精品解析：广东省东莞市石龙中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量自查数学试题

东莞市石龙中学2025-2026学年度第一学期第一次教学质量自查试卷 高二数学 命题人：许春燕审题人：祁杰莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 4. 在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 四面体OABC中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 7. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 8. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. 若直线斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则_________． 13. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则__________. 14. 已知点在直线上，则的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． （1）将用表示出来； （2）当时，求与夹角的余弦值. 17. 如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点坐标； （3）求的面积． 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市石龙中学2025-2026学年度第一学期第一次教学质量自查试卷 高二数学 命题人：许春燕审题人：祁杰莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 4. 在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 5. 在四面体OABC中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】 故选：C 6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D. 7. 下列命题正确是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案. B注意到当时不满足题目描述； C由投影向量计算公式可判断选项正误； D两向量夹角钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误； B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误； C选项，在上的投影向量为， 故C正确； D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线， 得，故D错误. 故选：C 8. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. 若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，设出平行直线方程，根据直线过点可得；B选项，利用正切函数图象即可求得倾斜角的取值范围；C选项，先根据两直线平行求得a，然后由平行直线的距离公式即可判断；D选项，根据两直线斜率公式，结合图形，即可得斜率的范围. 【详解】A选项：设与直线平行的直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以过点且和直线平行的直线方程是，A正确； B选项：作出函数的图象，如图： 由图可知，当斜率时，倾斜角的范围为，B错误； C选项：若直线与平行，则， 的方程可化为，由平行直线之间的距离公式得，C正确； D选项，由于直线恒过定点,,结合图形可知，当 直线与线段相交，斜率,或，故D错误， 故选：AC 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 13. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 故答案为： 14. 已知点在直线上，则的最小值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． （1）将用表示出来； （2）当时，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； (2)分别求得，，利用向量数量积的运算律求得，，利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【小问1详解】 由图知， ； 【小问2详解】 当时，由（1）知，，， 因 故 ， 且 ， 设与的夹角为， 则. 17. 如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结交于点，连结，证明出平面，即可证得； （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用异面直线的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 因为正四棱锥，所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 所以， 所以， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【小问1详解】 设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. 【小问3详解】 ， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，求得，由，即可求证平面； （2）求得平面的一个法向量，设向量与的夹角为，根据，即可求得答案； （3）设，求向量与平面法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，从而可求出结果. 【详解】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， . 不妨设，则， . 又， ， . 又平面， 平面； （2）， 设平面的一个法向量为， 不妨设，则，， . 设向量与的夹角为， 则， ， . 平面与平面所成二面角的正弦值为； （3）设， 则，所以， 又平面的一个法向量为， 即直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 【点睛】本题主要考查向量法求证线面平行和向量法求二面角，以及由线面角求其它量的问题，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $