2.1锐角的正弦与余弦同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、素养提升三层设计，实现从正弦余弦概念辨析到综合几何应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正弦余弦定义、简单计算|通过概念辨析（如边长扩大对函数值影响）和直接计算（如Rt△中cosA求解），强化抽象能力| |中档|特殊角函数值、图形应用|结合直角三角形、正方形网格（如网格中cos∠BAC），培养几何直观与运算能力| |提升|综合几何推理|以正方形、平行四边形为情境（如求sin∠ECM），融合推理与建模，发展应用意识与创新意识|

2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.1锐角的正弦与余弦同步练习答案 一、选择题 1、在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的正弦值、余弦值的变化 情况是() 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，则sinA等于() B.4C C. AB D. BC 3.如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，则CosA=( ) ⊙ AB BC A.BC B. AB AB D.4C 4、在RtAABC中，∠C=90°，AC=5,AB=13,则sinA的值为( 12 13 A.72 B.13 C.13 D.72 5.如图所示，P为∠a的边OM上的一点，且P点的坐标为(3,4)，则sina的值是 () M A. B C. 0 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=7,则cosA=( c.5 D.7 7在△ABC中，∠C=90,5M=克则casB等于( A号 2 B. c D.1 2 2 8在Rt△ABC中，∠C=90,cosB= 2,则sinA的值为( 2 B. 3 2 C.2 D.3 9.2c0s60°的值等于( ) 2V3 A.1 C.25 D.5 10、如果△ABC中， sin4-cosB= 2,则下列结论正确的是() A.△ABC是等边三角形 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 11.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA= 3,BC=10,则AB长为() A.12 B.26 C.24 D.13 12.在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于() A.3 c.3/10 D. V10 10 10 二、填空题 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ,AC=4,则AB=—, 5 14.2c0s60°的值等于」 15、在△ABC中，∠C=90°，若cosB3 2,则∠B的度数为 16.若cosa=sin36°，则锐角a=三 17.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,则siA= 18如图，在△ABC中，∠C=90,AC=6,若cosA=亏，则BC的长为 3 三、解答题 19.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2,c=6,求sinA、cosA和taA的值. 20.计算(1)：2c0s45°+sin60°-. 2sin60+ 2 cos45°+sin30°·cos30°： (3)+. 2L如图，在△ABC中，∠C=90,BC=6,anA=子求AB的长和sinB的值. B 3 22.(素养提升题)如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点BE-3AE,试求sin∠ECM的值. 23.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB,已知CE=3,BE=4,DE=5. (I)求证：BE⊥CD: (2)求sin∠DAE. D E B 24、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD,垂足为E, BC=8, 646c- D B (I)求CD的长. (2)求∠DBE的正弦值. 2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.1锐角的正弦与余弦同步练习答案 一、选择题 1、在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化，锐角的正弦值、余弦值没有变化，故选：C 2、如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】解：在中，，，故选：C． 3．如图，已知在中，∠B=90°，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：在中，．故选：C． 4、在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，根据勾股定理得， 故选．    5.如图所示，P为∠α的边OM上的一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα的值是（　　） A. 　　 　B. C. 　　 　D. 解析：过P作PA⊥x轴，垂足为A，则OA＝3，PA＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝＝，故选B. 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝7，则cosA＝（        ） A. B. C.5 D. 解析：由题可知，在Rt△ABC中，cosA＝＝，故填. 7.在中，，,，则等于（        ） A. B. C. D. 【解答】解：∵ 在中，，, ∴ ∴ ,∴ .故选 8.在中，＝， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解答】在中，＝， ， 则＝ ，【答案】A 9．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【详解】解：，故选：A 10、如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形．故选C． 11．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，BC＝10，则AB长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝10， ∴AB1026． 故选：B． 12．在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（　　） A．3 B． C． D． 【详解】解：cos∠BAC． 故选：D． 二、填空题 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝4，则AB＝　　． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝4， ∴，解得：AB＝10． 故答案为：10． 14．的值等于 . 【详解】解：， 15、在中，，若，则的度数为 . 【详解】解：∵，∴， 16.若，则锐角________． 【解析】 . ∵是锐角 ∴ 17.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝　　　　. 解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴斜边AC＝＝＝5，∴sinA＝＝，故填. 18.如图，在中，，，若，则的长为________. 【解答】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 则由勾股定理得：的长为：. 故答案为：. 三、解答题 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝6，求sinA、cosA和tanA的值． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝6， ∴b4， ∴sinA，cosA，tanA． 20.计算（1）：2cos45°＋sin60°－. 解：原式＝2×＋－＝. （2） ； ， （3）＋. 解：原式＝＋＝＋＝－(1＋)2－(1－)2＝－3－2－3＋2＝－6. 21.如图，在中，，，，求的长和的值． 【答案】 解：∵ ，， ∴ ， 解得. ∵ ， ∴ ， ∴ . 22.(素养提升题)如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值. 【解析】设AE=x,则BE=3x,BC=AB=4x,AM=2x,CD=4x, ∴EC==5x, EM==x, CM==2x, ∴EM2+CM2=CE2, ∴△CEM是直角三角形, ∴sin∠ECM===. 23.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝3，BE＝4，DE＝5． （1）求证：BE⊥CD； （2）求sin∠DAE． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA ∴AD＝DE＝5， ∴BC＝5，AB＝CD＝DE+CE＝8， ∵CE2+BE2＝32+42＝25＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，BE⊥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC＝90°， ∴AE4， ∴sin∠DAE＝sin∠EAB． 24、如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $