暑期预习讲义（第8讲）——整式的乘法（知识梳理+题型精析+同步自测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第8讲）——整式的乘法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】单项式的乘法 1 【知识点二】单项式与多项式相乘（分配律） 1 【知识点三】多项式的乘法（重点） 2 【知识点四】运算通用顺序 2 【知识点五】高频易错点（必考避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】单项式乘单项式（基础必会） 2 【题型 2】单项式乘多项式（高频基础） 3 【题型 3】多项式乘多项式（核心重难点） 3 【题型 4】整式乘法混合运算（综合必考） 3 【题型 5】化简求值（期末必考题型） 4 三.经典题型精析（综合提升） 4 【题型 6】多项式相乘中的不含某项问题（提升题型） 4 【题型 7】多项式相乘与图形面积问题综合（提升题型） 5 【题型 8】多项式相乘与杨辉三角形问题（提升题型） 6 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 预习方法：读概念→理解运算法则→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】单项式的乘法 运算规则：系数相乘、同底数幂分别相乘、单独字母直接保留。 步骤：①系数相乘定符号；②同底数幂用幂的运算公式；③只在一个单项式中出现的字母，连同指数直接照抄。 【知识点二】单项式与多项式相乘（分配律） 公式： 口诀：单项式乘遍多项式每一项，不漏项、不错号。 【要点提示】多项式每一项包含前面符号，负系数相乘要变号。 【知识点三】多项式的乘法（重点） 公式： 口诀：一个括号里每一项，乘遍另一个括号所有项，最后合并同类项。 必考步骤：逐项相乘 → 去括号 → 合并同类项（结果必须最简） 【知识点四】运算通用顺序 先乘方 → 再整式乘法 → 最后合并同类项 【知识点五】高频易错点（必考避坑） 1. 漏项：多项式相乘必须每一项都乘到，不能少乘； 2. 符号错误：负负得正、正负得负，带负号项相乘极易出错； 3. 指数错误：区分“系数相乘”和“指数相加”，不要混为一谈； 4. 忘记合并同类项：乘法结束后一定要化简到最简整式； 5. 单独字母遗漏：单项式相乘中独有字母，必须保留在结果中。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】单项式乘单项式（基础必会） 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则__________． 【变式3】（25-26七年级下·北京·课前预习）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【题型 2】单项式乘多项式（高频基础） 【例题2】（2026·河北邯郸·二模）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则的值是________． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【题型 3】多项式乘多项式（核心重难点） 【例题3】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【变式2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）已知 ，计算的值为________． 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： （1）总结公式：； （2）已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【题型 4】整式乘法混合运算（综合必考） 【例题4】（25-26八年级上·福建南平·期中）计算： （1） （2） （3） 【变式1】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）计算______． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）计算： （1） （2） （3） 【题型 5】化简求值（期末必考题型） 【例题5】（2026·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2），其中，． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】多项式相乘中的不含某项问题（提升题型） 【例题6】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． （1）求、的值． （2）求代数式的值． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若的计算结果中不含的一次项，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26六年级下·上海·期末）已知的展开式中，不含有和，则______． 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知展开后，不含有项和常数项． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【题型 7】多项式相乘与图形面积问题综合（提升题型） 【例题7】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） （1）用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） （2）已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 【变式2】（22-23七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【变式3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． （1）请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； （2）求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 【题型 8】多项式相乘与杨辉三角形问题（提升题型） 【例题8】（2026·湖北黄石·三模）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图1的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，用你发现的规律回答下列问题： （1）展开式共有________项，第1项的系数为________，各项的次数为________； （2）图2中括号内的数为________； （3）利用上面的规律计算：__________； （4）利用图1，写出的展开式：________________________________________． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项，如：．若是展开式中的系数，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是__________． 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）请直接写出的展开式； （2）的展开式中共有多少项？ （3）今天是星期四，过了天后是星期几？ 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．（25-26七年级下·全国·期末）已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 5．（25-26七年级下·江西吉安·期中）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）下列算式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）计算：的结果是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．0 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）与互为倒数，则=________． 12．（25-26七年级下·浙江·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 13．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如果，那么的值为______． 15．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则___________． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是_____． 18．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一（如图）．根据图中的规律，的展开式里含项的系数为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． （1）求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） （2）当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： （1）求的值； （2）求证：； 拓展探究： （3）若，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： … （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——整式的乘法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】单项式的乘法 1 【知识点二】单项式与多项式相乘（分配律） 1 【知识点三】多项式的乘法（重点） 2 【知识点四】运算通用顺序 2 【知识点五】高频易错点（必考避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】单项式乘单项式（基础必会） 2 【题型 2】单项式乘多项式（高频基础） 4 【题型 3】多项式乘多项式（核心重难点） 5 【题型 4】整式乘法混合运算（综合必考） 7 【题型 5】化简求值（期末必考题型） 9 三.经典题型精析（综合提升） 11 【题型 6】多项式相乘中的不含某项问题（提升题型） 11 【题型 7】多项式相乘与图形面积问题综合（提升题型） 13 【题型 8】多项式相乘与杨辉三角形问题（提升题型） 16 四.同步自测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 预习方法：读概念→理解运算法则→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】单项式的乘法 运算规则：系数相乘、同底数幂分别相乘、单独字母直接保留。 步骤：①系数相乘定符号；②同底数幂用幂的运算公式；③只在一个单项式中出现的字母，连同指数直接照抄。 【知识点二】单项式与多项式相乘（分配律） 公式： 口诀：单项式乘遍多项式每一项，不漏项、不错号。 【要点提示】多项式每一项包含前面符号，负系数相乘要变号。 【知识点三】多项式的乘法（重点） 公式： 口诀：一个括号里每一项，乘遍另一个括号所有项，最后合并同类项。 必考步骤：逐项相乘 → 去括号 → 合并同类项（结果必须最简） 【知识点四】运算通用顺序 先乘方 → 再整式乘法 → 最后合并同类项 【知识点五】高频易错点（必考避坑） 1. 漏项：多项式相乘必须每一项都乘到，不能少乘； 2. 符号错误：负负得正、正负得负，带负号项相乘极易出错； 3. 指数错误：区分“系数相乘”和“指数相加”，不要混为一谈； 4. 忘记合并同类项：乘法结束后一定要化简到最简整式； 5. 单独字母遗漏：单项式相乘中独有字母，必须保留在结果中。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】单项式乘单项式（基础必会） 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以单项式，需将系数相乘，同底数幂相乘时，底数不变指数相加，据此写出答案即可． 解：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则__________． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式3】（25-26七年级下·北京·课前预习）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 【题型 2】单项式乘多项式（高频基础） 【例题2】（2026·河北邯郸·二模）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 解：∵， ∴ ． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项化简，最后将代入化简后的式子计算出结果即可． 解： 当时，原式． 【题型 3】多项式乘多项式（核心重难点） 【例题3】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 解： ， 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）已知 ，计算的值为________． 【答案】 【分析】先将所求多项式按照多项式乘多项式法则展开，整理得到含的代数式，再根据已知等式求出的值，整体代入计算即可. 解：∵， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： （1）总结公式：； （2）已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】（1）；（2）m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 解：（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 【题型 4】整式乘法混合运算（综合必考） 【例题4】（25-26八年级上·福建南平·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 解：（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 解：由题意可知， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 解：（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 【题型 5】化简求值（期末必考题型） 【例题5】（2026·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 解： ， ∵， ∴， 原式． 【变式1】（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 解： ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 【答案】5 【分析】将所求多项式展开整理，整体代入已知和的值计算即可． 解：∵，， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2），其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 解：（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】多项式相乘中的不含某项问题（提升题型） 【例题6】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． （1）求、的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1），；（2）2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 解：（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若的计算结果中不含的一次项，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】展开原式后合并同类项，根据结果不含一次项的条件，令一次项系数等于0，即可求出的值． 解：， 计算结果中不含的一次项， 一次项的系数为，即， 解得． 【变式2】（25-26六年级下·上海·期末）已知的展开式中，不含有和，则______． 【答案】 【分析】首先根据多项式乘以多项式法则将原式展开，结合展开式中不含有和，可得关于，的二元一次方程组并求解，然后代入求值即可． 解： ， 展开式中不含有和， ，解得，     ． 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知展开后，不含有项和常数项． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 解：（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 【题型 7】多项式相乘与图形面积问题综合（提升题型） 【例题7】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） （1）用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） （2）已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）；（2）12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 解：（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 【答案】C 【分析】先根据长方形面积公式，计算长为、宽为的大长方形的总面积，使用多项式乘多项式法则展开．结合卡片的形状，确定A类、B类、C类卡片对应的面积分别为、、，因为拼成的大长方形面积等于所有卡片面积之和，所以展开后的总式中项的系数就是所需C类卡片的数量．将所需C类卡片数量和已准备的20张对比，判断是否够用并计算差值． 解：∵ A类正方形面积为，B类正方形面积为，C类长方形面积为． 大长方形长为，宽为， 面积为：． ∴展开式中的系数就是需要C类卡片的数量，即需要17张C类卡片． 小明准备了20张C类卡片，（张）， ∴够用，剩余3张． 【变式2】（22-23七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 【变式3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． （1）请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； （2）求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）平方米；（2）平方米 【分析】（1）扩建后的长方形花园的面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此根据长方形的面积公式求解即可； （2）求出扩建前长方形花园的面积，再求出扩建后长方形花园的面积减去扩建前长方形花园的面积的结果即可得到答案． 解：（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形花园的面积为平方米； （2）解： 平方米， ∴扩建前长方形花园的面积为平方米， 平方米， ∴扩建后花园的面积增加平方米． 【题型 8】多项式相乘与杨辉三角形问题（提升题型） 【例题8】（2026·湖北黄石·三模）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图1的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，用你发现的规律回答下列问题： （1）展开式共有________项，第1项的系数为________，各项的次数为________； （2）图2中括号内的数为________； （3）利用上面的规律计算：__________； （4）利用图1，写出的展开式：________________________________________． 【答案】（1）5；1；4；（2）6；（3）；（4） 【分析】此题主要考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）补全下一行即可得出答案． 解：（1）解：由图（2）可知：， 故展开式共有5项，第1项的系数为1，各项的次数为4； （2）由图2可知：括号内的数对应的系数，值为6； （3）解： ∵， ， ∴可取，， 即； （4）解：如图： ． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项，如：．若是展开式中的系数，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】C 【分析】根据的展开式规律，写出的展开式，根据展开式即可写出的系数t． 解：∵ ∴展开式中倒数第二项为 ∴展开式中含项的系数是2023 故选：C 【点拨】本题是材料阅读题，考查了多项式的乘法，读懂材料然后写出的展开式是关键． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出展开式，据此进行计算即可． 解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 所以 所以的展开式中第二项是． 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）请直接写出的展开式； （2）的展开式中共有多少项？ （3）今天是星期四，过了天后是星期几？ 【答案】（1）；（2）8；（3）星期五 【分析】（1）根据三角形系数图中的系数确定规律，计算完善即可． （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，即可得到答案． （3）根据题意，得 ，看余数解答即可． 本题考查了杨辉三角形的理解与应用，正确理解题意，会探索发现规律，转化应用是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得 ， 故答案为：． （2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图， 当时，有2项； 当时，有项； 当时，有项； ， 故找到规律为：共项， 故的展开式中共有8项． 故答案为：8． （3）解：今天是星期四，过了天后是星期五．理由如下： ∵根据题意，得， 且都能被7整除， ， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期四，过了天后是星期五． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：选项A中，，A错误； 选项B中，，运算正确，B正确； 选项C中，，C错误； 选项D中，与不是同类项，不能合并，则，D错误． 2．（2026·陕西西安·二模）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 解：． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·期末）已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出的展开结果即可得到m、n，再代入计算即可得到答案． 解：根据多项式乘多项式的计算法则可得：， 又， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江西吉安·期中）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：， ∴， 即， ∴． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）下列算式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用幂的乘方、同底数幂乘除法、合并同类项的法则计算各选项，即可得到答案． 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，无法得到，故该选项不符合题意． 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）计算：的结果是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．0 【答案】B 【分析】利用绝对值的性质和零指数幂的运算性质，分别计算两部分的值，再求和即可得到结果． 解：∵ 根据绝对值的性质， 可得， 根据零指数幂的性质，任何非零数的次幂都等于，可得， ∴ 原式. 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 解：由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 9．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“底数相同的幂相等时，指数相等”逐一验证各选项即可得到不正确的关系式． 解：∵ ，，， 验证选项A：∵ ， ， ∴ ，可得，A正确，不符合题意； 验证选项B：∵ ， ∴ ，B正确，不符合题意； 验证选项C：∵ ， ∴ ，C正确，不符合题意； 验证选项D：∵ ， ， ∴ ，可得，D错误，符合题意． 10．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 【答案】C 【分析】根据幂的相关运算性质，依次判断小张每道题的正误，统计做对的题数后计算总得分． 解：逐题判断正误： ①∵，，∴，小张计算正确，得20分； ②与不是同类项，不能合并，小张计算错误，不得分； ③∵，小张结果为，计算错误，不得分； ④∵，小张计算正确，得20分； ⑤∵，可得，小张得，计算错误，不得分； 总得分：，因此小张得分为40分． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）与互为倒数，则=________． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（25-26七年级下·浙江·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方形面积公式列式运算即可． 解：长方形的面积． 13．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 【答案】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值和整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算是解题的关键． 先化简再代入求值即可． 解：， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则___________． 【答案】 解：． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是_____． 【答案】100 【分析】根据题意，得，分析解答即可． 本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系，整式的混合运算，熟练掌握关系是解题的关键． 解：根据题意，得， 时，商最大，为100， 故答案为：100． 18．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一（如图）．根据图中的规律，的展开式里含项的系数为______． 【答案】 【分析】根据所给前几个展开式的规律得到的展开式，进而可得答案． 解：根据图中规律，得， ∴的展开式里含项的系数为4． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： （2）解： 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式、多项式乘以多项式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，再计算单项式乘以单项式，然后计算整式的减法即可得； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），28 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，然后计算多项式除以单项式； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并，然后代数求解即可． 解：（1） ； （2） ， 将代入，原式． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． （1）求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） （2）当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 【答案】（1）；（2）扩建后长方形的面积比原来增加了． 【分析】（1）扩建后长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式计算即可求解； （2）根据题意列式并化简，再将代入即可求解． 解：（1）解：扩建后长方形的面积为： ； （2）解： ， 当时，， 扩建后长方形的面积比原来增加了． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： （1）求的值； （2）求证：； 拓展探究： （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 解：（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： … （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简： 【答案】（1） （2）左边 右边； （3） 【分析】（1）根据规律填空即可； （2）利用多项式的乘法法则，计算即可证明结论成立； （3）利用规律解答即可． 解：（1）解：由题意得； （2）证明：略 （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $