精品解析：广东省中山市小榄中学2026届高三上学期9月开学考数学试题

2025年9月广东省中山市小榄中学高三上学期开学考 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，即可根据交集定义求出. 【详解】可知或， . 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解和交集的运算，属于基础题. 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因为，，若“，，则， 所以“，”是“”的充分条件； 当，满足，但不满足， 所以“，”不是“”的必要条件. 故选：A. 3. 已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断. 【详解】∵且，∴， 由，得，A正确； 又，则，B正确； ，而，则，D正确； 当时，，C错误． 故选：C． 4. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 5. 已知函数在区间上的最大值为5，则（ ） A. 2 B. 3 C. 15 D. 3或15 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量、满足且，则 B. 样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62 C. 若事件、相互独立，则 D. 若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因为且，所以，故A正确； 对于B：因为，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论. 【详解】因为函数在上单调递增， 当，即时，需满足，解得， 所以； 当，即时，需满足， 即，解得，又，所以, 综上，实数的取值范围为. 故选：B 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得答案. 【详解】因是上的奇函数，则， 又由可得，则， 故，即4为函数的一个周期. 因当时，，则，， 又，，， ，，， 则， ， 则. 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，． 由得，所以的定义域为,． 又因为，故函数与是相同的函数，故A正确． 对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误． 对于C,若在定义域上为奇函数， 当时，x需要满足， 则由奇函数定义域关于原点对称，可得， 此时，，为奇函数， 所以满足题意； 若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意， 所以，故C错误， 对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确， 故选：AD． 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A， ， 令，得，令，得， 所以，故A错误. 对选B，因为， 所以表示的各项系数之和， 令，则，故B正确. 对选项C，，所以，故C错误. 对选项D，因为，， 令，则， 则，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. C. 当时， D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数计算函数的导函数，计算极值即可判定A；利用函数解析式展开化简可判定B；利用函数的单调性及整体思想计算可判定C；利用A、B结论结合函数的单调性、对称性作出函数大致图象，并通过换元法化方程为，确定其根的个数，再利用函数图象令，得出根的情况即可判定D. 【详解】对于A，由， 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，故A正确； 对于B，易知 ， 故B正确； 对于C，当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，故D正确． 故选:ABD． 【点睛】思路点睛：对于三次函数的对称性可利用结论计算；函数的迭代问题可利用换元法处理. 三、填空题 12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题 15. 设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分． （1）求函数在上的解析式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）写出函数的值域和单调区间． 【答案】(1) (2) 见解析（3）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）先设抛物线顶点式方程，代入求出开口大小，再根据偶函数性质求在上的解析式；（2）根据描点法画出函数图像，或根据对称性画函数图像（3）根据图像确定最值得函数值域，根据函数图像增减得单调区间 试题解析： 点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 16. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a，b的值； （2）当，，且满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）分析可知1和是方程的两个实数根且，方法一：利用韦达定理运算求解；方法二：由1是的根可得，代入求解即可； （2）根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 可知1和是方程的两个实数根且， 方法一：可得，解得； 方法二：由1是的根，则，解得， 将代入得，解得或， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，可得， 且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为8. 17. 疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为优秀． （1）求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数； （2）从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数．求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）30 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据直方图可得相应的频率，从而可求相应的人数. （2）根据（1）的频率可求10人数学成绩优秀的人数，再根据超几何分布可求的分布列，最后根据公式可求期望. 【小问1详解】 由直方图可得数学成绩大于120的频率为， 故数学成绩大于120的人数为人. 【小问2详解】 利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，其中共有6人数学成绩达到优秀， 而可取， ，， ，， 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 18. 已知函数，且. （1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数是奇函数； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2，在上为增函数； （2）由（1）知定义域为. 对任意，都有. 所以函数是奇函数； （3）（，1）. 【解析】 【分析】（1）由，代入解析式，解方程求出的值，利用指数函数的单调性即可求解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断. （3）利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数为增函数可得，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以. 函数在上为增函数. （2）略 （3）不等式等价于 ， 因为函数是奇函数， 所以， 又因为函数在上为增函数， 所以，即. 解得. 所以实数的取值范围为（，1）. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19. 已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值； （2）若，求证：. 【答案】（1） （2） 当时，，故要证，即证. 令，则，. 令，，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又因为，即， 所以， 所以，即，故得证. 【解析】 【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可； （2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得. 经验证符合题意，故实数a的值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月广东省中山市小榄中学高三上学期开学考 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知函数在区间上的最大值为5，则（ ） A. 2 B. 3 C. 15 D. 3或15 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量、满足且，则 B. 样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62 C. 若事件、相互独立，则 D. 若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 6 D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. C. 当时， D. 函数有5个零点 三、填空题 12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 13. 函数的定义域为______． 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题 15. 设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分． （1）求函数在上的解析式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）写出函数的值域和单调区间． 16. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a，b的值； （2）当，，且满足，求的最小值. 17. 疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为优秀． （1）求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数； （2）从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数．求X的分布列和数学期望． 18. 已知函数，且. （1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数是奇函数； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值； （2）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $