第6章 平行四边形 暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册复习巩固 第六章 平行四边形 本章复习目标 理解平行四边形的定义，掌握平行四边形边、角、对角线的性质定理，能规范完成平行四边形的证明与计算，初步认识梯形与等腰梯形的基本特征，发展几何直观与逻辑推理核心素养。 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据条件灵活选择判定方法，理解平行线之间距离的概念，提升几何论证能力。 探索并证明三角形中位线定理，能运用中位线解决中点相关的平行、倍分问题，体会转化的几何思想，为后续特殊平行四边形学习筑牢基础。 本章知识框架 知识点复习 6.1 平行四边形的性质 知识点 1：平行四边形的定义 两组对边分别___平行___的四边形叫做平行四边形，记作▱ABCD；平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫做它的___对角线___。 平行四边形是___中心___对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 知识点 2：平行四边形的性质定理 边的性质：平行四边形的对边___平行___且___相等___； 角的性质：平行四边形的对角___相等___，邻角__互补____； 对角线性质：平行四边形的对角线___互相平分___。 证明思路：通过连接对角线，将平行四边形转化为两个全等三角形，利用全等三角形证明性质，体现转化思想。 知识点 3：梯形初步认识 梯形定义：一组对边平行、另一组对边___不平行___的四边形叫做梯形。平行的两边称为梯形的底，较短的底为上底，较长的底为下底；不平行的两边称为梯形的腰。 等腰梯形：两腰__相等____的梯形叫做等腰梯形。 对称性：等腰梯形是__轴____对称图形； 角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角___相等___。 6.2 平行四边形的判定 知识点 1：平行四边形的判定定理（与性质互逆） 从边判定： 两组对边分别___平行___的四边形是平行四边形（定义）； 两组对边分别___相等___的四边形是平行四边形； 一组对边___平行___且__相等____的四边形是平行四边形； 从对角线判定： 对角线___互相平分___的四边形是平行四边形。 知识点 2：平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都___相等___，这个距离称为平行线之间的距离。 性质：夹在两条平行线间的平行线段长度___相等___。 6.3 三角形的中位线 知识点 1：三角形中位线的定义 连接三角形两边___中点___的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形共有 3 条中位线；注意区分：三角形的中线是顶点到对边中点的连线，中位线是两边中点的连线。 知识点 2：三角形中位线定理 三角形的中位线__平行____于第三边，且等于第三边的___一半___。 几何语言：若D,E分别是△ABC中AB,AC边的中点，则DE∥BC，且DE= BC。 证明思路：延长中位线构造全等三角形，将问题转化为平行四边形，利用平行四边形性质证明定理，体现 “倍长中线” 的几何辅助线方法。 推论：三角形的三条中位线将原三角形分成 4 个全等的小三角形，每个小三角形的周长是原三角形的，面积是原三角形的。 本章核心数学思想 转化思想：通过连接对角线，将平行四边形问题转化为三角形全等问题；通过倍长中位线构造平行四边形，化未知为已知，是本章核心几何思想。 互逆思想：对比记忆平行四边形的性质与判定，体会互逆命题的几何逻辑，形成 “性质 - 判定” 的几何学习路径。 建模思想：将生活中的伸缩门、升降架等实际问题抽象为平行四边形模型，利用平行四边形的不稳定性与性质解决实际问题。 模型思想：三角形中位线是初中几何核心中点模型，遇到中点条件优先考虑中位线定理，快速解决平行与倍分问题。 本章易错点提醒 性质混淆错误：误将矩形、菱形的特殊性质套用到普通平行四边形上，认为平行四边形对角线相等、对角线垂直，普通平行四边形仅满足对角线互相平分。 判定定理误用：使用 “一组对边平行，另一组对边相等” 判定平行四边形，忽略等腰梯形的反例，该条件不能判定平行四边形。 梯形概念偏差：误认为 “有一组对边平行的四边形是梯形”，必须强调 “另一组对边不平行”，平行四边形两组对边都平行，不属于梯形。 中位线概念混淆：混淆三角形中位线与中线，记忆定理时遗漏 “平行” 的位置关系或 “一半” 的数量关系。 对角线范围漏用三边关系：平行四边形对角线与边长构成三角形，需满足三角形三边关系，易忽略该条件导致长度范围计算错误。 等腰梯形性质错用：等腰梯形是 “同一底上” 的两个角相等，不是所有角相等，也不是对角相等。 知识点练习 一、选择题 1.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据平行四边形的判定定理，结合图形中的角度和边长数据逐一判断. 【解答】 解：A、∵ 100°+80°=180° ∴ 左右两边平行 ∵ 80°+110°≠180° ∴ 上下两边不平行 ∴ 该四边形不是平行四边形，故A不符合题意; B、只有一组对边相等，不能证明其为平行四边形，故B不符合题意; C、一组对角相等，一组对边相等，不能证明其为平行四边形，故C不符合题意; D、∵ 100°+80°=180° ∴ 左右两边平行 而左右两边相等， ∴ 能证明其为平行四边形. 故D符合题意. 故选：D. 2.如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 四边形ABCD是等腰梯形， ， ， ，故选项A、B、D不符合题意； 无法得出AB=AD，故选项C符合题意 故选：C. 3.如图，点，，分别是各边上的中点，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到DE，DF是∆ABC的中位线，得到DE // AC，DF // AB，然后根据平行线的性质求解即可. 【解答】 点D，E，F分别是∆ABC各边上的中点， DE，DF是∆ABC的中位线 DE // AC，DF // AB DEB= A=70° DF // AB EDF= DEB=70°. 故选：C.   4.如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、中位线定理的运用以及勾股定理的运用，证明EF是 的中位线是解题的关键．连接 BD，过点作BH CD，由直角三角形的性质可得 ，再由勾股定理求得BH及BD，再由EF是 的中位线，可得答案。 【解答 过点作BH CD. DH=CD-CH=4- E是GB的中点，F是DG的中点， EF= 故选：A 5.如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解． 【解答】 根据平行四边形的性质得， ， 又平分， ， ， ， 即． 故选：． 6.如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【解答】 解：， ， 可以表示平行线与之间的距离, 故选：． 7.如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（        ） A.与的差 B.的长 C.等腰梯形与周长的差 D.的周长 【答案】 D 【解析】 求出，，得到的周长即可. 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是一个等腰梯形， ，， ， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出与的差、等腰梯形与周长的差、的长. 8.如图，点是对角线上一点，已知且，都经过点，连接，，下列结论错误的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 首先，根据已知条件证得四边形AEPH，PFCG，BEPG，DFPH，ADFE，BCFE均是平行四边形，A选项：如图1，过作BM AC于M，过D作DN AC于N，先证得 ，得BM=DN，再运用三角形同底等高证得 ，可得 ，进而得 ，A选项正确，不符合题意；B选项：根据已知条件可证得 ，但 不一定等于 ，即 不一定等于 ，B选项错误，符合题意；C选项：根据已知条件可证得 ，同理可得 ，进而得 ，C选项正确，不符合题意；D选项：如图2，过HK AB于K，过G作GT CD于T，根据已知条件可证得AE=DF，BE=CF，又 ， ，可得 ，D选项正确，不符合题意，最后可得结论. 【解答】 解： 四边形ABCD是平行四边形， AB CD，AD BC， EF AD，GH AB， AB CD GH，AD BC EF， 四边形 AEPH，PFCG，BEPG，DFPH，ADFE，BCFE均是平行四边形. CP是 PFCG的对角线， A选项：如图1，过B作 于M，过D作 于N, 图1 四边形ABCD是平行四边形， 即 四边形BEPG，DFPH均是平行四边形， A选项正确，不符合题意； B选项： 四边形AEPH，BEPG均是平行四边形， 在EF上的位置不确定， 不一定等于 即 不一定等于 B选项错误，符合题意； C选项： 四边形ADFE，BCFE均是平行四边形且 与 同底等高， 与 同底等高， 同理可得 C选项正确，不符合题意； D选项：如图2，作出 于K，过G作GT 于I. D选项：如图2，过作HK AB于K，过G作GT CD于T， 图2 四边形ADFE，BCFE是平行四边形， D选项正确，不符合题意； 综上，故选B. 二、 填空题 9.如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于 ________．     【答案】 【解析】 证四边形ABCD是平行四边形，得 ，即可得出结论. 【解答】 解： 四边形ABCD是平行四边形， 故答案为： 10.如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于___36_____． 【答案】 36 【解析】 根据D、E分别是AC、BC的中点，可得DE是∆ABC的中位线，利用中位线定理即可求解. 【解答】 解：∵ D、E分别是AC、BC的中点， ∴ AB=2DE=36m. 11.如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是___AD_____． 【答案】 AD 【解析】 本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键. 【解答】 解： 点A在 上，点D在 上， 的长度是 到 的距离， 故答案为：AD. 12.已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为____10____． 【答案】 10 【解析】 本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，梯形周长的转化计算作 DE AB交BC于点E，证明四边形ABED是平行四边形，以及 是等边三角形，得到BE=EC=CD=AD=AB=2，继而得出梯形ABCD的周长. 【解答】 解：如图，作 ，DE 四边形ABED是平行四边形， ，AD=BE=2， 是等边三角形， 梯形ABCD的周长为 13.如图，村庄A和学校M位于一条河的两侧（两侧河岸线平行，为东西走向），河宽60米，A到河岸a的距离为130米，M到河岸b的距离为50米，且A和M的东西方向距离为150米．为保障村庄A的学生上学安全，镇政府决定修建一座“爱心桥”，桥长与河宽相同．要求“爱心桥”与河岸线垂直，且使学生所走路线最短，则学生从A到M最少要走________米（不考虑地面到桥面的高度）． 【答案】 【解析】 如图，过A作AH GM，且AH=PQ=60，过H作HT GM于T，可得AP+PQ+QM=HQ+QM+60=HM+60，此时 AP+PQ+QM最短，再进一步求解即可. 【解答】 解：如图，过A作 ，且 ，过H作HT GM于T，连接HM， 结合题意可得：四边形AHTG为矩形， 当Q在HM上时，AH 四边形AHQP为平行四边形， 此时AP+PQ+QM最短，由勾股定理可得： 的最小值为 学生从A到M最少要走 米. 三、 解答题  14.如图，在平行四边形中，已知，周长为28，求的长． 【答案】 长为6 【解析】 根据平行四边形对边相等得到 ，进而根据 计算即可. 【解答】 解： 平行四边形对边相等， 周长 ， ， 15.如图，在中，若，于点，求的长度． 【答案】 【解析】 本题考查平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形和含30度角的直角三角形的性质解答的关键．根据题意得出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，得出 ，进而根据 ，即可求解． 【解答】 解： 在 中， , , 在Rt 中   16.如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 【答案】 见解析 四边形DBFE的周长为28cm 【解析】 （1）根据三角形中位线定理可得DE=BC，根据已知条件可得BF=BC即可得证BF=DE； （2）根据勾股定理求得BD，根据（1）的结论证明四边形DBFE是平行四边形，即可求解. 【解答】 （1）证明：D，E分别是AC，AB的中点， DE//BC，DE=BC， 又CF=3BF 即BF=BC， BF=DE （2）DE=BC，DE=4 BC=8， AC=12，D是AC的中点， DC=6， RtΔBDC中， BD==10， 又DE=BF且DE//BF， 四边形DBFE为平行四边形. 四边形DBFE的周长为. 17.如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】 见解析 BD = AE，见解析 【解析】 （1）根据平行线的性质求出 ，根据 推出 ，证 ，推出 即可. （2）根据等腰梯形性质得出 ，即可得出答案. 【解答】 （1）解： 在 和 中， 四边形ABCD是等腰梯形. （2）解： 理由是：连接 四边形ABCD是等腰梯形，   18. 将放在平面直角坐标系中，为原点，点，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）如图①，求点的坐标； （2）如图②，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，当点的对应点落在轴正半轴上时，求旋转角及点的对应点的坐标； （3）将平行四边形绕点旋转得到平行四边形，使点的对应点落在直线上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出、、之间的关系． 【答案】 旋转角为， 作图见解析，当逆时针旋转时，；当顺时针旋转时，． 【解析】 （1）先说明，再利用含度角的直角三角形的性质求出、，即确定点坐标； （2）如图②，过点作轴于，先求出，进而利用含度角的直角三角形的性质求出、即可解答； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别运用旋转的性质解答即可． 【解答】 （1）解：如图① 轴轴 四边形是平行四边形， ， ， 在中，，， ； （2）如图②，过点作轴于， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当点的对应点落在轴正半轴上时，旋转角为， 由旋转知，，， ， ， ； （3）如图， ①当顺时针旋转时， 将平行四边形绕点旋转得到平行四边形 ， 四边形是平行四边形 ； ②当逆时针旋转时， 将平行四边形绕点旋转得到平行四边形" 四边形是平行四边形 ． 所上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册复习巩固 第六章 平行四边形 本章复习目标 理解平行四边形的定义，掌握平行四边形边、角、对角线的性质定理，能规范完成平行四边形的证明与计算，初步认识梯形与等腰梯形的基本特征，发展几何直观与逻辑推理核心素养。 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据条件灵活选择判定方法，理解平行线之间距离的概念，提升几何论证能力。 探索并证明三角形中位线定理，能运用中位线解决中点相关的平行、倍分问题，体会转化的几何思想，为后续特殊平行四边形学习筑牢基础。 本章知识框架 知识点复习 6.1 平行四边形的性质 知识点 1：平行四边形的定义 两组对边分别______的四边形叫做平行四边形，记作▱ABCD；平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫做它的______。 平行四边形是______对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 知识点 2：平行四边形的性质定理 边的性质：平行四边形的对边______且______； 角的性质：平行四边形的对角______，邻角______； 对角线性质：平行四边形的对角线______。 证明思路：通过连接对角线，将平行四边形转化为两个全等三角形，利用全等三角形证明性质，体现转化思想。 知识点 3：梯形初步认识 梯形定义：一组对边平行、另一组对边______的四边形叫做梯形。平行的两边称为梯形的底，较短的底为上底，较长的底为下底；不平行的两边称为梯形的腰。 等腰梯形：两腰______的梯形叫做等腰梯形。 对称性：等腰梯形是______对称图形； 角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角______。 6.2 平行四边形的判定 知识点 1：平行四边形的判定定理（与性质互逆） 从边判定： 两组对边分别______的四边形是平行四边形（定义）； 两组对边分别______的四边形是平行四边形； 一组对边______且______的四边形是平行四边形； 从对角线判定： 对角线______的四边形是平行四边形。 知识点 2：平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都______，这个距离称为平行线之间的距离。 性质：夹在两条平行线间的平行线段长度______。 6.3 三角形的中位线 知识点 1：三角形中位线的定义 连接三角形两边______的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形共有 3 条中位线；注意区分：三角形的中线是顶点到对边中点的连线，中位线是两边中点的连线。 知识点 2：三角形中位线定理 三角形的中位线__平行____于第三边，且等于第三边的______。 几何语言：若D,E分别是△ABC中AB,AC边的中点，则DE∥BC，且DE= BC。 证明思路：延长中位线构造全等三角形，将问题转化为平行四边形，利用平行四边形性质证明定理，体现 “倍长中线” 的几何辅助线方法。 推论：三角形的三条中位线将原三角形分成 4 个全等的小三角形，每个小三角形的周长是原三角形的，面积是原三角形的。 本章核心数学思想 转化思想：通过连接对角线，将平行四边形问题转化为三角形全等问题；通过倍长中位线构造平行四边形，化未知为已知，是本章核心几何思想。 互逆思想：对比记忆平行四边形的性质与判定，体会互逆命题的几何逻辑，形成 “性质 - 判定” 的几何学习路径。 建模思想：将生活中的伸缩门、升降架等实际问题抽象为平行四边形模型，利用平行四边形的不稳定性与性质解决实际问题。 模型思想：三角形中位线是初中几何核心中点模型，遇到中点条件优先考虑中位线定理，快速解决平行与倍分问题。 本章易错点提醒 性质混淆错误：误将矩形、菱形的特殊性质套用到普通平行四边形上，认为平行四边形对角线相等、对角线垂直，普通平行四边形仅满足对角线互相平分。 判定定理误用：使用 “一组对边平行，另一组对边相等” 判定平行四边形，忽略等腰梯形的反例，该条件不能判定平行四边形。 梯形概念偏差：误认为 “有一组对边平行的四边形是梯形”，必须强调 “另一组对边不平行”，平行四边形两组对边都平行，不属于梯形。 中位线概念混淆：混淆三角形中位线与中线，记忆定理时遗漏 “平行” 的位置关系或 “一半” 的数量关系。 对角线范围漏用三边关系：平行四边形对角线与边长构成三角形，需满足三角形三边关系，易忽略该条件导致长度范围计算错误。 等腰梯形性质错用：等腰梯形是 “同一底上” 的两个角相等，不是所有角相等，也不是对角相等。 知识点练习 一、选择题 1.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（        ） A. B. C. D. 2.如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（        ） A. B. C. D. 3.如图，点，，分别是各边上的中点，，则（     ） A. B. C. D.  4.如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（       ） A. B. C. D. 5.如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（       ） A. B. C. D. 6.如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（       ） A. B. C. D. 7.如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（        ） A.与的差 B.的长 C.等腰梯形与周长的差 D.的周长 8.如图，点是对角线上一点，已知且，都经过点，连接，，下列结论错误的是（        ） A. B. C. D. 二、 填空题 9.如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于 _______．     10.如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于_______． 11.如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是________． 12.已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 13.如图，村庄A和学校M位于一条河的两侧（两侧河岸线平行，为东西走向），河宽60米，A到河岸a的距离为130米，M到河岸b的距离为50米，且A和M的东西方向距离为150米．为保障村庄A的学生上学安全，镇政府决定修建一座“爱心桥”，桥长与河宽相同．要求“爱心桥”与河岸线垂直，且使学生所走路线最短，则学生从A到M最少要走________米（不考虑地面到桥面的高度）． 三、 解答题  14.如图，在平行四边形中，已知，周长为28，求的长． 15.如图，在中，若，于点，求的长度． 16.如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 17.如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由．  18.将放在平面直角坐标系中，为原点，点，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）如图①，求点的坐标； （2）如图②，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，当点的对应点落在轴正半轴上时，求旋转角及点的对应点的坐标； （3）将平行四边形绕点旋转得到平行四边形，使点的对应点落在直线上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出、、之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $