第12讲 幂的运算 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第12讲 幂的运算 目录 知识点1 幂的基础概念 2 知识点2 同底数幂的乘法 2 知识点3 幂的乘方 2 知识点4 积的乘方 2 知识点5 幂的混合运算规则 2 题型1 同底数幂相乘 3 题型2 同底数幂乘法的逆用 4 题型3 幂的乘方运算 5 题型4 幂的乘方的逆用 6 题型5 积的乘方运算 8 题型6 积的乘方的逆用 9 题型7 幂的混合运算 11 1. 知识目标：熟记同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方三大核心公式，掌握公式正向运算与逆向变形规则，区分三类幂运算的差异，明确适用条件。 2. 能力目标：能熟练完成基础幂运算、公式逆用求值、幂的混合运算，精准规避指数加减、相乘混淆、符号出错等高频问题。 3. 素养目标：建立代数整体代换、公式建模思维，养成规范分步运算习惯，夯实整式运算基础，适配后续整式乘法综合题型。 知识点1 幂的基础概念 形如的式子叫做幂，为底数，为指数，表示个相乘；底数可以是数字、字母、单项式、多项式。 知识点2 同底数幂的乘法 1. 正向公式：（m、n为正整数） 2. 法则：底数不变，指数相加。 3. 推广： 4. 逆用公式：，用于拆分高次幂、整体代入求值。 知识点3 幂的乘方 1. 正向公式：（m、n为正整数） 2. 法则：底数不变，指数相乘。 3. 逆用公式：，用于幂次变形、统一指数。 4. 核心区分：幂的乘方指数相乘，同底数幂乘法指数相加，严禁混淆。 知识点4 积的乘方 1. 正向公式：（n为正整数） 2. 法则：积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘。 3. 推广： 4. 逆用公式：，用于凑整、简化复杂幂乘积运算。 知识点5 幂的混合运算规则 1. 运算优先级：先积的乘方、幂的乘方，后同底数幂相乘；同级运算从左到右。 2. 符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，优先判定符号再算幂次。 3. 通用要求：运算全程统一底数，最后化简为最简幂形式。 题型1 同底数幂相乘 解题技巧（底数锁定、指数相加、符号优先） 1. 先判底数：底数完全相同才可直接用公式，底数不同先变形统一底数； 2. 固定运算：底数保持不变，所有指数做加法运算； 3. 符号优先：含负号幂先判断正负，再计算指数，避免符号错误； 4. 易错规避：幂的加法不能合并，只有同底数幂乘法才可指数相加。 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 【变式1】．化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查了同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是求解的关键． 利用和互为相反数的关系，将式子统一为的幂，再应用同底数幂相乘的法则合并指数，完成求解． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：C． 【变式2】．计算______． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算同底数幂相乘，即可得出结果． 【详解】解：． 【变式3】．若，则m的值为____． 【答案】4 【分析】根据同底数幂相乘的法则得到，则可得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型2 同底数幂乘法的逆用 解题技巧（高次拆分、整体代换、凑已知条件） 1. 核心思路：把高次幂拆成两个低次幂的乘积； 2. 适配场景：已知的值，求高次幂代数式的值； 3. 解题原则：不单独求底数，整体拆分、整体代入，简化运算； 4. 拓展技巧：多次拆分，可适配多指数、多条件综合求值。 【典例2】．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘法的性质即可求出结果. 【详解】解：∵根据同底数幂的乘法法则，逆用可得 ， 又∵，， ∴. 【变式1】．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【变式2】．若，则_______ ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，即可得到，最后根据，可得的值，代入上式计算得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】．若，则的值为__________. 【答案】45 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．逆用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：45． 题型3 幂的乘方运算 解题技巧（底数不变、指数相乘、区分加减） 1. 公式直用：幂的乘方只变指数，底数原样保留，指数两两相乘； 2. 多层运算：多层幂的乘方，指数连续相乘，逐层化简； 3. 核心区分：严格区分“指数相加（同底相乘）”与“指数相乘（幂的乘方）”； 4. 符号处理：负数幂的乘方，先判断整体正负，再算指数。 【典例3】．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ． 【变式2】．计算________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．化简_____． 【答案】 【详解】解：. 题型4 幂的乘方的逆用 解题技巧（指数拆分、统一幂次、灵活变形） 1. 逆用核心：，灵活拆分指数； 2. 常见用途：统一不同幂次的底数或指数，实现式子化简、大小比较； 3. 解题套路：观察已知幂的指数，将目标指数拆分为对应乘积形式； 4. 优势：快速适配压轴幂次变形、参数求值题型。 【典例4】．已知，，，则a、b、c大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用幂的乘方性质，将三个数变形为同指数幂，再通过比较底数大小得到最终结果，幂的乘方法则． 【详解】解：∵ ， ， ， 又∵ 指数为正整数时，指数相同，底数越大，幂越大， ∴ ， 即 ． 【变式1】．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，结合“底数相等，幂相等，则指数相等”的性质，逐个验证选项即可得到不成立的关系式． 【详解】解：∵，，， 对选项A：∵， ∴，A成立，不符合题意； 对选项B：∵， ∴，B成立，不符合题意； 对选项C：∵， ∴，C成立，不符合题意； 对选项D：不能得出，D选项符合题意． 【变式2】．若，则的值为______． 【答案】 【分析】将等式中各项都化为底数为的幂的形式，再利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则整理等式，再根据底数相同的幂相等时，指数相等即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．若，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴ 题型5 积的乘方运算 解题技巧（分项乘方、汇总相乘、不遗漏因式） 1. 逐项乘方：括号内每一个因式、系数、字母都要单独整体乘方； 2. 严禁漏项：多个因式相乘的积，所有因式必须全部参与乘方； 3. 系数单独算：数字系数单独乘方，字母幂单独运算，最后合并； 4. 符号判定：负因式乘方，根据指数奇偶判断最终符号。 【典例5】．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据积的乘方法则，幂的乘方法则， ． 【变式1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：. 【变式2】．计算：______． 【答案】 【分析】根据，，计算即可． 【详解】解：． 【变式3】．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先利用积的乘方法则、幂的乘方法则计算第一项，利用同底数幂的乘法法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 题型6 积的乘方的逆用 解题技巧（同次合并、凑积乘方、简便速算） 1. 逆用公式：，同指数幂相乘，可先合并底数再乘方； 2. 简便运算：底数乘积为整十、整百、±1时，优先合并，大幅简化计算； 3. 指数适配：指数不同先变形统一指数，再逆用公式合并； 4. 高频场景：小数、分数、负数幂的简便计算、化简求值。 【典例6】．的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方法则计算． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．已知，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察式子，整理，再得出，最后解得x的值，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故 ∴ 解得 故选：C． 【变式2】．计算 _______ 【答案】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则，可得：原式，再逆用积的乘方的法则进行计算． 【详解】解： ． 【变式3】．已知，则a的值为______． 【答案】 【分析】先根据积的运算法则对已知等式进行化简，再求解a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型7 幂的混合运算 解题技巧（先乘方后相乘、分步运算、杜绝混公式） 1. 严格顺序：优先计算积的乘方、幂的乘方，再计算同底数幂相乘； 2. 分步化简：一步一个公式，先处理所有乘方，再统一合并幂次； 3. 底数统一：底数不同的幂，优先变形统一底数，再运算； 4. 最后校验：核对指数运算（加、乘）、符号、因式，规避所有混淆错误； 5. 收尾要求：结果化为最简幂形式，无多余括号、无重复幂次。 【典例7】．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．若，，则（     ） A．11 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】利用同底数幂乘法公式运算解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意易得，，将其整理后易得，，将代入中解得的值，继而求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得：，， 则，， 那么， 因此， 整理得：， 则， 那么， 则， ， 故选：． 4．下列幂的运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则逐个判断选项即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B错误； C、与不是同类项，不能合并，C错误； D、，符合同底数幂乘法法则，D正确． 5．已知，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得 ． 6．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先将等式右边统一化为底数为3的幂，根据左边是正整数的平方，得到右边指数的奇偶性，再结合奇偶性的运算性质逐一判断说法 【详解】解：∵， ∴ ∵是正整数，是平方数， ∴指数必为偶数，故④正确； ∵一定是偶数， ∴ 是偶数， 又， 是偶数， ∴必为偶数，故②正确； 对于①，取，，满足是偶数，但都是奇数，故①错误； 对于③，若是奇数，是偶数，则 是奇数，故③错误； 因此正确的是②④ 7．已知，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系． 【详解】∵ ，，， ，，， ∵ ，指数相同的正整数幂，底数越大幂越大， ∴ ，即． 8．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ． 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 10．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 11．已知，则_____． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数的幂，根据“底数相同且幂相等时，指数相等”列一元一次方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得． 12．已知，则的值为________． 【答案】32 【分析】先将已知等式变形得到的值，再将所求式子的底数统一化为2，利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则化简后，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 13．已知，则__________． 【答案】3 【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， 解得：． 14．计算______． 【答案】4 【分析】根据积的乘方法则计算即可得出结果； 【详解】解： ． 15．定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 16．计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，先分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 17．计算：． 【答案】 【分析】先根据同底数幂除法、幂的乘方、同底数幂乘法依次计算，再按照整式加减合并同类项即可求出答案． 【详解】解： ． 18．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算，将所求式子变形后代入已知条件计算即可； （2）先将等式左边所有项化为底数为的幂，再根据同底数幂乘法法则计算，利用底数相等时幂相等则指数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得． 19．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 20．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照新运算的规则计算即可； （2）仿照新运算的规则计算，可得：原式，再逆用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，，时， ． 21．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 22．魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为，那么这个魔方的体积为，我们把它称为号魔方．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍，按照这个规律，可以拼成号魔方． (1)①请直接写出号魔方的体积（用含的代数式表示）． ②若，求的值． (2)类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 【答案】(1)①（为正整数）；② (2)解：． 理由：设， ∴①， ∴②， ②－①，得：， ∴． 【分析】（1）①利用“立方体的体积棱长”可得结论； ②根据①结论及幂的乘方的逆运算可得答案； （2）仿照小明同学的解法求解即可． 【详解】（1）解：①由题意知： 号魔方的体积：， 号魔方的体积：， 号魔方的体积：， ∴号魔方的体积（为正整数）； ②由①知：号魔方的体积， ∵， ∴，即， ∴； （2）略． 23．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 24．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂的运算 目录 知识点1 幂的基础概念 2 知识点2 同底数幂的乘法 2 知识点3 幂的乘方 2 知识点4 积的乘方 2 知识点5 幂的混合运算规则 2 题型1 同底数幂相乘 3 题型2 同底数幂乘法的逆用 4 题型3 幂的乘方运算 5 题型4 幂的乘方的逆用 6 题型5 积的乘方运算 8 题型6 积的乘方的逆用 9 题型7 幂的混合运算 11 1. 知识目标：熟记同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方三大核心公式，掌握公式正向运算与逆向变形规则，区分三类幂运算的差异，明确适用条件。 2. 能力目标：能熟练完成基础幂运算、公式逆用求值、幂的混合运算，精准规避指数加减、相乘混淆、符号出错等高频问题。 3. 素养目标：建立代数整体代换、公式建模思维，养成规范分步运算习惯，夯实整式运算基础，适配后续整式乘法综合题型。 知识点1 幂的基础概念 形如的式子叫做幂，为底数，为指数，表示个相乘；底数可以是数字、字母、单项式、多项式。 知识点2 同底数幂的乘法 1. 正向公式：（m、n为正整数） 2. 法则：底数不变，指数相加。 3. 推广： 4. 逆用公式：，用于拆分高次幂、整体代入求值。 知识点3 幂的乘方 1. 正向公式：（m、n为正整数） 2. 法则：底数不变，指数相乘。 3. 逆用公式：，用于幂次变形、统一指数。 4. 核心区分：幂的乘方指数相乘，同底数幂乘法指数相加，严禁混淆。 知识点4 积的乘方 1. 正向公式：（n为正整数） 2. 法则：积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘。 3. 推广： 4. 逆用公式：，用于凑整、简化复杂幂乘积运算。 知识点5 幂的混合运算规则 1. 运算优先级：先积的乘方、幂的乘方，后同底数幂相乘；同级运算从左到右。 2. 符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，优先判定符号再算幂次。 3. 通用要求：运算全程统一底数，最后化简为最简幂形式。 题型1 同底数幂相乘 解题技巧（底数锁定、指数相加、符号优先） 1. 先判底数：底数完全相同才可直接用公式，底数不同先变形统一底数； 2. 固定运算：底数保持不变，所有指数做加法运算； 3. 符号优先：含负号幂先判断正负，再计算指数，避免符号错误； 4. 易错规避：幂的加法不能合并，只有同底数幂乘法才可指数相加。 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算______． 【变式3】．若，则m的值为____． 题型2 同底数幂乘法的逆用 解题技巧（高次拆分、整体代换、凑已知条件） 1. 核心思路：把高次幂拆成两个低次幂的乘积； 2. 适配场景：已知的值，求高次幂代数式的值； 3. 解题原则：不单独求底数，整体拆分、整体代入，简化运算； 4. 拓展技巧：多次拆分，可适配多指数、多条件综合求值。 【典例2】．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【变式1】．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【变式2】．若，则_______ ． 【变式3】．若，则的值为__________. 题型3 幂的乘方运算 解题技巧（底数不变、指数相乘、区分加减） 1. 公式直用：幂的乘方只变指数，底数原样保留，指数两两相乘； 2. 多层运算：多层幂的乘方，指数连续相乘，逐层化简； 3. 核心区分：严格区分“指数相加（同底相乘）”与“指数相乘（幂的乘方）”； 4. 符号处理：负数幂的乘方，先判断整体正负，再算指数。 【典例3】．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．计算________． 【变式3】．化简_____． 题型4 幂的乘方的逆用 解题技巧（指数拆分、统一幂次、灵活变形） 1. 逆用核心：，灵活拆分指数； 2. 常见用途：统一不同幂次的底数或指数，实现式子化简、大小比较； 3. 解题套路：观察已知幂的指数，将目标指数拆分为对应乘积形式； 4. 优势：快速适配压轴幂次变形、参数求值题型。 【典例4】．已知，，，则a、b、c大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则的值为______． 【变式3】．若，则的值为____________． 题型5 积的乘方运算 解题技巧（分项乘方、汇总相乘、不遗漏因式） 1. 逐项乘方：括号内每一个因式、系数、字母都要单独整体乘方； 2. 严禁漏项：多个因式相乘的积，所有因式必须全部参与乘方； 3. 系数单独算：数字系数单独乘方，字母幂单独运算，最后合并； 4. 符号判定：负因式乘方，根据指数奇偶判断最终符号。 【典例5】．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．计算：______． 【变式3】．计算的结果是______． 题型6 积的乘方的逆用 解题技巧（同次合并、凑积乘方、简便速算） 1. 逆用公式：，同指数幂相乘，可先合并底数再乘方； 2. 简便运算：底数乘积为整十、整百、±1时，优先合并，大幅简化计算； 3. 指数适配：指数不同先变形统一指数，再逆用公式合并； 4. 高频场景：小数、分数、负数幂的简便计算、化简求值。 【典例6】．的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．计算 _______ 【变式3】．已知，则a的值为______． 题型7 幂的混合运算 解题技巧（先乘方后相乘、分步运算、杜绝混公式） 1. 严格顺序：优先计算积的乘方、幂的乘方，再计算同底数幂相乘； 2. 分步化简：一步一个公式，先处理所有乘方，再统一合并幂次； 3. 底数统一：底数不同的幂，优先变形统一底数，再运算； 4. 最后校验：核对指数运算（加、乘）、符号、因式，规避所有混淆错误； 5. 收尾要求：结果化为最简幂形式，无多余括号、无重复幂次。 【典例7】．计算：_______． 【变式1】．计算： ______． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； 【变式3】．计算： (1)； (2)． 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．若，，则（     ） A．11 B．15 C．30 D．45 3．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 4．下列幂的运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．已知，，，则有（     ） A． B． C． D． 8．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 10．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则_____． 12．已知，则的值为________． 13．已知，则__________． 14．计算______． 15．定义新运算：，则的运算结果是____________． 16．计算：． 17．计算：． 18．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 19．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 20．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 21．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 22．魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为，那么这个魔方的体积为，我们把它称为号魔方．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍，按照这个规律，可以拼成号魔方． (1)①请直接写出号魔方的体积（用含的代数式表示）． ②若，求的值． (2)类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 23．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 24．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $