2.6 有理数的乘方（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方定义（底数、指数、幂）、符号法则（正数任意次幂为正，负数偶次幂正奇次幂负，0正整数次幂为0）及混合运算顺序，衔接有理数乘法运算，通过定义辨析（如(-a)ⁿ与-aⁿ）、规律总结构建学习支架。 资料特色在于结合对折、细菌分裂等实际情境，设计程序流程图、算“24”点等多样化题型，通过实际问题培养数学眼光，混合运算提升运算能力与推理意识，科学记数法强化模型意识，课中辅助教学，课后分层练习助力查漏补缺。

第二章 有理数 2.6 有理数的乘方 1.理解乘方、底数、指数、幂的定义，区分(-a)n与-an的含义。 2.掌握有理数乘方符号法则，快速判断正数、负数、0 的乘方结果正负。 3.熟练进行乘方混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”运算顺序.。 4.结合实际情境(对折、倍增问题)列式计算，规范符号书写。 课标要点 1.乘方定义:an表示几个a相乘，分清底数与指数。 2.符号规律:正数任意次幂为正;负数偶次幂正、奇次幂负;0正整数次幂为 0. 3.混合运算顺序:先乘方，后乘除，最后加减;有括号先算括号内。 4.拓展:区分(-a)n和-an，避免底数判定错误。 学习重难点 重点： 1.乘方概念，准确识别底数、指数。 2.乘方符号判定，正确计算幂的结果。 3.乘方、乘除、加减混合运算顺序。 4.简单倍增、对折实际应用题列式。 难点： 1.混淆(-a)n与-an，底数判断出错。 2.负分数、带分数乘方时括号遗漏。 3.混合运算颠倒顺序，优先计算加减。 4.结合乘方的简便求值综合题型, 知识点 有理数的乘方（重点） 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 知识点 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（贵州省六盘水市2025-2026学年下学期八年级素养监测试题卷数学）贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 4．（贵州六盘水市2024-2025学年七年级下学期期末学业质量监测数学试题卷）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 拓展 乘方实际应用 解题方法 1.找规律:对折、分裂、倍增问题，次数对应指数n; 2.列式模型:总量一基础量x2n;衰减问题用 3.先算乘方，再做乘法得出结果。 活学活用 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”．如图，是一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录猎物的数量．由右图可知，这位猎人获得的猎物的数量是（ 　） A．56 B．26 C．20 D．8 3．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 拓展含乘方的有理数混合运算 解题方法 1.运算顺序口诀:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内 2.区分底数:看清(-a)n与-an，有无括号决定底数, 3.分步计算，每一步只做一级运算，减少符号错误 活学活用 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 3．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 题型 有理数乘方的概念理解 ▌例1 （25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 ▌对点练1-1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 题型 有理数乘方的基本运算与符号规律 ▌例2（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-1（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 题型 乘方中的程序流程图问题 ▌例3（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 ▌对点练3-1（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 ▌对点练3-2（25-26七年级上·江西抚州·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为_______． ▌对点练3-3（25-26七年级上·广东阳江·期中）根据下面流程图中的程序，当输入数据为1时，输出结果的数值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 题型 ·用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 1.符号判定法则:两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘;任何数乘0结果为 0。 2.三大乘法运算定律 交换律:a ×b=b×a 结合律:(a ×b)×c=a×(b×c) 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 简便核心思路:优先凑整、凑正负 1，利用分配律拆分带分数简化计算。3. 公式:多个非零数相乘，负因数个数为偶数积为正，奇数积为负。 ▌例4（25-26七年级上·广东东莞·期中）据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）据报道，2025年国庆中秋长假（10月1日日），南京全市接待游客万人次，旅游总收入亿元，其中文博场馆接待游客万人次，将“万”用科学记数法表示是___________． 题型 将用科学记数法表示的数还原为原数 ▌例5（25-26七年级上·全国·期末）一个整数用科学记数法表示为，则原数为（　　） A．80100 B．801000 C．8010 D．8010000 ▌对点练5-1（25-26七年级上·山西运城·期中）我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（  ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 ▌对点练5-2（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例6（22-23七年级下·四川泸州·期末）计算：． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． ▌对点练6-2（25-26七年级上·河南信阳·期末）计算： (1) (2) ▌对点练6-3（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 题型 ·算“24”点 ▌例7（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ ▌对点练7-1（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． ▌对点练7-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）用“”将3、5、、5连成算式，使结果是24：____________． ▌对点练7-3（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 基础通关 1．（25-26七年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会于2025年在广东、香港、澳门三地联合举办，据测算，全运会期间，某赛区所有比赛场馆使用绿电，减少的碳排放量相当于植树2700000棵．将2700000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数，，，，中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．3 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）中底数是________，指数是________． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 素养提升 1．（2025七年级上·全国·专题练习）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26七年级上·江西宜春·期中）观察下列算式：，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 3．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 4．（25-26七年级上·全国·阶段检测）若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为______． 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）观察下面三行数： ，，，，，…；① ，，，，，…；② ，，，，，…；③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)把第②、③行数中的第个数相加，再减去第①行中的第个数，差是多少？ 迁移创新 1．（25-26七年级上·广东茂名·期中）观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ①______；②______． (2)①直接写出下列各式的计算结果：______； ②若a、b为有理数，且，求的值． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 取：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座层塔共挂了盘灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）【问题初探】 数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的．类比图1，可求的值． 【归纳结论】 （1）_____（用含的式子表示）； 【学以致用】 （2）运用（1）发现的结论计算的值； 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数 2.6 有理数的乘方 1.理解乘方、底数、指数、幂的定义，区分(-a)n与-an的含义。 2.掌握有理数乘方符号法则，快速判断正数、负数、0 的乘方结果正负。 3.熟练进行乘方混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”运算顺序.。 4.结合实际情境(对折、倍增问题)列式计算，规范符号书写。 课标要点 1.乘方定义:an表示几个a相乘，分清底数与指数。 2.符号规律:正数任意次幂为正;负数偶次幂正、奇次幂负;0正整数次幂为 0. 3.混合运算顺序:先乘方，后乘除，最后加减;有括号先算括号内。 4.拓展:区分(-a)n和-an，避免底数判定错误。 学习重难点 重点： 1.乘方概念，准确识别底数、指数。 2.乘方符号判定，正确计算幂的结果。 3.乘方、乘除、加减混合运算顺序。 4.简单倍增、对折实际应用题列式。 难点： 1.混淆(-a)n与-an，底数判断出错。 2.负分数、带分数乘方时括号遗漏。 3.混合运算颠倒顺序，优先计算加减。 4.结合乘方的简便求值综合题型, 知识点 有理数的乘方（重点） 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 知识点 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 3．（贵州省六盘水市2025-2026学年下学期八年级素养监测试题卷数学）贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据用科学记数法可以表示为． 4．（贵州六盘水市2024-2025学年七年级下学期期末学业质量监测数学试题卷）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的概念， 解题思路为根据科学记数法的定义，确定的值，的值等于原数转化为（）时小数点向左移动的位数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，将变形为，小数点向左移动了位，因此 拓展 乘方实际应用 解题方法 1.找规律:对折、分裂、倍增问题，次数对应指数n; 2.列式模型:总量一基础量x2n;衰减问题用 3.先算乘方，再做乘法得出结果。 活学活用 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”．如图，是一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录猎物的数量．由右图可知，这位猎人获得的猎物的数量是（ 　） A．56 B．26 C．20 D．8 【答案】C 【分析】本题通过进位制的转换考查乘方的运算，关键是理解“满七进一”代表七进制，需将七进制数转换为十进制数． 【详解】解：由题意，绳子从右到左的结数依次为6、2， 故猎物数量为． 故选：C． 3．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，将十进制数45转换为二进制数，需找到最大2的幂次不超过45，再根据系数确定位数，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，共6位数， 故选：B． 拓展含乘方的有理数混合运算 解题方法 1.运算顺序口诀:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内 2.区分底数:看清(-a)n与-an，有无括号决定底数, 3.分步计算，每一步只做一级运算，减少符号错误 活学活用 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 题型 有理数乘方的概念理解 ▌例1 （25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. ▌对点练1-1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，依据乘方的概念直接推导即可． 【详解】解：∵求个相同因数的积的运算叫做乘方，其中相同因数为底数，因数的个数为指数， ∴个相乘可表示为， ∴答案选：． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查幂的底数的概念，直接根据幂的定义判断，在幂运算 中，a是底数，n是指数． 【详解】解：∵ 在中，幂的形式为 中，a是底数，n是指数， ∴ 底数为， 故选：A． 题型 有理数乘方的基本运算与符号规律 ▌例2（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据有理数的平方计算，先确定符号，再计算即可； （2）根据有理数的乘方计算，先确定符号，再进行计算即可； （3）把不参与运算的负号先抄下来，再进行有理数乘方的运算； （4）先把括号里的化简，再进行有理数乘方的运算； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌对点练2-1（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 【答案】(1)①，；②， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． （1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； ②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； （2）由（1）归纳规律即可； （3）由（2）中规律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：①，； ②，． 故答案为：①，；②，． （2）解：观察（1）可得，当n为正整数时，， 故答案为： （3）解： ． 题型 乘方中的程序流程图问题 ▌例3（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． ▌对点练3-1（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． ▌对点练3-2（25-26七年级上·江西抚州·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为_______． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图的代数式求值，根据题意确定代数式是解题的关键．由题意知，代数式为，将代入求解即可． 【详解】解：由题意知，代数式为， 当时，原式， 故答案为：． ▌对点练3-3（25-26七年级上·广东阳江·期中）根据下面流程图中的程序，当输入数据为1时，输出结果的数值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图的运算逻辑，解题的关键是按照流程图的步骤逐步计算，直到结果满足“大于”的条件． 按照流程图的运算步骤（平方→乘减4），代入计算，若结果不大于0则重复代入计算，直到结果满足条件． 【详解】解：当输入时： 因为，不满足“结果大于0”的条件， 将再次代入流程： 因为，满足条件，输出结果． 故选：C． 题型 ·用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 1.符号判定法则:两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘;任何数乘0结果为 0。 2.三大乘法运算定律 交换律:a ×b=b×a 结合律:(a ×b)×c=a×(b×c) 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 简便核心思路:优先凑整、凑正负 1，利用分配律拆分带分数简化计算。3. 公式:多个非零数相乘，负因数个数为偶数积为正，奇数积为负。 ▌例4（25-26七年级上·广东东莞·期中）据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：∵科学记数法要求， 将变形为满足要求的时，小数点向左移动6位得到， ∴． ▌对点练4-1（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）据报道，2025年国庆中秋长假（10月1日日），南京全市接待游客万人次，旅游总收入亿元，其中文博场馆接待游客万人次，将“万”用科学记数法表示是___________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：万； 故答案为：． 题型 将用科学记数法表示的数还原为原数 ▌例5（25-26七年级上·全国·期末）一个整数用科学记数法表示为，则原数为（　　） A．80100 B．801000 C．8010 D．8010000 【答案】D 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数．将科学记数法表示的数（其中，且n为正整数）还原为原数需把小数点向右移动n位即可． 【详解】解：． 故选：D ▌对点练5-1（25-26七年级上·山西运城·期中）我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（  ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 【答案】C 【分析】此题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数．通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0． 【详解】解：∵， ∴原数为278700． 故选：C． ▌对点练5-2（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，将科学记数法表示的数还原为原数，根据指数确定小数点移动的位数，从而得到原数中“”的个数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵科学记数法表示为， ∴原数为， ∴原数中“”的个数为， 故选：． ▌对点练5-3．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法与原数的互化，核心是掌握科学记数法中指数与原数位数、0的个数的关系．根据科学记数法还原原数的规律，结合原数中0的个数建立关于的等式，进而求解的值． 【详解】解：将科学记数法还原为原数，需把的小数点向右移动位． ∵有两位小数，移动两位后得到整数，剩余的位需补0，且原数中0的个数为， ∴，； 故选：C． 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例6（22-23七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 4 【详解】解： ． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练6-2（25-26七年级上·河南信阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算括号里的减法、绝对值、乘方，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再根据运算法则逐步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练6-3（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后加减即可求解； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型 ·算“24”点 ▌例7（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． ▌对点练7-1（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： ▌对点练7-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）用“”将3、5、、5连成算式，使结果是24：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法，通过尝试不同的运算组合，发现利用乘法先计算得到25，再依次加3和加（即减4），最终得到24． 【详解】解：使用数字3、5、、5和运算符号构造算式， 优先计算乘法：，然后计算加法：，最后计算加法：， 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练7-3（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 基础通关 1．（25-26七年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会于2025年在广东、香港、澳门三地联合举办，据测算，全运会期间，某赛区所有比赛场馆使用绿电，减少的碳排放量相当于植树2700000棵．将2700000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需依据科学记数法的定义，把数字转化为（，为整数）的形式，核心是确定与的值，n的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，是基础题，准确计算是解题的关键． 根据相关计算法则对各选项分析判断后即可解答． 【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，错误，故本选项符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 根据乘方运算的定义， 表示n个a相乘判断即可． 【详解】解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意． 故选： B． 4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数，，，，中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的定义，计算每个数的值，根据小于零的数是负数，判断负数的个数即可． 【详解】解：∵，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数， ∴负数有3个， 故选B． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方等知识点，根据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键． 根据绝对值、平方项的非负数求得a、b的值，然后代入运用有理数乘方计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键；先计算乘方和乘法，再计算加法，注意负数的奇数次幂为负，正数乘负数为负． 【详解】解： ． 故选：D． 7．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入数值转换器，判断得出结果即可． 【详解】解：当时，， 则输出结果为：， 故选：D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了乘方的运算，熟记乘方的符号法则是解题的关键．先计算乘方运算，再处理负号． 【详解】解：， 故答案为 ：27． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）中底数是________，指数是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，明确底数和指数的概念是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，在乘方形式 中， 叫做底数， 叫做指数即可得出． 【详解】解： 中底数是 ，指数是 4． 故答案为 ，． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 【答案】32 【分析】本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2 个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算．先计算乘方，再计算括号内减法，然后计算乘法，最后再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【答案】这卷纸展开后大约是35.3米 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据等面积法列算式进行求解即可． 【详解】解：利用体积不变可得：（厘米）， 厘米米米， 答：这卷纸展开后大约是35.3米． 素养提升 1．（2025七年级上·全国·专题练习）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：∵ 原长为2米，且每次截取后剩余长度减半， ∴ 经过次截取后，剩余长度为， 当时，剩余长度 （米）． ∴ 第六次截去之后剩下的木棒的长度是米． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江西宜春·期中）观察下列算式：，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察3的幂次方的末位数字规律，发现每4次循环一次，循环节为3，9，7，1，然后计算2026除以4的余数，根据余数确定末位数字即可． 【详解】解：观察可知，末位数字分别为3，9，7，1，3，9，7，1，，循环出现，周期为4， ∵， ∴的末位数字为：9， 故选：D． 3．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·阶段检测）若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根的定义以及有理数的减法运算，熟练掌握根据条件筛选变量的可能值是解题的关键． 先根据绝对值和平方的定义求出、的可能值，再结合的条件筛选出符合的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ∴或 ∵ ∴或 ∵ ∴当时，、均不成立，故不符合条件； 当时，成立，成立． ∴符合条件的组合为：； 当时，； 当时， ∴的值为或 故选：． 5．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用，先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】解：二进制数转换为十进制数：， 十进制数9转换为三进制数：． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）观察下面三行数： ，，，，，…；① ，，，，，…；② ，，，，，…；③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)把第②、③行数中的第个数相加，再减去第①行中的第个数，差是多少？ 【答案】(1)第①行的第个数是 (2)第②行数与第①行数的每一个相对应的数加上，第③行数与第①行数的每一个相对应的数乘以， (3) 【分析】本题主要考查了代数式表示数字的规律，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先发现数字是的次幂，符号奇数位置为负，偶数位置为正由此找出通项即可； （2）通过比较容易发现第②行数与第①行数的每一个相对应的数加上，第③行数与第①行数的每一个相对应的数乘以； （3）由（1）（2）求得通项，求出相对应三行数的第个数，计算②③行数中的第个数相加，再减去第①行中第个数即可解答． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴第项为． （2）解：观察可知，第②行数与第①行数的每一个相对应的数加上， 第③行数与第①行数的每一个相对应的数乘以； （3）解：由（2）可得：第①行数的第个数为； 第②行数的第个数为； 第③行数的第个数为； ∴故②③行数中的第个数相加，再减去第①行中第个数为：． 迁移创新 1．（25-26七年级上·广东茂名·期中）观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ①______；②______． (2)①直接写出下列各式的计算结果：______； ②若a、b为有理数，且，求的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查规律探索，绝对值与平方的非负性，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①观察已知等式的规律，推导算式的结果；②用代数式表达推导出的规律； （2）①将每一项按照规律拆分后抵消中间项，计算求和结果； ②先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，再利用找到的规律进行计算． 【详解】（1）解：由已知等式规律，猜想 ① ； ② ． 故为：①；②； （2）解：① ． 故答案为：； ②由， 得， 即，． 则原式 ． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 取：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座层塔共挂了盘灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ 【答案】(1)364 (2) (3)塔的顶层共有盏灯 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数学常识、有理数的混合运算以及规律型数字的变化类. （1）设，则，利用，可求出的值； （2）设，则，利用，可求出的值； （3）设顶层灯数为，因每层灯数是上一层倍，利用错位相减结合总灯数列方程，求解得顶层灯数即可． 【详解】（1）解：设，则， 所以， 所以， 所以； （2）解：设，则， 所以， 所以，即； （3）解：设塔的顶层有盏灯，根据“下一层是上一层的倍”，各层灯数依次为： 顶层： 第层： 第层： 第层： 第层： 第层： 第层： 总灯数为层灯数之和，即： ， 即， 解得：． 答：塔的顶层共有盏灯． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）【问题初探】 数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的．类比图1，可求的值． 【归纳结论】 （1）_____（用含的式子表示）； 【学以致用】 （2）运用（1）发现的结论计算的值； 【答案】1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． 【详解】解：（1）∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）将原式变形，提取，得到 ． 根据（1）的结论，． 所以原式． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $