＝2a﹣7，解得：a＝8，则a+1＝9， ∴A＝81； ②a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2，则a+1＝3， ∴A＝9； 综上，A的值为81或9． 题型六 根据平方根解方程 1．（2025·东台市·期中）a2＝16，则a是（　　） A．4或﹣4 B．﹣4 C．4 D．8或﹣8 【答案】A 【详解】解：16的平方根为±4． 故选：A． 2．（2025·秦淮区·校级作业）若（x﹣3）2＝4，则x＝　　． 【答案】1或5 【详解】解：由题意可得：x﹣3＝±2， ∴x﹣3＝2，x﹣3＝﹣2，解得：x＝5或x＝1． 故答案为：1或5． 3．（2025·鼓楼区·校级期中）如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为　　． 【答案】4或﹣2 【详解】解：∵输出y的值为9， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2． 4．（2025·秦淮区·校级月考）求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】解：（1）∵12x2＝36， ∴x2＝3， ∴； （2）∵64（x+1）2＝49， ∴， ∴或， ∴或． 5．（2025·江都区·月考）求下面各式中的x的值： （1）3x2﹣12＝0； （2）8（x+1）2﹣24＝0． 【答案】（1）x＝±2；（2）． 【详解】解：（1）3x2﹣12＝0， 3x2＝12， x2＝4， x＝±2； （2）8（x+1）2﹣24＝0， 8（x+1）2＝24， （x+1）2＝3， x+1＝±， ∴． 题型七 算术平方根的非负性—“0+0”模型 1．（2025·南京·月考）已知，则的值为　　． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴a﹣1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣2， ∴1． 故答案为：1． 2．（2026·宿城区·校级期末）若与|a﹣1|互为相反数，则（a+b）5的值为　　． 【答案】﹣1 【详解】解：∵和|a﹣1|互为相反数， ∴|a﹣1|＝0， ∴a﹣b﹣3＝0，a﹣1＝0，解得：a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）5＝（1﹣2）5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 3．（2025·东台市·期末）若，则mn＝　　． 【答案】 【详解】解：∵， ∴m+n﹣4＝0且m﹣n﹣6＝0，解得：， ∴． 故答案为：． 4．（2025·南京·期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是　　． 【答案】等边三角形 【详解】解：由题意可得：且|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 5．（2025·泉山区·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为　　． 【答案】15 【详解】解：∵（x﹣6）2≥0，，且， ∴x﹣6＝0，y﹣3＝0，解得：x＝6，y＝3． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为6+6+3＝15； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但3+3＝6，不满足三角形三边关系，故不成立； 综上，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 题型八 平方根的运算综合 1．（2026·宿迁·期末）代数式的最小值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．9 【答案】D 【详解】解：∵x2+9≥9， ∴3， ∴69， ∴6的最小值是9． 故选：D． 2．（2025·崇川区·校级月考）已知|a|＝5，b是49的平方根，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【答案】D 【详解】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵b是49的平方根， ∴， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b＞0， ∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7， ∴a﹣b＝5﹣7＝﹣2或a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12． 故选：D． 3．（2025·昆山市·校级月考）已知a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3，c2＝16． （1）分别求a，b，c的值； （2）若c＜0，求3a﹣b+c的平方根． 【答案】（1）a＝5，b＝10，c＝±4；（2）±1． 【详解】解：（1）∵a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3， ∴a+3＝8，b﹣1＝9，解得：a＝5，b＝10， ∵c2＝16， ∴c＝±4； （2）若c＜0，则c＝﹣4， ∵a＝5，b＝10， ∴3a﹣b+c＝15﹣10﹣4＝1， ∴3a﹣b+c的平方根是±1． 题型一 平方根与乘法公式综合 1．（2026·响水县·模拟）已知a﹣b＝3，a2+b2＝7，则a+b的值为（　　） A． B． C． D．与a、b取值有关 【答案】C 【详解】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a﹣b＝3，a2+b2＝7， ∴32＝7﹣2ab，即2ab＝﹣2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab， ∴（a+b）2＝7﹣2＝5， ∴． 故选：C． 2．（2026·东台市·月考）已知m、n为实数，且满足，则m﹣n的算术平方根为　　． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴（n﹣2）2＝0， ∵0，（n﹣2）2≥0， ∴3﹣m＝0，n﹣2＝0，解得：m＝3，n＝2， ∴m﹣n＝3﹣2＝1， ∴m﹣n的算术平方根为1． 故答案为：1． 3．（2026·邗江区·期末）若20252+20272＝m，则的值为　　． 【答案】4052 【详解】解：设a＝2026，则2025＝a﹣1，2027＝a+1， ∴m＝（a﹣1）2+（a+1）2＝a2﹣2a+1+a2+2a+1＝2a2+2， 2m﹣4＝2（2a2+2）﹣4＝4a2+4﹣4＝4a2， ∴． 故答案为：4052． 4．（2026·钟楼区·校级月考）已知实数a，b满足a2＝3a+b，b2＝a+3b，且a≠b，则代数式的值是　　． 【答案】3 【详解】解：由题意可得：a2﹣b2＝（3a+b）﹣（a+3b）＝2a﹣2b， a2+b2＝（3a+b）+（a+3b）＝4a+4b＝4（a+b）， ∴（a+b）（a﹣b）﹣2（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣2）＝0， ∵a≠b， ∴a﹣b≠0， ∴a+b﹣2＝0，即a+b＝2， ∴a2+b2＝4（a+b）＝8， ∴． 故答案为：3． 题型二 平方根与线段综合 1．（2025·崇川区·校级月考）已知a，b满足|2a﹣1|与互为相反数． （1）求a，b的值． （2）若线段AB＝3b，在直线AB上取一点P，恰好使，点Q为AP的中点，求线段BQ的长． 【答案】（1）a，b＝2；（2）BQ＝5或BQ＝9． 【详解】解：（1）∵|2a﹣1|与互为相反数， ∴|2a﹣1|0， ∵|2a﹣1|≥0，0， ∴2a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得：a，b＝2； （2）由题意可知：AB＝6，， 如图1，当点P在点A的右侧时， ∵AB＝6，， ∴APAB＝2，BPAB＝4， ∵点Q为AP的中点， ∴AP＝1， ∴BQ＝PQ+BP＝1+4＝5； 如图2，当点P在点A的左侧时， ∵AB＝6，， ∴AP＝AB＝6， ∵点Q为AP的中点， ∴AP＝3， ∴BQ＝AQ+AB＝3+6＝9； 综上，BQ＝5或BQ＝9． 题型一 以平方根为背景的规律问题 1．（2025·沭阳县·期末）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53＝（　　）2＝　　； （2）　　；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）；（3）41075． 【详解】解：（1）∵1+2+3+4+5＝15， ∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225， 故答案为：1+2+3+4+5，225； （2）由（1）可得：1+2+3+…（n﹣1）+n， 故答案为：； （3）由（2）可得：113+123+133+…+193+203 ＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103） ＝44100﹣3025 ＝41075． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $