26.1 二次函数的概念 课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过矩形面积、球队比赛场次、产量增长三个实际问题导入，引导学生从具体情境抽象函数关系式，对比一次函数突出自变量最高次数2及二次项系数不为0的核心，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，结合数学眼光（抽象能力）从实际情境提炼函数关系，通过讨论二次项系数意义发展数学思维（推理意识），列关系式强化数学语言（模型观念）。如矩形面积问题抽象出y=-x²+20x，典型例题训练实际应用。小结系统梳理定义与形式，助力学生提升探究与应用能力，教师可高效开展概念教学。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2．能根据实际问题列二次函数关系式. 学习目标 BY YUSHEN 22051 探究：二次函数的意义以及有关概念. 问题1：用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，写出y 与 x 之间的关系式，y 是 x 的函数吗？ 对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 − x) ， 即 y = −x2 + 20 x ①. 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题2：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数 m 与球队数 n 的关系式，并判断它们是否为函数关系. 问题3：某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，写出y 与 x 之间的关系式，并判断它们是否为函数关系. 新知探究 BY YUSHEN 22051 y=20(1+x)2， 即 y = 20x2 + 40x + 20. ③ y 是 x 的函数. 即 ② 问题2： 问题3： m 是 n 的函数. 思考：以上得出的三个函数关系式有什么共同点？与同伴交流. y = −x2 + 20 x ① ② y = 20x2 + 40x + 20 ③ 共同点 ①都是函数关系式； ②函数解析式都是整式； ③自变量的最高次数都是2. 新知探究 BY YUSHEN 22051 一般地，形如 y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数. 其中，x是自变量， 新知 BY YUSHEN 22051 讨论：二次函数 y=ax²+bx+c，二次项的系数 a 为什么不能为0？一次项系数 b、常数项 c 可以为0吗？ 当 a=0时，函数解析式 y=ax²+bx+c 变为 y=bx+c，这时它就是一次函数. 当 b=0时，函数解析式 y=ax²+bx+c 变为 y=ax²+c； 当 c=0时，函数解析式 y=ax²+bx+c 变为 y=ax²+bx； 当 b、c 同时为0时，函数解析式 y=ax²+bx+c 变为 y=ax². 满足二次函数的定义 所以 a 不能为0， b、c 可以为0. 新知探究 BY YUSHEN 22051 根据二次函数的概念解决问题. (1)下列函数中，哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2 ④ ⑤y=-x2-2x ⑥y=x²+x³+25 ⑦ y=(x+3)²-x² ⑧y=(2x+1)²-6x 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，x的最高次数是3. 不是、化简以后是一次函数 不是，等式右边不是整式 新知探究 BY YUSHEN 22051 (2)当m 取何值时，函数y=(m2+m)xm2-2m-1+(m-5)x+m2是关于x 的二次函数？并求出二次函数的解析式. 解：由题意，得 ①m²-2m-3=0，(m-3)(m+1)=0，m = 3或-1， ②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或m ≠ -1， ∴ m = 3. ∴当 m = 3 时，该函数是二次函数， 解析式为：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32， 即y = 12x2-2x+9. 新知探究 BY YUSHEN 22051 1.若 y=(m-1)x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值是多少? 则 m2+m=2 且 m-1≠0． 解得：m=-2． 故 m 的值为-2. 解：若 y=(m+1)x是关于 x 的二次函数， 巩固练习 BY YUSHEN 22051 根据实际问题列二次函数关系式. （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即S = 4πr² (2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件， 两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件， 所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 典型例题 BY YUSHEN 22051 2.矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 解：(1) y＝(8 − x)x＝−x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝−32＋8×3＝15 (cm2) . ∴ 矩形的面积是 15 cm2. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 说说本节课学到了哪些知识？ 二次函数 定 义 y=ax²+bx+c(a≠0，a,b,c是常数） 一般形式 函数解析式是整式； 自变量的最高次数是2. 特殊形式 y=ax²； y=ax²+bx； y=ax²+c.(a≠0，a,b,c是常数） 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. y=(x+3)2-x2 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2+1 D. C 对于无法直接进行判断的函数，要先进行化简. 二次函数的二次项系数 a≠0. 二次函数的解析式为整式. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.已知函数y=（m2-m）x2+mx-2（m为常数），根据下列条件求m的值： （1）y是x的一次函数； （2）y是x的二次函数． 解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2-m=0， 解得：m=1或m=0，又因为m≠0，所以，m=1． （2）y是x的二次函数，只须m2-m≠0， ∴m≠1和m≠0． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数. 若是，则指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (2) 有一块长为60m、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积 S(m2) 是草坪宽度 a(m) 的函数． (1) 两个数中，一个比另一个大5，这两个数的乘积 p 是较大的数 m 的函数； 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 解：（1）这两个数的乘积 p 与较大的数 m 的函数关系式为： p=m(m-5)=m2-5m，是二次函数. （2）郁金香的种植面积S(cm2)与草坪宽度 a(m) 的函数关系式为： S=(60-2a)(40-2a)=4a2-200a+2400，是二次函数． 二次项系数=1、一次项系数=-5、常数项=0. 二次项系数=4、一次项系数=-200、常数项=2400. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $