广东省中山市小榄中学2025-2026学年高三上学期9月开学考数学试题

2025年9月广东省中山市小榄中学高三 参考答案 【答案】 1.A 2.A 3.C4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.A,D 10.B,D 11.A,B,D 12品0.3 1{日-3<a<号好<a<} 14.(-0∞，-4)U(0,+∞) 15.(1)f()=-2(+3)2+4,x∈(-∞，-2) (2)如下图所示： (3)f(x)的值域为{y≤4}， 单调增区间为(-o∞，-3]和[0,3]， 单调减区间为[-3,0]和[3，+∞) 16m{& (2)2x+y的最小值为8. 17.(1)30 ②分布列见解析，B(灯=号 18.(1)m=2,f(x)在R上为增函数. (2)证明如下； (3)实数m的取值范围为(-3,1). 19①-吉 (2)证明见解析 【解析】 1.可知A={x2+x-6>0}={xz<-3或c>2}, ∴.A∩B={x2<x<3}=(2,3): 故选：A. 上学期开学考 2.因为x>0,y>0,若“x≥4，y≥6，则xy≥24， 所以“x≥4，y≥6”是“y≥24”的充分条件： 当x=2,y=13,满足xy≥24，但不满足x≥4，y≥6， 所以“x≥4，y≥6”不是“xy≥24”的必要条件. 故选：A. 3.C 【分析】根据不等式的性质判断。 【详解】，c<b<a且ac<0,∴.c<0<a, 由b>c,a>0得ab>ac,A正确： 又b-a<0,则c(b-a)>0,B正确： a-c>0,而ac<0,则ac(a-c)<0,D正确： 当c=-5,b=-2,a=4时，cb2>ca2,C错误. 故选：C. 4由82→n。a+m=8 故选：C. 5.f(a) 2士a9-2,》+=2+。图为>0，所以而数/回在化，止单调说减，所以透数 x-1 x-1 f(@)在区间2，上的最大值为f②)=2+221=2+a=5,解得a=3. 故选：B 6.对于A:因为m=2E-1且D()=3,所以D()=D(2E-1)=22×D()=12,故A正确： 对于B:因为10×45%=4.5，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B正确： 对于C:若事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B), 所以4网=P品-PAP回-PA.c正跑 P(B)P(B) 对于D:若A、B两组成对数据的相关系数分别为rA=0.95、rB=-0.98, 因为rB>r4,所以B组数据的相关性更强，故D错误 故选：D 7.因为函数f(x)= x+8a2,x≥1 ,在R上单调递增， (a+2)x-4,x<1 3a-2≤0，即a≤时，需满足1+3a-2之a+2-4。解得a≥-净 la+2>0 /√3a-2≤1 a≤1 所以-号≤a≤号当a-2>0即a>号时.指满足3a2≥a+2-4:即a≥专解得- ≤a≤1 a+2>0 (a>-2 ,a>号所号<a≤1， 综上，实数a的取位定因为[] 故选：B 8.因f(x)是R上的奇函数，则f(-x)=-f(x), 又由f(1+x)=f(1-x)可得f(-x)=f(x+2),则f(x+2)=-f(x), 故f(x+4)=-f(c+2)=f(c),即4为函数f(c)的一个周期. 因当0<x≤1时，f()=2+4,则f分)=2克+4安=2+V2,f1)=6, 又f②)=分)=2+V2,f2)=f0)=0,f3)=-)=-f分)=-2-②， f8)=f-1)=-f0=-6,f)=f-2)=-2-V2,f4=f0)=0, 则f(1)+f2)+f3)+④)=6+0-6+0=0， f分)+f)+f)+f)=2+V2+2+V恒-2-v2-2-V2=0, 2025 吃=9x0+2-2+2 故选：B. 9对于由题意可得{}色0解得-1≤2S1.所以e)-V的定义拔-1.小 由1-x2≥0得-1≤x≤1，所以g(x)=√1-x2的定义域为-1,1]. 又因为f(a)=√I+cV个-正=√1-x=g(),故函数f(x)与g(c)是相同的函数，故A正确. 对B,@=V+6+元之2V+16. 9 :=6,当且仅当V2+16=一9 时取等号。 √2+16 √x2+16 由于x2+16=9方程无解，故等号不成立，故B错误， 对于式右回=年高金定义装上为的面数 当长<0时，需要满足1+长学≠0→8专 则由奇函数定义域关于原点对称，可得-名=39→k=1 上到r--e0周-吕-号-o为前爵： 所以k=-1满足题意： 若k≥0可得函数的定义纹为Rk财0=计=0，架得=1，经检验符合感意。 所以k=±1，故C错误， 对于D,对于已知函数f(2+1)的定义域为-1,1]，则-1≤x≤1，故-1≤2x+1≤3，则函数f(x)的定义域为 [-1,3,D正确， 故选：AD. 10.对选项A,(2x-1)10=a0+a1x+a2x2++a10x0 令x=0,得ao=1,令x=1,得a0+a1+a2十·+a10=1, 所以a1十a2+…+a10=0,故A错误. 对选B,因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 所以ao+la+la2+…+la1o表示(2x+1)0的各项系数之和， 令x=1,则|o+1a1+la2+…+lao=310,故B正确. 对选项C,a2x2=C品(2x)2.(-1)8=180x2,所以a2=180,故C错误。 对选项D,因为(2c-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,a0=1, 2=名则（分”=1+号+尝+尝++器=0 。1, 10 则号+学+受器+…+器=-1，故D正确 故选：BD 11.对于A,由f'(x)=3x(x-2), 当x∈(-o0,0)U(2,+o∞)时，f'(x)>0: 当x∈(0,2)时，f(x)<0, 所以f(z)在(-o∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以x=2是函数f(c)的极小值点，故A正确： 对于B,易知 fx)+f(2-x)=x3-3x2+(2-x)3-3(2-x)2=x3-3x2+（-x3+3x2-4)=-4, 故B正确； 对于C,当0<x<1时，-1<2x-1<1, 因为函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 又f(-1)=-4,f(0)=0,f1)=-2,所以-4<f(2x-1)<0,所以C错误： 对于D中，令f(x)=t,则f(t)=-2的根有三个，如图所示，-1<1<0<t2<t3 21 所以方程∫(c)=t有3个不同根，方程f(x)=t2和f(x)=t3均有1个根， 故y=f[f(x】+2有5个零点，故D正确. 故选：ABD, 12.【方法一】排列组合 从5名同学中随机选3名的方法数为C%=10 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人的方法数为Cg=3, 枚根据古卖概型概率公式。甲、乙都入滤的概率P=品 【方法二】列举法 设另外3名同学为：丙、丁、戊，从5名同学中随机选3名的选法有： 甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊 共10种，其中甲、乙都入选的有：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊3种， 所以甲、乙都入选的概率P=品 13.{3-2z-2>0,即e-+3)<0 12x-1卡0 2x-1卡0 解得 -3<x<1 ≠号 枚函数的定义为{-3<a<站<<} 故答案为 {-3<<<< 14.y=(x+a)e,则y=(x+1+a)e2, 设切点为(ro,6),则=(c0+a)eo,切线斜率k=(x0+1+a)eo, 切线方程为：y-(co+a)eo=(c0+1+a)e(x-xo), 由于切线过原点，故-(o+a)e=(xn+1十a)eo(-xo): 整理得：x哈+ax0-a=0, 曲线y=(c+a)e有两条过坐标原点的切线，故△=a2+4a>0, 解得a<-4或a>0, 故a的取值范围是(-∞，-4)U(0,+∞) 15.(1)当x>2时，设f(x)=a(x-3)2+4, :f(x)的图像过点A(2,2),f(2)=a(2-3)2+4=2, ∴.a=-2, ∴.f(x)=-2(x-3)2+4, 设x∈(-0∞，-2)，则->2， f(-x)=-2（-x-3)2+4, 又因为f(x)在R上为偶函数， ∴.f(-x)=f(x)； .f(x)=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-o,-2), (2) -5:-4-3:-2-10 12345 -5 (3)由图像观察可知f(x)的值域为{y≤4}， 单调增区间为(-∞，-3]和[0,3]， 单调减区间为[-3,0]和[3，+) 16.(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或c>}(b>1), 可知1和b是方程ax2一-3x+2=0的两个实数根且a>0, 可得1+6=是，解符。。 1.b=2 (b=2 2)由(1)知a=1 可得1+2=1 1b=2 x y 且x>0,y>0, +2) 可得2m+y=(2x+)(元+可 1. =4++红≥4+2V4=8, x y 当且仅当=，即时，等号成立 (y=41 所以2x+y的最小值为8. 17.(1)由直方图可得数学成绩大于120的频率为(0.028+0.02+0.012) 故成绩大于120的人数为50×0.6=30人 (2)利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，其中共有6人数学成 而X可取0,1,2,3， <10=0.6, 绩达到优秀， P(X=0)= 器可Px=刂-C-品 C310 10 P(X=2)= Q-专Px==- C310 C310 故X的分布列为： 0 P 3010 B(凶=1×0+2x2+3×日-g 3 6=5 10内f侧-是所以器吕-号甲m3-4 因为m>0,所以m=2. 24-1 函数f()=2+1 12子在R上为璃函数。 2 ②由1①知国-品完义蚊机-o 对意ae=-多-=- 所以函数f(x)是奇函数， (3)不等式f(m2)+f(2m-3)<0等价于 f(m2)<-f(2m-3), 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(m2)<f(3-2m): 又因为函数f(c)在R上为增函数， 所以m2<3-2m,即m2+2m-3<0. 解得-3<m<1. 所以实数m的取值范围为(-3,1). 19回的定义域为0,1四)了回=a+日=“出， 当a≥0时，(c)>0,f()在(0，+∞)上单调递增，函数f()无极值， 1 当a<0时，令f()>0,得0<x<- 令f回<0，得2>君 f回在(0)上单调适增，在(。 上单调递减， 故当x=-二时，()取得极大值，极大值为 )=()=1,解得a= e 经检验a=-上符合题意，故实数a的值为-】 (2)当a=-1时，f(x)=nx-x+1,故要证f(e)≤g(),即证ce-x-血x-1≥0， 令回=e--aa-,则P回=e+1e-日1=e+0(e-)z>0 令ca间)=e-是e>0则G(回=+ >0, ∴G()在(0，+∞)上单调递增， c()=v-2<0,80=8-1>0, 西e(2,使得ca)=0,即e0- 当x∈(0，o)时，G(a)<0,x∈(xo,+∞)时，G()>0, F(c)在(0，xo)上单调递减，在(o,+∞)上单调递增， .F(c)min =F (co)=coe*0-2o-Ino-1, 又因为e0-1，即n=-h0 花0 :F(o)min=1-20+z0-1=0, ∴F(x)≥0，即xe-x-lnx-1≥0，故f(x)≤g(c),得证2025年9月广东省中山市小榄中学高三上学期开学考 一、单选题 1.已知集合A={x2+x-6>0},集合B={-1<x<3},则A∩B=() A.(2,3) B.（-1,2) C.(-3,3) D.（-1,3) 2.已知x>0,y>0,则x≥4，y≥6是“xy≥24的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分又不必要条件 3.己知a、b、c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定能成立的是() A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.cb2<ca2 D.ac(a-c)<0 4.已知点(a,27)在幂函数f(x)=(a-2)xm(a,m∈R)的图象上，则a+m=() A.4 B.5 C.6 D.7 5.已知函数f回=2+a-2(a>0在区间2,6上的最大值为5，则a=(） x-1 A.2 B.3 C.15 D.3或15 6.下列说法错误的是() A.若随机变量ξ、n满足n=2E-1且B.样本数据50,53,55,59,62,68 D()=3,则D()=12 ,70,73,77,80的第45百分位数为62 C.若事件A、B相互独立，则 D.若A、B两组成对数据的相关系数 P(AB)=P(A) 分别为rA=0.95、rB=-0.98,则A组 数据的相关性更强 7.已知函数f(x)= ∫x+0,x≥1， 在R上单调递增，则实数a的取值范围为() (a+2)x-4,x<1 A创 B 11 2’1 C.（-2,1 D. 1 -2,-2 8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当0<x≤1时，f(x)=2+4,则 -() 1 A.-2-V2 B.2+V2 C.6 D.8+√2 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.函数f(x)=√I+x√I-元与 B.函数f(x)=Vx2+16+ 9 g(x)=√1-x是相同的函数 Vm2+16 的最小值为6 k-3 C.若函数f()=1+k3 在定义域D.已知函数f(2x+1)的定义域为 上为奇函数，则k=1 [-1,1],则函数f(x)的定义域为[-1,3] 10.若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R,则（) A.a1+a2+·+a10=1 B.laol+lail+la21+...+laol =310 C.a2=160 D. 03 210--1 1过士a2+3十十0、 11.己知函数f(x)=x3-3x2,则下列说法正确的是() A.x=2是函数f(x)的极小值点B.f(x)+f(2-x)=-4 C.当0<x<1时， -4<f(2x-1)<-2 D.函数y=ff(x】+2有5个零点 三、填空题 12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 13.函数f(x)= 2x+1 +(2x-1)°的定义域为 V3-2x-x2 14.若曲线y=(x+a)e2有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 四、解答题 15.设为定义在R上的偶函数，当0≤花≤2时，y=x,当x>2时，y=f(c)的图象是顶点为P(3,4) 且过点A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数f(x)在(-o∞，-2)上的解析式： (2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象： (3)写出函数f(c)的值域和单调区间. -5-4-3-2-1可12345大 ... -5 16.已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>b}(6>1). (1)求a,b的值； (2)当红>0，>0，且满足9+。=1.求2x十的最小值 x y 17.疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式.，为了检验网课学习的成果，某 学校进行了一场开学考试，某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下 图所示.分布区间分别为90,100)，[100,110)，[110,120)，120,130)，[130,140)，[140,150]，数学 考试成绩不低于120分为优秀. 频率 组距 0.028 0.020 0.014 0.012 0.006 00100110120130140150成绩/分 (1)求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数： (2)从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的 试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份 数.求X的分布列和数学期望. 18已知丽数因-产m>0.时包-3 ,m2+1 (1)求m的值，并指出函数y=f(c)在R上的单调性（只需写出结论即可)； (2)证明：函数f(x)是奇函数； (3)若f(m2)+f(2m-3)<0,求实数m的取值范围. 19.已知函数f(x)=aa+nx+1,g(x)=xe-2c. (1)若f(x)的极大值为1，求实数a的值： (2)若a=-1,求证：f(x)≤gx)