重难点专训01 三角函数图像变换与解析式求解四大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦三角函数图像变换与解析式求解，构建“模型-变换-求参”三阶方法体系，通过分层题型实现从基础到培优的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|3大核心方法|参数定义规范、图像变换双路径、四步求解析式模板|从基础参数（A,ω,φ,k）到变换规则，再到解析式求解，形成完整知识链| |题型通法及变式|4类题型22题|变换辨析（先平移后伸缩等）、局部图像求参（五点法）、综合应用（变换+性质）、参数范围（整体换元）|题型难度梯度上升，覆盖选择/填空/解答，适配高考考法| |分层过关练|巩固12题+提升9题|基础巩固（变换规则应用）、创新提升（零点/极值综合）|从单一变换到多参数综合，培养数学抽象与逻辑推理能力|

重难点专训01 三角函数图像变换与解析式求解 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 图像变换辨析题（填空/选择必考） 4 题型2 局部图像求解析式（解答题基础问） 8 题型3 图像变换+解析式综合题（压轴小问） 12 题型4 参数范围拓展题（培优难点） 19 重难专题分层过关练 24 巩固过关 24 创新提升 28 解题方法及技巧提炼 一、核心基础模型 高考标准解析式（上海卷唯一规范形式）： 各参数标准定义（适配上海高考阅卷要求）： A：振幅，控制函数纵向伸缩幅度 k：竖直平移量（平衡中线），决定函数整体上下位置 T：最小正周期，计算公式： ：相位，：初相。上海考题默认限制 ，求解初相必须利用该范围取舍，锁定唯一解。 核心考场铁律：上海高考所有三角函数图像题、解析式求解题，统一强制规范 A>0、\omega>0，禁止负振幅、负角速度写法，避免格式扣分、φ求解出错。 二、三角函数图像两大变换路径（高频易错） 通用黄金口诀：所有平移、伸缩变换，只针对单独的x，不针对x整体系数！ 路径一：先平移，后伸缩（新手推荐，零容错） 变换流程： 1.左右平移：左加右减，左移，右移 2.横向伸缩：横坐标变为原来倍（仅替换单独x） 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来A倍 4.上下平移：整体加k上移，减k下移 路径二：先伸缩，后平移（考场重灾区，必考易错） 变换流程： 关键满分结论：先伸缩再平移，实际平移单位为，绝非！ 逆向变换高分技巧（上海模考高频） 命题形式：已知变换后图像，反推原函数图像 核心规则：变换顺序完全颠倒，变换方向完全反转 示例：右移m、横坐标伸长2倍得到，则需将横坐标缩为，再左移m个单位。 易混知识点速记 1.横向变换必须提取：，平移量仅看括号内常数 2.纵向伸缩、上下平移直接作用函数整体，无变形陷阱 3.正余弦互换：，等价于正弦图像左移 三、图像求解析式【万能四步答题模板】 适配所有上海考题，从图像快速求解 步骤1：求振幅A、平衡线k 由函数最值直接计算，零误差： 步骤2：求周期T、角速度ω 图像周期快速判定（核心依据）： 相邻最高点与最低点：水平间距为 相邻两条对称轴：水平间距为 相邻对称中心：水平间距为 相邻上升、下降零点：水平间距为 周期求出后，代入公式： 步骤3：求初相φ（重难点、易错点） 方法一：五点定位法（首选，满分解法） 令，对应正弦函数标准五点： 点序号 相位t 函数值 图像特征 1 0 上升零点（自下而上穿平衡线） 2 A 最高点 3 0 下降零点（自上而下穿平衡线） 4 -A 最低点 5 0 上升零点 操作：选取图像任意一个特征点，列方程，解出φ后，结合筛选唯一解。 方法二：最值点代入法（次选，无歧义） 优先选用最高点、最低点代入求解，无符号歧义、正确率极高；尽量避免使用普通零点求解，若题目仅给出零点，必须先判断该零点为上升零点或下降零点，再对应代入相位求值。 步骤4：整体核验 将求解的解析式代入图像关键特征点（最值点、零点）验证，排除φ多解、周期计算错误等问题。 题型通法及变式提升 题型1 图像变换辨析题（填空/选择必考） 1.优先整理解析式，提取，写成标准形式 2.先通过周期锁定，缩小选项范围，再判断平移、伸缩变换 3.严格区分先平移后伸缩、先伸缩后平移的不同平移单位 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知， 阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即， 由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又， 所以，，则， 因为，所以，即， 因为，所以. 故选：A. 2．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【详解】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 3．函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， ， . 故选：A. 4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题可知， 当时，， 若在上只有一个极大值点， 则由的图像可得， 解得， 因为，所以的最大值为3. 故选：B. 5．已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为_____________． 【答案】 【详解】把函数 的图象向左平移 个单位后， 得到函数的图象, 再根据 的图象上各最高点到点 的距离的最小值为 1 , 设 的对称轴 , 则最高点的坐标为 , 它与点 的距离的最小值为 1 ,即 , 求得 , 可得 , 即 , , 故答案为：. 6．将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为____________. 【答案】， 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 7．已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则________． 【答案】 【详解】由，函数图象上的每一点纵坐标不动， 横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 因， 即，故，也即， 由图象对称性知，，所以， 则函数的最小正周期， 由，解得， 故答案为：. 题型2 局部图像求解析式（解答题基础问） 1.由函数最值计算A、k； 2.根据图像特征间距求周期T，推导； 3.用五点法或最值点代入求解φ； 4.根据确定唯一初相； 5.书写完整规范解析式。 8．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 【详解】（1）由题意，函数（、，）的周期为， 所以，即，解得， 又函数在时取到最大值，所以， 解得，， 又，所以当时，， 所以函数的表达式为； （2）由（1）知，函数的表达式为， 所以，， 又数列为等差数列，则，解得，， 所以， 又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列， 所以数列的前项和. 9．已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 【详解】（1）直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. （2） 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 10．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）设． (1)若，求函数的严格增区间； (2)某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 ▲ 0 1 ▲ 0 请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数的解析式； (3)设，，，求函数值域． 【详解】（1）因为，所以， 令,解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由题意，解得， 所以函数解析式为， 令，则, 令,则，, 所以将表格补充完整为： 0 （3）若，, 则，因此 因为，所以    ，进而， 所以    , 所以函数值域为. 题型3 图像变换+解析式综合题（压轴小问） 命题模式：先读图求原函数，再通过平移、伸缩得到新函数，延伸考查单调区间、最值、值域、零点问题。 核心技巧：所有变换必须先提取，对单独x操作，禁止直接对整体平移。 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 【详解】（1）因为 ， 将函数图象向左平移得到， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）因为，所以， 又，所以，所以，所以， 又，由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号，即， 所以， 即当且仅当时，的面积取得最大值为. 13．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 【详解】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． 因为，所以． 因为，则，则， 所以 ． 14．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，且在增区间内， 得，即，，而，则， 所以函数的解析式是. （2）将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 15．已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【详解】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 16．已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【详解】（1）由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 17．已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【详解】（1）由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. （3）， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 题型4 参数范围拓展题（培优难点） 命题形式：已知函数在某区间单调、存在零点、有最值，求、参数范围。 万能思路：整体换元，令，将复杂三角函数问题，转化为标准正弦函数的区间性质问题。 18．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 19．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 20．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）函数的最小正周期为，可得，此时. 令解得， 所以图象的对称中心为，. (2)不存在，理由如下： 极值点满足， 即，而. 考虑在附近的极值点、、， 需要，无解， 故不存在，使得函数在区间上恰有个极值点. 21．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 22．已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 【答案】(1)是函数的“类数”，不是函数的“类数”，理由如下： ， 是函数的“类数”； ， ， 不是函数的“类数”. (2)函数的“类集”为集合，且真包含于， 存在，使得且， 若，则， 函数的图像是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在使， 存在零点，即； （3）， ， 先证明； 函数的“类集”为， 对任意， 令，则， 函数的值域为， 当时，必有， 即对于恒成立， 函数的最小正周期应有，即，则. 再证明，此时，对于任意， 当时，，则， 当时，，则， 时，函数的“类集”为，即， 我们不难发现，上述过程中令也成立， 因此的最大值是. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，向右平移个单位， 得到函数的图象， 令，可得， 故所得函数的对称中心为， 令，可得函数图象的一个对称中心为， 故选：A 2．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________． 【答案】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为， 要使该函数为奇函数，则，， 即，， 又，则． 故答案为：. 3．已知函数. (1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)在中，角，，对应的边分别为，，，若将的图象向左平移个单位得到函数的图象，且，，，求的值. 【详解】（1） ， 若不等式，对任意恒成立， 则，即对任意恒成立， 那么且对任意恒成立， 则且， ，， ，，所以的值域为， 所以且， 所以实数的取值范围是； （2）若将的图象向左平移个单位得到函数的图象， 则， ，，, 则，得，由，且，即， 由余弦定理可知， 即，， 得 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的表达式为． (1)求函数的最小正周期及图象的对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增区间和值域． 【详解】（1）由已知， 则函数的最小正周期为， 令，得， 即对称轴方程为； （2）由（1）知， 则， ， 即在上的值域为． 由，得， 即在上的单调增区间为． 5.已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以． 令，得， 故的单调递减区间为． （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到． 令 令，则， 因为，所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数的取值范围为． 6.将函数的图象向右平移个长度单位，得到的图象，再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. （1）求的最小值和的解析式； （2）当时，求函数的单调递减区间. 【详解】（1）将函数的图象向右平移个长度单位， 可得到函数的图象， 又，，可得， ，当时，取最小值， 将函数的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，因此，； （2）令，解得， 所以，函数在上的单调递减区间为， . 因此，当时，函数的单调递减区间为. 创新提升 1．对于函数，给出下列结论： （1）函数的图像关于点对称； （2）函数在区间上的值域为； （3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像； （4）曲线在处的切线的斜率为1. 则所有正确的结论是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3） 【答案】C 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以不是函数的对称中心，（1）错误； 由可得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以函数在区间上的值域为，（2）正确； 函数的图像向左平移个单位长度得到函数 的图象，（3）错误； 由可得， 所以， 曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确； 所以正确的命题有（2）（4）， 故选：C. 2．（25-26高三下·上海·开学考试）已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（   ） A．函数的对称轴方程为 B．的图像关于轴对称 C．函数在区间上是严格增函数 D．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 【答案】D 【详解】因为是对称中心，所以， 又因为是该图像上相邻的最高点和最低点，解得， 所以，得 ，所以，则. 对于A， ，解得，故A错误. 对于B，设， 则， 所以的图像不关于轴对称，故B错误. 对于C，，解得， 当时，，当时，， 当时，即为， 此时区间不是的子集， 综上，不是函数增区间的子区间，故C错误. 对于D，令，得到零点为， 因为有5个零点，所以在第五个零点与第六个零点之间，所以. 函数取极小值时，即，即， 因为，故， 令，解得，即，只能为， 当时，，此时确有两个极小值点，故D正确. 3．设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 【答案】 【详解】令，故即， 故，由题设有，故. 故， 将图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为： ， 整理得到：， 因为为偶函数，故， 所以， 故对无穷多个恒成立，故， 故. 故答案为: 4.设函数的最大值为M，最小正周期为T． (1)若函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调减区间； (2)设集合，求集合A中所有元素的和． 【详解】（1）. 由函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像可知 令，解得. 所以的单调减区间为. （2） ，. 则. 由可得，即 ，解得，即集合A中有10个元素. 所以集合A中所有元素之和为. 故集合A中所有元素之和为. 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数． (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时的取值集合． 【详解】（1）， 又将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像， ， 是奇函数，，即， ，解得，，时，取最小正值． （2）当时，， ， ， ， ， 当时，取最大值，此时，解得， 的取值集合为：． 6．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    7.函数，. （1）把的解析式改写为(，)的形式； （2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值. 【详解】（1）由题意，函数 . 即的解析式为. （2）由（1）知，所以函数的最小正周期为， 因为，则， 所以当，即时，函数取得最小值，最小值为； 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 即函数的最小值为，最大值为. （3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数， 再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得， 则函数， 令，即，即，解得或， 要使得函数区间上至少有20个零点， 则满足，即实数的最小值为. 8．（24-25高三上·上海·开学考试）设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． (1)求函数的表达式； (2)函数，求函数在上的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 【详解】（1）由题意，得，． 因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，得， 又，可得， 因此，． （2）由（1）得，则，因为， 当时，，则函数在单调递增， 当时，，则函数在单调递减， 当时，，则函数在单调递增， 故当时，函数取得极大值， 故当时，函数取得极小值 又， 因为 故函数在上的最大值为，最小值为， 所以在上的值域为 （3）由题意，． 因为． 当时，即． 令，且． 关于的方程，其判别式，设该方程的两个不相等的实数根为，有． ①当且时，方程和在区间上均有偶数个实数根， 从而关于的方程在区间上也有偶数个实数根，不合题意． ②当且时，类似于情形①可得，不合题意． ③当时，，此时． 方程区间上有一个实数根，方程在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有三个实数根． 因为，所以方程在区间上有个实数根． 又方程在区间上只有一个实数根，而在区间上无实数根， 方程在区间上无实数根，而在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有个实数根，此时． ④当时，，此时． 类似于情形③，可知方程在区间上有个实数根， 在区间上有个实数根，不合题意． 综上，，． 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线.设函数（），将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若，求实数k的值. 【详解】（1）由题意，所以， 令， 解得， 即的单调递减区间为； （2）由题意可知， 由，则，所以，即， 而， 令，即， 由题，则， 若，则，显然成立； 若，则，显然成立； 若，则，所以，； 综上所述要满足题意需，即a的取值范围为：. （3）由题意易知，所以， 显然时，则令， 即，不妨令， 则，即， 设，最小正周期为， 显然，， 所以为偶函数，且关于中心对称， 而，所以， 又，所以， 即两式相加有. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 三角函数图像变换与解析式求解 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 图像变换辨析题（填空/选择必考） 4 题型2 局部图像求解析式（解答题基础问） 5 题型3 图像变换+解析式综合题（压轴小问） 7 题型4 参数范围拓展题（培优难点） 10 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 一、核心基础模型 高考标准解析式（上海卷唯一规范形式）： 各参数标准定义（适配上海高考阅卷要求）： A：振幅，控制函数纵向伸缩幅度 k：竖直平移量（平衡中线），决定函数整体上下位置 T：最小正周期，计算公式： ：相位，：初相。上海考题默认限制 ，求解初相必须利用该范围取舍，锁定唯一解。 核心考场铁律：上海高考所有三角函数图像题、解析式求解题，统一强制规范 A>0、\omega>0，禁止负振幅、负角速度写法，避免格式扣分、φ求解出错。 二、三角函数图像两大变换路径（高频易错） 通用黄金口诀：所有平移、伸缩变换，只针对单独的x，不针对x整体系数！ 路径一：先平移，后伸缩（新手推荐，零容错） 变换流程： 1.左右平移：左加右减，左移，右移 2.横向伸缩：横坐标变为原来倍（仅替换单独x） 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来A倍 4.上下平移：整体加k上移，减k下移 路径二：先伸缩，后平移（考场重灾区，必考易错） 变换流程： 关键满分结论：先伸缩再平移，实际平移单位为，绝非！ 逆向变换高分技巧（上海模考高频） 命题形式：已知变换后图像，反推原函数图像 核心规则：变换顺序完全颠倒，变换方向完全反转 示例：右移m、横坐标伸长2倍得到，则需将横坐标缩为，再左移m个单位。 易混知识点速记 1.横向变换必须提取：，平移量仅看括号内常数 2.纵向伸缩、上下平移直接作用函数整体，无变形陷阱 3.正余弦互换：，等价于正弦图像左移 三、图像求解析式【万能四步答题模板】 适配所有上海考题，从图像快速求解 步骤1：求振幅A、平衡线k 由函数最值直接计算，零误差： 步骤2：求周期T、角速度ω 图像周期快速判定（核心依据）： 相邻最高点与最低点：水平间距为 相邻两条对称轴：水平间距为 相邻对称中心：水平间距为 相邻上升、下降零点：水平间距为 周期求出后，代入公式： 步骤3：求初相φ（重难点、易错点） 方法一：五点定位法（首选，满分解法） 令，对应正弦函数标准五点： 点序号 相位t 函数值 图像特征 1 0 上升零点（自下而上穿平衡线） 2 A 最高点 3 0 下降零点（自上而下穿平衡线） 4 -A 最低点 5 0 上升零点 操作：选取图像任意一个特征点，列方程，解出φ后，结合筛选唯一解。 方法二：最值点代入法（次选，无歧义） 优先选用最高点、最低点代入求解，无符号歧义、正确率极高；尽量避免使用普通零点求解，若题目仅给出零点，必须先判断该零点为上升零点或下降零点，再对应代入相位求值。 步骤4：整体核验 将求解的解析式代入图像关键特征点（最值点、零点）验证，排除φ多解、周期计算错误等问题。 题型通法及变式提升 题型1 图像变换辨析题（填空/选择必考） 1.优先整理解析式，提取，写成标准形式 2.先通过周期锁定，缩小选项范围，再判断平移、伸缩变换 3.严格区分先平移后伸缩、先伸缩后平移的不同平移单位 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 3．函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为_____________． 6．将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为____________. 7．已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则________． 题型2 局部图像求解析式（解答题基础问） 1.由函数最值计算A、k； 2.根据图像特征间距求周期T，推导； 3.用五点法或最值点代入求解φ； 4.根据确定唯一初相； 5.书写完整规范解析式。 8．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 9．已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 10．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）设． (1)若，求函数的严格增区间； (2)某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 ▲ 0 1 ▲ 0 请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数的解析式； (3)设，，，求函数值域． 题型3 图像变换+解析式综合题（压轴小问） 命题模式：先读图求原函数，再通过平移、伸缩得到新函数，延伸考查单调区间、最值、值域、零点问题。 核心技巧：所有变换必须先提取，对单独x操作，禁止直接对整体平移。 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 13．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 14．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 15．已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 16．已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 17．已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 题型4 参数范围拓展题（培优难点） 命题形式：已知函数在某区间单调、存在零点、有最值，求、参数范围。 万能思路：整体换元，令，将复杂三角函数问题，转化为标准正弦函数的区间性质问题。 18．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 19．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 20．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 21．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 22．已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 2．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________． 3．已知函数. (1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)在中，角，，对应的边分别为，，，若将的图象向左平移个单位得到函数的图象，且，，，求的值. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的表达式为． (1)求函数的最小正周期及图象的对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增区间和值域． 5.已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 6.将函数的图象向右平移个长度单位，得到的图象，再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. （1）求的最小值和的解析式； （2）当时，求函数的单调递减区间. 创新提升 1．对于函数，给出下列结论： （1）函数的图像关于点对称； （2）函数在区间上的值域为； （3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像； （4）曲线在处的切线的斜率为1. 则所有正确的结论是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3） 2．（25-26高三下·上海·开学考试）已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（   ） A．函数的对称轴方程为 B．的图像关于轴对称 C．函数在区间上是严格增函数 D．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 3．设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 4.设函数的最大值为M，最小正周期为T． (1)若函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调减区间； (2)设集合，求集合A中所有元素的和． 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数． (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时的取值集合． 6．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 7.函数，. （1）把的解析式改写为(，)的形式； （2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值. 8．（24-25高三上·上海·开学考试）设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． (1)求函数的表达式； (2)函数，求函数在上的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线.设函数（），将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若，求实数k的值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $