2.2 平方根和立方根（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

2.2 平方根与立方根 题型一 无理数的判断与实数的分类 1．在实数，，，，中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥；⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）； ⑧；⑨． 题型二 求一个数的算术平方根/平方根 4．下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．的算术平方根是 ． 题型三 算术平方根及其非负性 6．所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 7．若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若与互为相反数，则 ． 9．已知，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 题型四 求一个数的立方根 11．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是9 B．立方根等于它本身的数有两个，0和1 C．是49的算术平方根 D．4是16的一个平方根 14．已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 题型五 根据平方根或立方根解方程 15．求下列各式中的值： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知 是 121 的平方根，求 x，y的值． 17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 题型六 估算无理数的大小 18．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 19．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数和之间，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 21．满足的所有整数x的和是 ． 题型七 已知平方根/立方根求数或代数式 22．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 23．已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根． 24．已知的平方根是，的立方根是1，求的值． 25．已知正数的平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，，的值； (2)求的算术平方根． 26．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 题型一 估算无理数的大小 1．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）黄金分割数是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它的近似值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 小明以①的形式求的近似值的过程如下． 因为，所以， 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得，故． 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 题型二 与算术平方根/立方根有关的规律探索 4．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 5．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 8．已知，，依据立方根运算规律得： ． 题型三 算术平方根/立方根的应用 9．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 10．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．    (1)求和的长； (2)求五边形的面积． 12．【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 题型四 确定无理数的整数部分 13．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 题型一 利用算术平方根的非负性对代数式变形 1． 已知实数、、满足，求的值． 题型二 算术平方根的实际应用 2．综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 3．（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 4．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 平方根与立方根 题型一 无理数的判断与实数的分类 1．在实数，，，，中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，，共3个； 故选：C． 2．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根与立方根；根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A： 是分数，属于有理数． 选项B：， 无法表示为整数或分数（5不是完全平方数），因此是无理数，负号不影响其性质． 选项C：，因 ，故 ，是整数，属于有理数． 选项D： 是有限小数，属于有理数． 综上，只有选项B是无理数． 故选：B． 3．把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）； ⑧；⑨． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】有理数的分类、求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． 根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 题型二 求一个数的算术平方根/平方根 4．下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根和平方根的定义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：①、负数没有算术平方根，故①错误； ②、当时，的算术平方根是，而非，故②错误； ③、9的平方根为±3，-3是9的平方根，故③正确； ④、（因），故④正确， 综上，不正确的有①和②，共2个， 故选：A． 5．的算术平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 题型三 算术平方根及其非负性 6．所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的概念辨析，根据算术平方根的定义，直接对应选项分析即可． 【详解】解：表示25的算术平方根， 故选：B． 7．若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即，求不等式解集即可． 【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性， 即： 因此， 的取值范围是 ． 故选： D． 8．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程组，进而解题． 【详解】解：依题意得： ∵ 和 ， ∴， ∴ ，即 ． 故答案为 6． 9．已知，则的值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9 ． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)直角三角形，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键． （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 题型四 求一个数的立方根 11．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据算术平方根、平方根、立方根的定义及符号规则逐一分析选项． 【详解】解：A：，而非，错误； B：，故错误； C：，故错误； D：，正确． 故选：D． 13．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是9 B．立方根等于它本身的数有两个，0和1 C．是49的算术平方根 D．4是16的一个平方根 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，根据平方根、立方根、算术平方根的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意； B、立方根等于它本身的数是0，1，，故原选项说法错误，不符合题意； C、是49的算术平方根，故原选项说法错误，不符合题意； D、4是16的一个平方根，故原选项说法正确，符合题意； 故选：D． 14．已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根和平方根的概念，熟练掌握算术平方根，立方根和平方根的概念是解题的关键． 先根据的算术平方根是求出，再由立方根的定义求出，即可求解，最后由平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得 的立方根是， ， ， ， 的平方根是． 题型五 根据平方根或立方根解方程 15．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解； （2）利用立方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 所以或． 所以或． （2）解：． 所以． 所以． 所以． 16．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知 是 121 的平方根，求 x，y的值． 【答案】；或 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】该题考查了平方根和立方根，根据求出，根据是 121 的平方根，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 121 的平方根， ∴， 时，． 时，． 17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 题型六 估算无理数的大小 18．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．要确定的值所在区间，需先估算的范围，再通过加法运算判断结果的位置. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 19．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数和之间，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ． 故选：C． 20．一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解；一个正方形的面积是，它的边长为， ，，且， ， 在整数与之间， ， 故答案为：． 21．满足的所有整数x的和是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 题型七 已知平方根/立方根求数或代数式 22．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根和算术平方根以及平方根的概念理解，熟练掌握立方根和算术平方根以及平方根的概念是解题的关键． 先根据立方根的定义求出，再由算术平方根的定义求出，然后得到的值，即可求解平方根． 【详解】解：∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵的算术平方根是3， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴其平方根为． 23．已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义进行求出即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴的平方根为． 24．已知的平方根是，的立方根是1，求的值． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根，立方根的应用，根据平方根和立方根的定义列出方程求出x，y是解题关键． 利用平方根、立方根定义，一个数的平方根平方得原数，一个数的立方根立方得原数，列出关于x和y的方程，求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ ∴， ∵的立方根是1， ∴， ∴， ∴． 25．已知正数的平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 26．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； （2）解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 题型一 估算无理数的大小 1．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）黄金分割数是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它的近似值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 先求得，，进一步计算即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 题型二 与算术平方根/立方根有关的规律探索 4．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 7．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【难度】0.65 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 8．已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 算术平方根/立方根的应用 9．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴、算术平方根的实际应用 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 10．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【答案】(1)5千米 (2)米 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． （1）将代入，即可求解； （2）根据题意代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以（舍）或， 答：能看到5千米远； （2）解：当时，可得， 解得， （米）． 则观望台至少离海平面高为米． 11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．    (1)求和的长； (2)求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)12 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由，，可得，，根据勾股定理可得，； （2）再由勾股定理的逆定理证明，继而根据五边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ，，，， ，， ，； （2）解：， ， ， 五边形的面积为： ． 12．【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)21， (2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）设纸的宽为，根据面积求出的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是21，小数部分是． （2）法1：纸的面积为， 纸的面积为． 设纸的宽为，长为， ， 由边长的实际意义，得， ，且，， 答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间． 法2：由题意得，纸的宽为，且 ， 纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间． 题型四 确定无理数的整数部分 13．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 题型一 利用算术平方根的非负性对代数式变形 1．已知实数、、满足，求的值． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，先将原方程化为，进而求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 题型二 算术平方根的实际应用 2．综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 【答案】(1) (2)约年 (3)年 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据有理数的除法计算即可； （2）根据公式，变形后，代入估算即可； （3）根据公式，变形后，代入估算即可； 本题考查了有理数的除法，立方的计算，算术平方根的计算，公式的变形计算，熟练掌握运算法则，正确进行公式变形是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）解：由公式：， 得， 又，，年， 故， 又， 故（年）． （3）解：由， 得（年）． 3．（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 【答案】（1）；（2）不同意，理由见解析；（3）． 【难度】0.4 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和二次根式的运算．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，圆面积公式，是解题的关键． （1）取大正方形面积的算术平方根，即得； （2）设长方形纸片的长为，宽为，得，解得，根据正方形的边长为9，，得小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，则，解得，得；由，解得，得，得，即得． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形边长为； 故答案为：； （2）不同意小明的说法， ∵面积为81的正方形纸片的边长为：，长方形纸片的长和宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，宽为， ∵长方形纸片面积为60， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a， 则圆面积， ∴， ∴； ∵正方形面积， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 即． 4．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）（2）（3）长为，宽为（4）图见解析 【难度】0.4 【知识点】算术平方根的实际应用、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 因此如下图即为所求： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$