2.6 有理数的乘方 讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“有理数的乘方”核心知识点，从有理数乘法回顾切入，通过连乘情境引出乘方定义（明确底数、指数、幂），梳理符号规律（奇负偶正），辨析易混表达式（如(-2)³与-2³），结合2ⁿ模型解决实际问题，构建完整知识支架。 该资料以折纸、细胞分裂等生活实例培养数学眼光，通过归纳推理、辨析训练发展数学思维（运算能力、推理意识），分层练习与自我检测清单助力数学语言表达，课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺。

《2.6 有理数的乘方》教学讲义 一、学习目标 依据苏科版教材要求，本课时从"知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观（数学素养）"三个维度确定学习目标，力求具体、可测。 1.1 知识与技能 能准确叙述乘方的概念，正确指出一个乘方算式中的底数、指数、幂，并会用"…的 n 次方""…的 n 次幂"规范读、写。 能熟练进行有理数乘方的基本运算，掌握"正数、负数、0"三类底数的符号规律，正确计算含括号与不含括号的乘方式（如 (-2)³ 与 -2³ 的区别）。 1.2 过程与方法 经历"连乘情境→发现简便记法→归纳符号规律→辨析易混表达式"的探究过程，体会从特殊到一般的数学归纳思想，以及"乘方是相同因数连乘的简便运算"的本质。 1.3 情感态度与价值观（数学素养） 通过折纸、拉面、细胞分裂等应用实例，感受乘方在刻画"指数级增长"中的力量，体会数学与生活的联系，增强符号意识与严谨的运算习惯。 二、情境导入与知识回顾 2.1 连乘情境，引出问题 问题 1（正方形面积）：边长为 2 的正方形，面积是多少？ 面积 = 2 × 2 = 4，即 2 个 2 相乘。 问题 2（正方体体积）：棱长为 2 的正方体，体积是多少？ 体积 = 2 × 2 × 2 = 8，即 3 个 2 相乘。 问题 3（细胞分裂）：某种细胞每 30 分钟由 1 个分裂成 2 个。经过 1 小时（即分裂 2 次），共有多少个细胞？ 第 1 次：1 × 2 = 2；第 2 次：2 × 2 = 4，即 2 个 2 相乘。 如果分裂 10 次，就要写"2 × 2 × 2 × … × 2"（共 10 个 2）——太繁琐了！ 2.2 知识回顾，铺垫方法 有理数乘法：几个不为 0 的有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，为奇数时积为负；0 与任何数相乘都得 0。 相反数：-(-a) = a；互为相反数的两数，奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等（后续将用到）。 点题：当相同因数连续相乘的次数很大时，需要一个简便记法来表达这种运算。这就是本节课要学习的——有理数的乘方。 三、核心概念 3.1 乘方的定义 乘方：求相同因数的积的运算叫作乘方。 其中的相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。 记法：乘方的结果（幂）记作 aⁿ，读作 "a 的 n 次方"；当 aⁿ 表示一个具体的数（运算结果）时，读作 "a 的 n 次幂"。 n 个 a 相乘 aⁿ = a × a × … × a │ └──────┬──────┘ │ └── 指数（相同因数的个数） └── 底数（相同的因数） （整体读作：a 的 n 次方 / a 的 n 次幂） 3.2 三点注意（务必记牢） 一个数可看作它本身的 1 次方，如 8 = 8¹，此时指数 1 通常省略不写。 在 aⁿ 中，底数 a 可以取任意有理数，指数 n 取正整数。 乘方是一种运算，而幂是这种运算的结果（类似"加法是运算，和是结果"）。 3.3 平方与立方 一个数的 二次方，也叫作它的平方；任何有理数的平方都是非负数（≥ 0）。 一个数的 三次方，也叫作它的立方；正数的立方为正，负数的立方为负，0 的立方为 0。 3.4 书写规范（重点：括号的"加与不加"） 规则：当幂的底数是分数或负数时，底数必须添上括号。 写法 含义 注意点 (-3)⁴ 4 个 (-3) 相乘：(-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81 底数是 -3，结果正 -3⁴ 3⁴ 的相反数：-(3×3×3×3) = -81 底数是 3，前面的"-"是符号 (-2)³ 3 个 (-2) 相乘 = -8 底数是 -2 -2³ 2³ 的相反数 = -8 底数是 2 关键区别：(-3)⁴ 表示 4 个 (-3) 相乘，底数是 -3，结果 = 81；-3⁴ 表示 3⁴ 的相反数，底数是 3，结果 = -81。两者底数不同、意义不同、结果也不同，切勿混淆。 3.5 即时小填空 （1） 在 (-4)³ 中，底数是 ______，指数是 ______，它表示 ______ 个 ______ 相乘。 正解：底数是 -4，指数是 3，表示 3 个 -4 相乘（即 (-4)×(-4)×(-4) = -64）。 答案提示：-4；3；3；-4。 说明：教材中有时将指数以普通数字呈现，本讲义统一使用上标形式以便阅读与排版。 四、有理数乘方的符号规律 根据有理数乘法法则（"负因数个数的奇偶性决定积的符号"），可以推出有理数乘方的符号规律： 4.1 三条基本规律 正数的任何正整数次幂都是正数。 例如：2³ = 8，2⁴ = 16，符号恒为正。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（口诀：奇负偶正）。 例如：(-2)³ = -8（奇，负）；(-2)⁴ = 16（偶，正）。 0 的任何正整数次幂都是 0。 例如：0³ = 0，0¹⁰ = 0。 4.2 "奇负偶正"的推导 以 (-2)ⁿ 为例：(-2)ⁿ 表示 n 个 (-2) 相乘，即共有 n 个负因数。 当 n 为奇数时，负因数个数为奇数 → 积为负； 当 n 为偶数时，负因数个数为偶数 → 积为正。 这正是从"几个非零有理数相乘，负因数个数定符号"直接推出的结论。 4.3 (-1)ⁿ 的规律（高频考点） n 的奇偶性 (-1)ⁿ 的值 说明 n 为偶数 (-1)ⁿ = 1 如 (-1)¹⁰ = 1 > 0 n 为奇数 (-1)ⁿ = -1 如 (-1)¹³ = -1 < 0 补充：1 的任何次幂都等于 1；(-1)ⁿ 与 (-1)ⁿ⁺¹ 互为相反数。 五、aⁿ、(-a)ⁿ、-aⁿ 辨析 这是学生最容易混淆的一组表达式，务必通过下表和例题彻底厘清。 5.1 三式辨析表 表达式 含义（读法） 底数 符号结论（结合 4.1 规律） aⁿ n 个 a 相乘 a 由 a 的正负与 n 的奇偶共同决定 (-a)ⁿ n 个 (-a) 相乘 -a 由 (-a) 的正负与 n 的奇偶决定；即 a 的奇次幂取反、偶次幂不变 -aⁿ aⁿ 的相反数（先算 aⁿ，再取相反数） a 与 aⁿ 符号相反 联系小结： 相同点：三式的指数都是 n。 不同点：aⁿ = n 个 a 相乘；-aⁿ = n 个 a 相乘的积的相反数；(-a)ⁿ = n 个 (-a) 相乘。 特殊关系（a ≠ 0 时）： n 为奇数时，-aⁿ = (-a)ⁿ，且二者都与 aⁿ 互为相反数； n 为偶数时，aⁿ = (-a)ⁿ，且二者都与 -aⁿ 互为相反数； a = 0 时，三式均为 0。 记忆要点：先分清底数有没有括号；-aⁿ 永远是对 aⁿ 取相反数。 5.2 辨析例题 例：当 a = -3，n = 4 时，分别求 aⁿ、(-a)ⁿ、-aⁿ 的值，并比较它们的大小关系。 解： aⁿ = (-3)⁴ = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81； (-a)ⁿ = [-(-3)]⁴ = 3⁴ = 3×3×3×3 = 81； -aⁿ = -((-3)⁴) = -(81) = -81。 比较：aⁿ = (-a)ⁿ = 81，-aⁿ = -81，故 aⁿ = (-a)ⁿ > -aⁿ。 说明：n = 4 为偶数，符合"偶数时 aⁿ = (-a)ⁿ，二者均与 -aⁿ 互为相反数"的结论，验证一致。 六、典型例题与常考题型 例 1　基础计算（教材例1及跟踪训练） 计算下列各式： (1) 3⁶　(2) 6³　(3) (-2)⁴　(4) (-5)³ (5)（-4）³（跟踪训练）　(6) (-1/2)³（跟踪训练）　(7) -5³（跟踪训练） 解： (1) 3⁶ = 3×3×3×3×3×3 = 729； (2) 6³ = 6×6×6 = 216； (3) (-2)⁴ = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16； (4) (-5)³ = (-5)×(-5)×(-5) = -125； (5) (-4)³ = (-4)×(-4)×(-4) = -64； (6) (-1/2³ = (-1/2×(-1/2)×(-1/2) = -1/8； (7) -5³ = -(5×5×5) = -(125) = -125。 提示：第(7)题 -5³ 的底数是 5，结果不是 (-5)³，二者不要混淆。 例 2　符号判断 判断下列各式的正负，并说明理由： (1) (-1)¹⁰　(2) (-7)¹³　(3) (-3)⁴　(4) -3⁴ 解： (1) (-1)¹⁰：正数。理由：指数 10 为偶数，(-1) 的偶次幂 = 1 > 0。 (2) (-7)¹³：负数。理由：底数 -7 为负，指数 13 为奇数，负数的奇次幂为负。 (3) (-3)⁴：正数。理由：底数 -3 为负，指数 4 为偶数，负数的偶次幂为正（= 81）。 (4) -3⁴：负数。理由：它表示 3⁴ 的相反数，即 -(81) = -81 < 0（底数不含括号）。 例 3　末位数字规律 求 2²⁰²⁴ 的末位数字。 解：观察 2 的正整数次幂的末位数字： 2¹ = 2，2² = 4，2³ = 8，2⁴ = 16，2⁵ = 32，2⁶ = 64，… 末位数字按 2、4、8、6 四个一循环（周期为 4）。 计算 2024 ÷ 4 = 506，余数为 0，说明 2²⁰²⁴ 的末位数字对应循环中的第 4 个，即 6。 答：2²⁰²⁴ 的末位数字是 6。 同类规律：3 的幂末位按 3、9、7、1 四循环（如 3²⁰¹²：2012÷4 余 0 → 末位 1）。 拓展：任意整数的平方，末位数字不可能是 2、3、7、8。 例 4　实际应用（乘方模型 2ⁿ） 情境：折纸厚度。一张厚度为 0.1 mm 的纸，连续对折 n 次后，厚度约为 0.1 × 2ⁿ（mm）。 (1) 对折 20 次后的厚度约是多少米？与 30 层楼（约 90 m）相比如何？ (2) 对折 30 次能否超过珠穆朗玛峰（约 8848.86 m）？ 解： (1) 对折 20 次：厚度 ≈ 0.1 × 2²⁰ mm。其中 2²⁰ = 1048576，故 厚度 ≈ 0.1 × 1048576 = 104857.6 mm = 104.86 m（约）。 结论：104.86 m > 90 m，已超过约 30 层楼的高度。 (2) 对折 30 次：厚度 ≈ 0.1 × 2³⁰ mm。2³⁰ = 1073741824，故 厚度 ≈ 0.1 × 1073741824 = 107374182.4 mm ≈ 107374.18 m。 结论：107374.18 m ≫ 8848.86 m，远超过珠穆朗玛峰。 同类模型： - 拉面：拉扣 n 次，面条根数 = 2ⁿ；1 kg 面粉约拉出 210 万根（约 209.7 万）≈ 2²¹（约拉 21 次）。 - 细胞分裂：每 30 分钟 1 个变 2 个，1 天（24 h）共 48 次，最终 2⁴⁸ 个。 例 5（拓展）　非负性综合 已知 (a+2)² + |b-1| = 0，求 (a+b)²⁰²5 的值。 解：因为对于任意实数，平方数与绝对值都 ≥ 0，所以 (a+2)² ≥ 0，且 |b-1| ≥ 0。 两个非负数之和为 0，则每一项都必须为 0： (a+2)² = 0 → a + 2 = 0 → a = -2； |b-1| = 0 → b - 1 = 0 → b = 1。 于是 a + b = -2 + 1 = -1， 故 (a+b)²⁰²5 = (-1)²⁰²5。指数 2025 为奇数，(-1) 的奇次幂 = -1。 答：(a+b)²⁰²5 = -1。 常考题型地图（小结） 本课时常见考查方向可归纳为以下 7 类，复习时按图索骥： 序号 题型 典型特征 / 关键方法 ① 乘方概念理解 识别底数、指数、幂，规范读写 ② 乘方运算 直接求值，注意括号与符号 ③ 符号规律 奇负偶正、(-1)ⁿ 规律 ④ 乘方应用 折纸、拉面、细胞分裂等 2ⁿ 模型 ⑤ 含乘方的混合运算 先乘方，再乘除，后加减 ⑥ 科学记数法 大数表示为 a×10ⁿ 形式（关联拓展/后续内容，本课不作要求） ⑦ 近似数 四舍五入与精确度（关联拓展/后续内容，本课不作要求） 本讲义重点覆盖 ①~⑤；⑥⑦ 为后续相关内容，此处仅作题型提示。 七、易错警示 错点 1　括号位置陷阱：(-2)³ 与 -2³ 错解：认为 (-2)³ = -2³。 正解：(-2)³ 的底数是 -2，= (-2)×(-2)×(-2) = -8；-2³ 的底数是 2，= -(2×2×2) = -8。 注：本例中二者结果恰好相同（均为 -8），但意义与底数完全不同；若在偶次幂上，(-2)⁴ = 16 而 -2⁴ = -16，结果也不同，务必分清。同理 (-1/2)² = 1/4，而 -1/2² = -1/4。 错点 2　-2² = 4？——考试重灾区 错解：-2² = 4。 正解：-2² = -4（-2² 表示 2² 的相反数，不是 (-2)²）。(-2)² = 4 才等于 4。 错点 3　小数 / 分数底数漏平方 错解：(0.1)² = 0.2。 正解：(0.1)² = 0.1 × 0.1 = 0.01（小数可化分数：0.1 = 1/10，(1/10)² = 1/100 = 0.01）。 分数法则：(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ。如 (0.1)² 误算 0.2 是典型错误。 错点 4　混淆乘方与乘法：2³ = 2×3？ 错解：2³ = 2 × 3 = 6。 正解：2³ = 2 × 2 × 2 = 8。乘方是"相同因数连乘"，不是"底数乘指数"。 易错总口诀：① 看底数带不带括号；② -2² ≠ (-2)²；③ 小数分数要真平方；④ 乘方是连乘不是相乘。 八、巩固练习（分层） 【基础达标】（面向全体，夯实概念与基本运算） 1. 指出下列各式的底数和指数，并计算结果： (1) (-3)²　(2) -4²　(3) (-1/2)⁴ 2. 判断下列式子的符号（填"正"或"负"）： (1) (-5)⁶ ______　(2) (-3)⁵ ______　(3) -2⁶ ______ 3. 计算：(-1)²⁰²5 + 1²⁰²5= ______。 4. 把 4 × 4 × 4 × 4 × 4 写成乘方的形式：______。 【基础达标 参考答案】 (1) 底数 -3，指数 2，(-3)² = 9；(2) 底数 4，指数 2，-4² = -(4×4) = -16；(3) 底数 -1/2，指数 4，(-1/2)⁴ = 1/16。 (1) 正（负底偶次）；(2) 负（负底奇次）；(3) 负（-2⁶ 是 2⁶ 的相反数）。 (-1)²⁰²5 = -1，1²⁰²5 = 1，和为 0。 4⁵。 【能力提升】（综合运用，突破符号与规律） 5. 求 3²⁰¹² 的末位数字。 6. 比较大小：(-2)⁴ ______ -2⁴（填">""<"或"="）。 7. 已知 (x-3)² + |y+2| = 0，求 (x+y)⁵ 的值。 8. 当 a = 2、n = 3 时，分别求 aⁿ、(-a)ⁿ、-aⁿ 的值。 【能力提升 参考答案】 3 的幂末位按 3、9、7、1 循环（周期 4）；2012 ÷ 4 = 503 余 0 → 第 4 个 → 末位 1。 (-2)⁴ = 16，-2⁴ = -16，故 (-2)⁴ > -2⁴。 非负数和为 0 → 各项为 0：x-3=0 → x=3；y+2=0 → y=-2。x+y=1，(x+y)⁵ = 1。 aⁿ = 2³ = 8；(-a)ⁿ = (-2)³ = -8；-aⁿ = -(2³) = -8。即 aⁿ=8，(-a)ⁿ=-8，-aⁿ=-8。 【拓展挑战】（思维拔高，对接中考新考法） 9.（规律探究） 探究"互为相反数的两数"的乘方关系，并完成填空： 若 m 与 -m 互为相反数，则当指数为奇数时，mⁿ 与 (-m)ⁿ ______（填"互为相反数"或"相等"）；当指数为偶数时，mⁿ 与 (-m)ⁿ ______。 10.（新定义运算·中考新考法） 规定一种新运算"⊕"：a ⊕ n = (a 的 n 次方) 的相反数，即 a ⊕ n = -aⁿ。求： (1) 2 ⊕ 3； (2) (-2) ⊕ 2； (3) 若 x ⊕ 4 = -16，求 x 的值。 【拓展挑战 参考答案】 奇次幂互为相反数；偶次幂相等。 (1) 2 ⊕ 3 = -(2³) = -8； (2) (-2) ⊕ 2 = -[(-2)²] = -(4) = -4； (3) x ⊕ 4 = -x⁴ = -16 → x⁴ = 16 → x = 2 或 x = -2（验证：2⁴=16，(-2)⁴=16，均满足）。 九、课堂小结 9.1 要点回顾 定义：求相同因数的积的运算叫乘方；相同因数叫底数，个数叫指数，结果叫幂。aⁿ 读"a 的 n 次方 / n 次幂"。 符号法则（奇负偶正）：正数任意正整数次幂为正；负数奇次幂为负、偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0；特别地 (-1)ⁿ（n 偶为 1，n 奇为 -1）。 书写规范：底数是分数或负数时必须加括号；-aⁿ 永远表示 aⁿ 的相反数（如 -2² = -4 ≠ (-2)²）。 三式辨析：aⁿ = n 个 a 相乘；(-a)ⁿ = n 个 (-a) 相乘；-aⁿ 是 aⁿ 的相反数。偶数时 aⁿ = (-a)ⁿ，奇数时 -aⁿ = (-a)ⁿ。 应用模型：折纸、拉面、细胞分裂等均可用 2ⁿ 刻画指数增长；"乘方 + 非负性"（平方、绝对值）常出综合压轴题。 9.2 自我检测清单 完成本课后，请逐项自查（能打"✓"即达标）： [ ] 我能正确指出任一乘方式的底数与指数； [ ] 我能区分 (-2)³ 与 -2³、(-2)² 与 -2²； [ ] 我能说出负数的奇次幂、偶次幂符号规律； [ ] 我会用"末位循环"求大指数幂的末位数字； [ ] 我能用 2ⁿ 模型解决折纸、分裂等实际应用； [ ] 遇到 (…)² + |…| = 0 型，我会用"非负数和为 0"求解。 十、课后作业 1. 计算：(-3)³、(-3)⁴、-3⁴，并比较 (-3)⁴ 与 -3⁴ 的大小。 2. 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数： (1) 5 × 5 × 5　(2) (-2) × (-2) × (-2) × (-2)　(3) 1/3 × 1/3 × 1/3 × 1/3 3. 不计算，判断下列各式的符号： (1) (-1/2)⁷　(2) (-4)⁸　(3) -5³　(4) 0²⁰²⁴ 4.（辨析） 当 a = -2、n = 3 时，分别求 aⁿ、(-a)ⁿ、-aⁿ，并比较大小。 5.（规律） 求 2²⁰²³ 的末位数字，并说明理由。 6.（应用） 某种细菌每 20 分钟分裂一次（1 个变 2 个）。从 1 个开始，经过 2 小时共有多少个？请用乘方表示并估算结果。 7.（综合） 已知 (m+1)² + |n-4| = 0，求 (m-n)²⁰²⁴ 的值。 8.（拓展·选做） 一张纸厚 0.1 mm，对折 25 次后的厚度约是多少米？（结果保留整数；提示：2²⁵ = 33554432） 课后作业 参考答案 1. (-3)³ = -27；(-3)⁴ = 81；-3⁴ = -(3⁴) = -81。 比较：(-3)⁴ = 81 > -3⁴ = -81，故 (-3)⁴ > -3⁴。 2. 写成乘方形式并指明底数、指数： (1) 5 × 5 × 5 = 5³，底数 5，指数 3； (2) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = (-2)⁴，底数 -2，指数 4； (3) 1/3 × 1/3× 1/3 × 1/3 = (1/3⁴，底数1/3，指数 4。 3. 判断符号（不计算）： (1) (-1/2)⁷：负（底数负，指数 7 为奇数）； (2) (-4)⁸：正（底数负，指数 8 为偶数）； (3) -5³：负（表示 5³ 的相反数）； (4) 0²⁰²⁴：0（0 的正整数次幂为 0）。 4. 当 a = -2，n = 3 时： aⁿ = (-2)³ = -8； (-a)ⁿ = [-(-2)]³ = 2³ = 8； -aⁿ = -((-2)³) = -(-8) = 8。 比较：aⁿ < (-a)ⁿ = -aⁿ（即 -8 < 8 = 8）。符合"n 为奇数时 -aⁿ = (-a)ⁿ"的结论。 5. 2²⁰²³ 的末位数字：2 的幂末位按 2、4、8、6 循环（周期 4）。 2023 ÷ 4 = 505 余 3，对应循环第 3 个，故末位数字为 8。 6. 2 小时 = 120 分钟，分裂次数 = 120 ÷ 20 = 6 次。 从 1 个开始，经 6 次分裂共有 2⁶ = 64 个。 7. 非负数和为 0 → 各项为 0： m + 1 = 0 → m = -1；n - 4 = 0 → n = 4。 m - n = -1 - 4 = -5，(m-n)²⁰²⁴ = (-5)²⁰²⁴ = 5²⁰²⁴（指数偶，结果为正）。 8. 对折 25 次厚度 ≈ 0.1 × 2²⁵ mm = 0.1 × 33554432 = 3355443.2 mm = 3355.4432 m ≈ 3355 m（保留整数）。 学科网（北京）股份有限公司 $