第二十七章 反比例函数（六大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学反比例函数单元知识清单系统梳理了反比例函数的概念、图象性质、k的几何意义、综合应用及实际问题，构建从基础定义到性质探究再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三维结构呈现，标注“必考易错点”如增减性跨象限判断，总结k值符号、几何意义应用等关键技巧，培养学生数学思维与推理意识。设计几何意义模型、实际应用建模流程等工具，助力学生用数学语言表达问题，教师可依托练习题精准教学，提升复习效率。

第二十七章 反比例函数 知识点一 反比例函数的概念 1. 定义：形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。 1. 三种等价形式 ① 分式型：；② 乘积型：；③ 负指数型：。 1. 判定关键点： ① 自变量不能出现在分子，不能有、一次项； ② 常数不能等于 0； ③ ，。 1. 已知函数上一点坐标，代入解析式可直接求出的值。 知识点二 反比例函数的图象和性质 1. 图象：双曲线，分为独立两支，永不_______、不过_______。 1. 象限分布 ：图象在第_______、_______象限；：图象在第_______、_______象限。 1. 增减性（必考易错点） 只能在同一象限内讨论单调性： ，每个象限内，随增大而_______； ，每个象限内，随增大而_______； 跨象限不能直接比较函数值大小。 1. 对称性质 中心对称：对称中心为______________； 轴对称：对称轴直线_______、_______。 知识点三 反比例函数图象特征 1. 渐近特征：双曲线无限贴近_______、_______，但不会与坐标轴_______，、永远不为 0。 1. 远近规律：越大，双曲线离原点越远；越小，越靠近原点。 1. 对称点规律：若在双曲线上，则一定也在图象上。 1. 图象断开，两支无连接，自变量不能取_______。 知识点四 反比例函数的几何意义 1. 基础模型：双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，形成矩形面积等于； 1. 基础模型：该点、垂足、原点构成直角三角形，面积等于______________； 1. 解题技巧：已知面积求，先写面积对应数值，再根据图象所在象限判断正负； 1. 拓展：同一反比例函数上任意点构造的同类图形面积相等。 知识点五 反比例函数与一次函数综合 1. 求交点：联立两个函数解析式，消元得到一元二次方程，利用_______判断交点数量； 1. 对称结论：若正比例函数与反比例函数有两个交点，则两点关于_______对称； 1. 不等式解法：观察图像，谁在上，谁的函数值更大，分段写出范围； 1. 常考计算：利用几何意义求交点围成三角形面积、求参数。 知识点六 反比例函数实际应用 1. 模型识别：两个变量乘积固定不变，选用反比例函数； 1. 建模流程：找定值→写函数式→结合实际限定； 1. 常见题型：长方形面积、匀速行程、工程总量、单价与销量； 1. 检验要求：实际意义中长度、速度、时间、数量均为正数，负数解直接舍去。 易错点1 求比例系数k的符号/值 易错提醒 易错点总结 1. 已知面积求 k 时，直接把面积当成 k，忘记带绝对值、不分正负，符号写反。 2. 只代数求值，忽略双曲线所在象限，导致 k 正负相反。 3. 看错坐标、代错正负号，计算出错误 k 值。 注意事项总结 1. 面积永远为正，先算 |k|，最后必须看象限定正负。 2. 一三象限 k>0，二四象限 k<0。 3. 求 k 必须代入完整坐标，正负号严格带入，不口算。 【对点训练】1．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 易错点2 k的几何意义应用 易错提醒 易错点总结 1. 混淆公式：三角形面积记成 |k|、矩形面积记成，公式颠倒。 2. 多点、组合图形不会用割补法，不会利用“同双曲线面积相等”结论。 3. 图形跨象限、含负数坐标，忘记绝对值，面积算成负数。 注意事项总结 1. 死记核心公式：矩形面积 =|k|，三角形面积 =。 2. 双曲线上任意一点构造的标准图形面积恒定，与点的位置无关。 3. 所有面积计算必须带绝对值，面积绝对不为负。 4. 复杂图形优先用“大减小、割补法”结合 k 几何意义解题。 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 易错点3 增减性判断 易错提醒 易错点总结 1. 最大易错：直接说 k>0，y 随 x 增大而减小，漏掉“在每一象限内”，直接扣分。 2. 跨象限比较函数值，乱用增减性，大小判断完全颠倒。 3. 不清楚：不在同一象限的点，不能用增减性比较。 注意事项总结 1. 增减性铁律：只能在同一象限内讨论，严禁跨象限判断。 2. 比较函数值优先方法：画图、看象限、代值计算，不靠直觉。 3. 答题必须写完整：在每个象限内，y 随 x 增大而增大/减小。 【对点训练】3．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 易错点4 与一次函数综合题 易错提醒 易错点总结 1. 联立方程求解计算出错，不会用判别式判断交点个数。 2. 函数不等式解集看图不全，漏区间、漏分段。 3. 不知道双交点关于原点对称，浪费大量计算时间。 4. 求面积时混用一次函数、反比例函数高和底，公式混乱。 注意事项总结 1. 不等式解集口诀：谁高谁大，分段取值，左右分开。 2. 一直一反两交点，一定关于原点对称，可直接用对称点解题。 3. 面积计算优先：铅垂高、水平宽，结合 k 几何意义快速求解。 4. 综合题必须画图辅助，杜绝纯空想导致区间漏解。 【对点训练】4．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 一、单选题 1．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 4．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 二、填空题 6．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 7．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 8．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 9．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 10．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 三、解答题 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 12．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 13．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 15．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 知识点一 反比例函数的概念 1. 定义：形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。 1. 三种等价形式 ① 分式型：；② 乘积型：；③ 负指数型：。 1. 判定关键点： ① 自变量不能出现在分子，不能有、一次项； ② 常数不能等于 0； ③ ，。 1. 已知函数上一点坐标，代入解析式可直接求出的值。 知识点二 反比例函数的图象和性质 1. 图象：双曲线，分为独立两支，永不相交、不过原点。 1. 象限分布 ：图象在第一、三象限；：图象在第二、四象限。 1. 增减性（必考易错点） 只能在同一象限内讨论单调性： ，每个象限内，随增大而减小； ，每个象限内，随增大而增大； 跨象限不能直接比较函数值大小。 1. 对称性质 中心对称：对称中心为坐标原点； 轴对称：对称轴直线、。 知识点三 反比例函数图象特征 1. 渐近特征：双曲线无限贴近轴、轴，但不会与坐标轴相交，、永远不为 0。 1. 远近规律：越大，双曲线离原点越远；越小，越靠近原点。 1. 对称点规律：若在双曲线上，则一定也在图象上。 1. 图象断开，两支无连接，自变量不能取 0。 知识点四 反比例函数的几何意义 1. 基础模型：双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，形成矩形面积等于； 1. 基础模型：该点、垂足、原点构成直角三角形，面积等于； 1. 解题技巧：已知面积求，先写面积对应数值，再根据图象所在象限判断正负； 1. 拓展：同一反比例函数上任意点构造的同类图形面积相等。 知识点五 反比例函数与一次函数综合 1. 求交点：联立两个函数解析式，消元得到一元二次方程，利用判别式判断交点数量； 1. 对称结论：若正比例函数与反比例函数有两个交点，则两点关于原点对称； 1. 不等式解法：观察图像，谁在上，谁的函数值更大，分段写出范围； 1. 常考计算：利用几何意义求交点围成三角形面积、求参数。 知识点六 反比例函数实际应用 1. 模型识别：两个变量乘积固定不变，选用反比例函数； 1. 建模流程：找定值→写函数式→结合实际限定； 1. 常见题型：长方形面积、匀速行程、工程总量、单价与销量； 1. 检验要求：实际意义中长度、速度、时间、数量均为正数，负数解直接舍去。 易错点1 求比例系数k的符号/值 易错提醒 易错点总结 1. 已知面积求 k 时，直接把面积当成 k，忘记带绝对值、不分正负，符号写反。 2. 只代数求值，忽略双曲线所在象限，导致 k 正负相反。 3. 看错坐标、代错正负号，计算出错误 k 值。 注意事项总结 1. 面积永远为正，先算 |k|，最后必须看象限定正负。 2. 一三象限 k>0，二四象限 k<0。 3. 求 k 必须代入完整坐标，正负号严格带入，不口算。 【对点训练】1．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 易错点2 k的几何意义应用 易错提醒 易错点总结 1. 混淆公式：三角形面积记成 |k|、矩形面积记成，公式颠倒。 2. 多点、组合图形不会用割补法，不会利用“同双曲线面积相等”结论。 3. 图形跨象限、含负数坐标，忘记绝对值，面积算成负数。 注意事项总结 1. 死记核心公式：矩形面积 =|k|，三角形面积 =。 2. 双曲线上任意一点构造的标准图形面积恒定，与点的位置无关。 3. 所有面积计算必须带绝对值，面积绝对不为负。 4. 复杂图形优先用“大减小、割补法”结合 k 几何意义解题。 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得出，利用同高三角形面积比等于底边比，求出的面积，再根据的几何意义求解即可； 【详解】解：， ， ， ∵的面积为， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， 图象在第二象限， ， ． 易错点3 增减性判断 易错提醒 易错点总结 1. 最大易错：直接说 k>0，y 随 x 增大而减小，漏掉“在每一象限内”，直接扣分。 2. 跨象限比较函数值，乱用增减性，大小判断完全颠倒。 3. 不清楚：不在同一象限的点，不能用增减性比较。 注意事项总结 1. 增减性铁律：只能在同一象限内讨论，严禁跨象限判断。 2. 比较函数值优先方法：画图、看象限、代值计算，不靠直觉。 3. 答题必须写完整：在每个象限内，y 随 x 增大而增大/减小。 【对点训练】3．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，时函数图象位于第二、四象限，同一象限内随增大而增大，先判断三点所在象限，再比较函数值大小. 【详解】解：∵ 反比例函数， ∴ 函数图象分别在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大. ∵ ，点D、E都在第二象限， ∴ ， ∵ ，点F在第四象限，∴ , ∴ . 易错点4 与一次函数综合题 易错提醒 易错点总结 1. 联立方程求解计算出错，不会用判别式判断交点个数。 2. 函数不等式解集看图不全，漏区间、漏分段。 3. 不知道双交点关于原点对称，浪费大量计算时间。 4. 求面积时混用一次函数、反比例函数高和底，公式混乱。 注意事项总结 1. 不等式解集口诀：谁高谁大，分段取值，左右分开。 2. 一直一反两交点，一定关于原点对称，可直接用对称点解题。 3. 面积计算优先：铅垂高、水平宽，结合 k 几何意义快速求解。 4. 综合题必须画图辅助，杜绝纯空想导致区间漏解。 【对点训练】4．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 一、单选题 1．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 3．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 二、填空题 6．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 7．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 8．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 9．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 10．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 三、解答题 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 12．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 13．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 15．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $