2.2立方根（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以立方根概念为起点，通过基础认知、技能提升、综合应用三层递进设计，实现从概念理解到跨情境应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|立方根概念及性质|基础选择填空结合真题情境，强化抽象能力与符号意识| |技能提升层|运算技能及逆向思维|方程求解与参数问题，发展运算能力与推理意识| |综合应用层|跨情境应用及逻辑推理|几何体积、相反数性质等综合题，培养模型意识与创新意识|

2.2立方根 题型一 求一个数的立方根 1．（2026·盐城·月考）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·宿迁·期末）下列说法中错误的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2 C．27的立方根为±3 D．立方根等于1的数是1 3．（2025·沛县·期末）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．﹣3是9的一个平方根 4．（2026·铜山区·模拟）计算：　　． 5．（2025·鼓楼区·校级期末）下列说法正确的是　　（填序号）． ①负数没有平方根； ②负数的立方根是负数； ③平方根等于它本身的数是0和1． 题型二 立方根的性质 1．（2025·泉山区·期末）下列等式成立的是（　　） A．±5 B．3 C．4 D．±±0.6 2．（2024·梁溪区·校级期末）下列等式：①，②2，③2，④，⑤±4，⑥2，成立的是（　　） A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥ 3．（2025·海安市·校级月考）根据你发现的规律填空：已知，14.42，若，则　　． 4．（2024·浦口区·校级期末）已知1.2584，2.711，则　　， 　　． 题型三 根据立方根求参 1．（2025·沭阳县期末）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． （1）求出图1中a的值； （2）求出图2中x的值． 题型四 根据立方根解方程 1．（2025·金坛区·期末）计算：x3＝﹣27，x＝　　． 2．（2025·仪征市·期末）解方程： （1）（x+1）2＝25； （2）8x3+27＝0． 3．（2025·东台市·期末）求下列各式中x的值： （1）； （2）3（x﹣4）3＝﹣81． 题型五 立方根的实际应用 1．（2025·梁溪区·期末）一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍 2．已知球的体积公式为（r为球的半径），若某小球的体积为36πcm3，则该小球的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3．（2025·常州期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是　　． 4．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 题型六 立方根的运算综合 1．（2026·泰州·三模）若，则a+b＝　　． 2．（2026·启东市·期末）已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，则式子的值为　　． 3．（2025·海安市·校级月考）已知与互为相反数，则2a+b的立方根是　　． 4．（2026·东台市·二模）已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 5．（2025·沛县·期末）已知﹣5a+3的立方根是﹣3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求4a﹣2b﹣c的平方根． 6．（2025·玄武区·期末）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数” （1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立； （2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根． 题型一 根据立方根解方程（升级版） 1．对问题“已知，求x的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，x还有另一个值2 C．乙说得对，x还有另一个值﹣1 D．两人说得都不对，x应有3个不同值 2．（2025·秦淮区·校级月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是　　． 题型一 立方根的综合应用 1．（2022·苏州·期末）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　； （2）若，则x＝　　； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2立方根 题型一 求一个数的立方根 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】﹣0.5 5．【答案】①② 题型二 立方根的性质 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】7.696 4．【答案】12.584，﹣0.2711 题型三 根据立方根求参 1． 【答案】（1）5；（2）361． 【详解】解：（1）由题意可得：﹣a﹣10+2a+5＝0，解得：a＝5； （2）由题意可得：2m+3+5﹣3m＝0，解得：m＝8， ∴2m+3＝19， ∴x＝192＝361． 题型四 根据立方根解方程 1．【答案】﹣3 2． 【答案】（1）x＝4或x＝﹣6；（2）． 【详解】解：（1）（x+1）2＝25 x+1＝5或x+1＝﹣5， ∴x＝4或x＝﹣6； （2）8x3+27＝0， 8x3＝﹣27， ， ∴． 3． 【答案】（1）；（2）x＝1． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵3（x﹣4）3＝﹣81， ∴（x﹣4）3＝﹣27， ∴x﹣4＝﹣3， ∴x＝1． 题型五 立方根的实际应用 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】 4． 【答案】（1）长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；（2）该小球的半径为4.05cm． 【详解】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3， ∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x， ∴2x·2x·4x＝16000， ∴16x3＝16000， ∴x3＝1000，解得：x＝10， ∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； （2）设该小球的半径为r cm， 由题意可得：πr316000， ∴r3，解得：r≈4.05， 答：该小球的半径为4.05cm． 题型六 立方根的运算综合 1．【答案】﹣4或﹣12 2．【答案】2 3．【答案】﹣2 4． 【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）3． 【详解】解：（1）∵3a﹣5的平方根是±2， ∴3a﹣5＝4，解得：a＝3， ∵a﹣2b﹣7的立方根是﹣2， ∴a﹣2b﹣7＝3﹣2b﹣7＝﹣8，解得：b＝2； （2）∵2ab+15＝2×3×2+15＝27，， ∴2ab+15的立方根为3． 5． 【答案】（1）a＝6，b＝﹣1，c＝1；（2）±5． 【详解】解（1）由题意可得：，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身， ∴c＝1， ∴a＝6，b＝﹣1，c＝1； （2）由（1）可得：a＝6，b＝﹣1，c＝1， ∴4a﹣2b﹣c＝4×6﹣2×（﹣1）﹣1＝25， ∴4a﹣2b﹣c的平方根为±5． 6． 【答案】（1）成立，如0，2与﹣2互为相反数；（2）﹣2． 【详解】解：（1）如0，2与﹣2互为相反数； ∴“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立； （2）∵和互为相反数， ∴0， ∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3， ∵x+5的平方根是它本身， ∵x+5＝0， ∴x＝﹣5， ∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8， ∴x+y的立方根是﹣2． 题型一 根据立方根解方程（升级版） 1．【答案】D 2．【答案】0或64 题型一 立方根的综合应用 1． 【答案】（1）﹣49；（2）3；（3）x＝2时，y；x＝1时，y；x＝3时，y＝2． 【详解】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000， ∴是两位数， ∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729， ∴的个位数字是9， ∵将117649往前移动3位小数点后约为117，33＝27，43＝64，53＝125， ∴的十位数字应为4， ∴117649的立方根是49， ∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， ∴49， 故答案为：﹣49； （2）∵0， ∴1﹣2x＝﹣5，解得：x＝3， 故答案为：3； （3）∵2＝x， ∴x﹣2， ∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得：x＝2，1或3； ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝2x﹣1，即 当x＝2时，3y﹣1＝3，解得：y； 当x＝1时，3y﹣1＝1，解得：y； 当x＝3时，3y﹣1＝5，解得：y＝2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2立方根 题型一 求一个数的立方根 1．（2026·盐城·月考）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、3，错误； B、3，正确； C、±±4，错误； D、|﹣2|＝2，错误． 故选：B． 2．（2025·宿迁·期末）下列说法中错误的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2 C．27的立方根为±3 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【详解】解：A、9的算术平方根是3，故不合题意； B、的平方根是±2，故不合题意； C、27的立方根是3，故本选项符合题意； D、立方根等于1的数是1，故不合题意． 故选：C． 3．（2025·沛县·期末）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．﹣3是9的一个平方根 【答案】D 【详解】解：A、的立方根是，不是，错误； B、，不是±6，错误； C、的算术平方根是，不是5，错误； D、﹣3是9的一个平方根，正确． 故选：D． 4．（2026·铜山区·模拟）计算：　　． 【答案】﹣0.5 【详解】解：． 故答案为：﹣0.5． 5．（2025·鼓楼区·校级期末）下列说法正确的是　　（填序号）． ①负数没有平方根； ②负数的立方根是负数； ③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【详解】解：①负数没有平方根，故①正确； ②负数的立方根是负数，故②正确； ③平方根等于它本身的数是0，故③不正确； 综上，上列说法正确的是①②． 故答案为：①②． 题型二 立方根的性质 1．（2025·泉山区·期末）下列等式成立的是（　　） A．±5 B．3 C．4 D．±±0.6 【答案】D 【详解】解：A、原式＝5，不合题意； B、原式＝﹣3，不合题意； C、原式＝|﹣4|＝4，不合题意； D、原式＝±0.6，符合题意． 故选：D． 2．（2024·梁溪区·校级期末）下列等式：①，②2，③2，④，⑤±4，⑥2，成立的是（　　） A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥ 【答案】D 【详解】解：，4，2，2，，2， ∴上述等式成立的是②③④⑥． 故选：D． 3．（2025·海安市·校级月考）根据你发现的规律填空：已知，14.42，若，则　　． 【答案】7.696 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7.696． 4．（2024·浦口区·校级期末）已知1.2584，2.711，则　　， 　　． 【答案】12.584，﹣0.2711 【详解】解：∵1993＝1000×1.993，1.2584， ∴12.584， ∵﹣0.011993＝﹣0.001×19.93，2.711 ∴0.2711． 故本题答案为：12.584，﹣0.2711． 题型三 根据立方根求参 1．（2025·沭阳县期末）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． （1）求出图1中a的值； （2）求出图2中x的值． 【答案】（1）5；（2）361． 【详解】解：（1）由题意可得：﹣a﹣10+2a+5＝0，解得：a＝5； （2）由题意可得：2m+3+5﹣3m＝0，解得：m＝8， ∴2m+3＝19， ∴x＝192＝361． 题型四 根据立方根解方程 1．（2025·金坛区·期末）计算：x3＝﹣27，x＝　　． 【答案】﹣3 【详解】解：∵x3＝﹣27， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 2．（2025·仪征市·期末）解方程： （1）（x+1）2＝25； （2）8x3+27＝0． 【答案】（1）x＝4或x＝﹣6；（2）． 【详解】解：（1）（x+1）2＝25 x+1＝5或x+1＝﹣5， ∴x＝4或x＝﹣6； （2）8x3+27＝0， 8x3＝﹣27， ， ∴． 3．（2025·东台市·期末）求下列各式中x的值： （1）； （2）3（x﹣4）3＝﹣81． 【答案】（1）；（2）x＝1． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵3（x﹣4）3＝﹣81， ∴（x﹣4）3＝﹣27， ∴x﹣4＝﹣3， ∴x＝1． 题型五 立方根的实际应用 1．（2025·梁溪区·期末）一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：设这个正方体原来的棱长为x，则其体积为x3， 由题意可得：现在正方体的体积为64x3，则其棱长为， ∴它的棱长变为原来的4倍． 故选：B． 2．已知球的体积公式为（r为球的半径），若某小球的体积为36πcm3，则该小球的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【详解】解：由题意可得：， 即r3＝27，解得：． 故选：B． 3．（2025·常州期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是　　． 【答案】 【详解】解：由条件可知：正方体的体积是13＝1， ∴求作的这个正方体的体积为2×1＝2， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 4．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 【答案】（1）长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；（2）该小球的半径为4.05cm． 【详解】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3， ∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x， ∴2x·2x·4x＝16000， ∴16x3＝16000， ∴x3＝1000，解得：x＝10， ∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； （2）设该小球的半径为r cm， 由题意可得：πr316000， ∴r3，解得：r≈4.05， 答：该小球的半径为4.05cm． 题型六 立方根的运算综合 1．（2026·泰州·三模）若，则a+b＝　　． 【答案】﹣4或﹣12 【详解】解：由a2＝16，得a＝4或a＝﹣4 由，得b＝（﹣2）3＝﹣8 当a＝4时，a+b＝4+（﹣8）＝﹣4； 当a＝﹣4时，a+b＝﹣4+（﹣8）＝﹣12； 综上，a+b＝﹣4或a+b＝﹣12． 故答案为：﹣4或﹣12． 2．（2026·启东市·期末）已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，则式子的值为　　． 【答案】2 【详解】解：∵实数a+9的平方根是±5， ∴a+9＝25，解得：a＝16， ∵2b﹣a的立方根是﹣2， ∴2b﹣a＝﹣8， ∴2b﹣16＝﹣8，解得：b＝4， ∴4﹣2＝2． 故答案为：2． 3．（2025·海安市·校级月考）已知与互为相反数，则2a+b的立方根是　　． 【答案】﹣2 【详解】解：∵与互为相反数， ∴8a+15＝﹣（4b+17）， ∴8a+4b＝﹣17﹣15＝﹣32， ∴2a+b＝﹣8， ∴2a+b的立方根是：2． 故答案为：﹣2． 4．（2026·东台市·二模）已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）3． 【详解】解：（1）∵3a﹣5的平方根是±2， ∴3a﹣5＝4，解得：a＝3， ∵a﹣2b﹣7的立方根是﹣2， ∴a﹣2b﹣7＝3﹣2b﹣7＝﹣8，解得：b＝2； （2）∵2ab+15＝2×3×2+15＝27，， ∴2ab+15的立方根为3． 5．（2025·沛县·期末）已知﹣5a+3的立方根是﹣3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求4a﹣2b﹣c的平方根． 【答案】（1）a＝6，b＝﹣1，c＝1；（2）±5． 【详解】解（1）由题意可得：，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身， ∴c＝1， ∴a＝6，b＝﹣1，c＝1； （2）由（1）可得：a＝6，b＝﹣1，c＝1， ∴4a﹣2b﹣c＝4×6﹣2×（﹣1）﹣1＝25， ∴4a﹣2b﹣c的平方根为±5． 6．（2025·玄武区·期末）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数” （1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立； （2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根． 【答案】（1）成立，如0，2与﹣2互为相反数；（2）﹣2． 【详解】解：（1）如0，2与﹣2互为相反数； ∴“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立； （2）∵和互为相反数， ∴0， ∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3， ∵x+5的平方根是它本身， ∵x+5＝0， ∴x＝﹣5， ∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8， ∴x+y的立方根是﹣2． 题型一 根据立方根解方程（升级版） 1．对问题“已知，求x的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，x还有另一个值2 C．乙说得对，x还有另一个值﹣1 D．两人说得都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【详解】解：设t＝x﹣1，则原方程变为， ∵一个数的立方根等于它本身的数是0、1、﹣1， ∴分三种情况讨论： ①当t＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1， ②当t＝1时，x﹣1＝1，解得：x＝2， ③当t＝﹣1时，x﹣1＝﹣1，解得：x＝0， ∴x的值为0、1、2，共3个不同值， ∴甲、乙两人的说法都不对，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025·秦淮区·校级月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是　　． 【答案】0或64 【详解】解：设这个数为x，则， ∴， ∴， ∴x2（x﹣64）＝0， ∴x2＝0或x﹣64＝0，解得：x＝0或x＝64． 故答案为：0或64． 题型一 立方根的综合应用 1．（2022·苏州·期末）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　； （2）若，则x＝　　； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】（1）﹣49；（2）3；（3）x＝2时，y；x＝1时，y；x＝3时，y＝2． 【详解】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000， ∴是两位数， ∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729， ∴的个位数字是9， ∵将117649往前移动3位小数点后约为117，33＝27，43＝64，53＝125， ∴的十位数字应为4， ∴117649的立方根是49， ∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， ∴49， 故答案为：﹣49； （2）∵0， ∴1﹣2x＝﹣5，解得：x＝3， 故答案为：3； （3）∵2＝x， ∴x﹣2， ∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得：x＝2，1或3； ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝2x﹣1，即 当x＝2时，3y﹣1＝3，解得：y； 当x＝1时，3y﹣1＝1，解得：y； 当x＝3时，3y﹣1＝5，解得：y＝2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $