第3章 圆章节重难点题型汇总（10大题型） 数学新教材苏科版九年级上册

重难点专题3 圆章节重难点复习 直击考点 重难点一 圆的相关概念 关键是利用圆的半径相等得到等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质,三角形的内角和定理或外角性质求角即可. 例1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余． 【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠B＝50°， ∵CD＝CB， ∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 【变式1-1】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-2】如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到． 【详解】证明：连接，， ，是的半径， ， ， 又 ， ， ． 【变式1-3】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　） A．36° B．30° C．18° D．24° 【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案． 【答案】解：如图： CE＝OB＝CO，得 ∠E＝∠1． 由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E． 由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E． 由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E． 由∠3＝72°，得3∠E＝72°． 解得∠E＝24°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质． 重难点二 垂径定理求线段长 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备： ①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 例2.如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理求出的度数，由垂径定理求出，从而求出即可． 【详解】解：如图，设交于点E． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径长为4． 故答案为：4． 【变式2-1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵CE＝2， ∴BE6， 则AE10， ∴AO＝OD＝5， 在Rt△AOC中，OC3， 则CD＝OD﹣OC＝2， 故选：C． 【变式2-2】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2， 证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案． 【答案】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示： 则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3， ∴EG＝AG﹣AE＝2， 在Rt△BOG中，OG＝＝＝2， ∴EG＝OG， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2， ∵∠DEB＝75°， ∴∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝， 在Rt△ODF中，DF＝＝＝， ∴CD＝2DF＝2； 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式2-3】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2.5 【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【答案】解：设⊙O的半径为r． ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝2， 在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°， ∴OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣1）2+22， ∴r＝， ∴OC＝， ∵OA＝OE，AC＝CB， ∴BE＝2OC＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 重难点三 圆周角定理 1.圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2.圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 例3.如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 【变式3-1】如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【分析】连接OB、OC．求出∠BOD即可解决问题． 【答案】解：连接OB，OC， ∵∠ADC＝55°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝110°， ∴弧AC＝110°， ∵AD是半圆的直径， ∴弧CD＝70°， ∵D是弧BD的中点， ∴弧BD＝140°， ∴∠BOD＝140°， ∴∠BAD＝∠BOD＝70°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【变式3-3】如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2 C． D． 【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明∠AOB+∠COD＝90°，在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，OD， ∵∠BOC＝2∠CAB，∠AOD＝2∠ACD，∠CAB+∠ACD＝120°， ∴∠BOC+∠AOD＝240°， ∴∠AOB+∠COD＝120°， 在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则， ∴∠AOB＝∠DOE， ∴∠COE＝120°， ∴∠CDE＝120°， ∴∠EDT＝60°， ∵DE＝AB＝2， ∴DT＝1，ET， ∴CT＝CD+DT＝4+1＝5， ∴CE， 作OF⊥CE，则∠COF＝60°，CF， ∴OC＝OE， 故选：D． 重难点四 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 例4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数． 方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数． 【解答】解：方法一：连接OD，如图所示， ∵∠ABD＝20°， ∴∠AOD＝40°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°， ∴∠OAD＝∠ODA＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠OAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°， 故选：C． 方法二：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°， 故选：C． 【变式4-1】如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 【答案】/72度 【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解． 【详解】解：如图，延长到H， 四边形内接于， ， ， ，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度． 【变式4-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°． ∵＝，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 【变式4-3】如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点C作于H，， 设，则， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 重难点五 弧长的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 例5.如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D，求出∠D＝2x°，根据圆内接四边形得出∠ABC+∠D＝180°，求出x，求出∠AOC＝144°，再根据弧长公式求出即可． 【解答】解：设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D， ∴∠D＝2x°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴3x+2x＝180， 解得：x＝36， 即∠AOC＝144°， ∴的长为π， 故选：A． 【变式5-1】如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【变式5-2】如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　） A． B． C． D．4π 【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD，再利用折叠性质判断AC＝DC，利用等腰三角形性质得到AF＝DF，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长． 【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E， 由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD． 又OB＝5， ∴OD， ∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD， ∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形． ∵CF⊥AB， ∴AF＝DF， 又四边形ODFE为矩形且OD＝DF， ∴四边形ODFE为正方形． ∴， ∴CE2， ∴CF＝CE+EF＝3BF， 故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°， ∴所对的圆心角为90°， ∴． 故选：A． 【变式5-3】如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 重难点六 正多边形与圆 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 例6.正五边形A内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】由正六边形的性质得出∠COD＝60°，由圆周角定理求出∠CMD＝30°． 【解答】解：连接OC，OD， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠CMDCOD＝30°， 故选：C． 【变式6-2】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　 　度． 【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题． 【答案】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠E＝∠A＝＝108°． ∵AB、DE与⊙O相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°， 故答案为：144． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 【变式6-3】如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 　36°　． 【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【解答】解：∵正五边形ABCDE， ∴∠ABC＝∠EAB108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE， ∴∠ACB＝∠BAC36°， ∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°， ∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°， ∴DE∥AC， 又∵DE＝AE＝AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AE∥DF， ∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA， ∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 故答案为：36°． 重难点七 圆中的最值问题 例7.如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（       ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得． 【详解】解： 点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E 如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD 当点E、P、D在一条直线上时，PD最小 理由如下： ，EP=EF (当且仅当点F与点P重合时取等号) 此时PD最小 ，点E是AB的中点，EP是圆的半径 在中， 故PD的最小值为8 故选：A 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键． 【变式7-1】如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为_______________________． 【答案】2 【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【详解】解： ∵AB⊥BC， ∴∠ABP＋∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP＋∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小， 在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4， ∴OB＝AB＝3， ∴OC＝， ∴PC＝OC−OP＝5−3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为　 　． 【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA＝AB，CM＝CB，所以AC＝OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题． 【答案】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM， ∵P（3，4）， ∴由勾股定理得：OP＝＝5， ∵OA＝AB＝2.6，CM＝CB， ∴AC＝OM， ∴当OM最小时，AC最小， ∴当M运动到M′时，OM最小， 此时AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝（5﹣2）＝， 故答案为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型． 【变式7-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为　 　． 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【答案】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB＝＝＝10， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE＝AB＝5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME＝AD＝2． ∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7． ∴最大值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 重难点八 垂径定理的应用 垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解即可. 例8.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　） A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸 【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可； 【解答】解：设⊙O的半径为r寸． 在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r， 则有r2＝52+（r﹣1）2， 解得r＝13， ∴⊙O的直径为26寸， 故选：C． 【变式8-1】如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 　15　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142） 【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A＝30°，则OC＝10，AC＝10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可． 【解答】解：作OC⊥AB于C，如图， 则AC＝BC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B（180°﹣∠AOB）（180°﹣120°）＝30°， 在Rt△AOC中，OCOA＝10，ACOC＝10， ∴AB＝2AC＝2069（步）； 而的长84（步）， 的长与AB的长多15步． 所以这些市民其实仅仅少走了 15步． 故答案为15． 【变式8-2】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论． 【答案】解：（1）连结OA， 由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34； （2）连结OA′， ∵OE＝OP﹣PE＝30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16． ∴A′B′＝32． ∵A′B′＝32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【变式8-3】如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 重难点九 切线的判定与性质 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 例9.如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度． 【解答】解：如图，连接OA、OD， ∵∠C＝45°． ∴∠AOD＝2∠C＝90°． 又∵OA＝OD，AD＝4， ∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2． 又∵AB是⊙O的切线， ∴∠OAB＝90°． ∵∠B＝30°，OA＝2， ∴ABOA＝2． 故选：D． 【变式9-1】PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 　55°或125°　． 【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°， ∵∠APB＝70°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°， 当点C在劣弧AB上，则∠ACB∠AOB＝55°， 当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°． 则∠ACB的度数为55°或125°． 故答案为：55°或125°． 【变式9-2】如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式9-3】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵AD∥OE， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO， ∴∠DOE＝∠EOB， ∵OD＝OB，OE＝OE， ∴△DOE≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴直线BE与⊙O相切； （2）设⊙O的半径为r， 在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， ∴r＝3， ∴AB＝2r＝6， ∴BC＝AC+AB＝2+6＝8， 由（1）得：△DOE≌△BOE， ∴DE＝BE， 在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2， ∴82+BE2＝（4+DE）2， ∴64+DE2＝（4+DE）2， ∴DE＝6， ∴DE的长为6． 重难点十 圆中阴影面积的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为，扇形面积公式： 例10. 如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质；连接，根据正方形的性质和扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接． 四边形是正方形， ，， ，则 图中阴影部分的面积为 故选：A． 【变式10-1】如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即：， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【变式10-2】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式10-3】（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________． 从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2） 【解析】 【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下： 如图，连接， ， ， 弦平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切； 二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下： 如图，连接， ， ， 弦平分， ， ， ， 与相切， ， ； （2）如图，连接， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 由圆周角定理得：， 则阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题3 圆章节重难点复习 直击考点 重难点一 圆的相关概念 关键是利用圆的半径相等得到等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质,三角形的内角和定理或外角性质求角即可. 例1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1-1】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【变式1-3】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　） A．36° B．30° C．18° D．24° 重难点二 垂径定理求线段长 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备： ①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 例2.如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【变式2-1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【变式2-2】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【变式2-3】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2.5 重难点三 圆周角定理 1.圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2.圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 例3.如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【变式3-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【变式3-3】如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2 C． D． 重难点四 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 例4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【变式4-1】如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 【变式4-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【变式4-3】如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 重难点五 弧长的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 例5.如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【变式5-1】如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　） A． B． C． D．4π 【变式5-3】如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 重难点六 正多边形与圆 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 例6.正五边形A内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【变式6-1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【变式6-2】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　 　度． 【变式6-3】如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 　 　． 重难点七 圆中的最值问题 例7.如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（       ） A．8 B． C．10 D． 【变式7-1】如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为_______________________． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为　 　． 【变式7-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为　 　． 重难点八 垂径定理的应用 垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解即可. 例8.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　） A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸 【变式8-1】如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 　 　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142） 【变式8-2】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【变式8-3】如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 重难点九 切线的判定与性质 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 例9.如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式9-1】PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 　 　． 【变式9-2】如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【变式9-3】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 重难点十 圆中阴影面积的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为，扇形面积公式： 例10. 如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【变式10-1】如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【变式10-2】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________． 从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $