专题11 分式及其基本性质 暑假预习讲义 2026年人教版八年级数学上册

专题11 分式及其基本性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 分式基础概念：掌握分式的定义，精准区分分式与整式，熟练判定分式有意义、无意义及值为零的条件； 分式核心性质：熟记分式的基本性质，掌握分式的约分、通分两大基础变形方法，理解最简分式的定义； 基础应用规则：掌握分式变形的书写规范，规避常见易错点，为后续分式运算打好基础。 ✺学习目标 知识与技能 1.理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式的判定标准。 2.熟练掌握分式有意义、无意义、分式值为0的判定条件，能解决基础题型。 3.熟记分式的基本性质，理解性质的核心内涵，明确变形中的注意事项。 4.掌握分式约分、通分的定义、方法和步骤，能准确找出最简公分母。 5.理解最简分式的概念，熟练将分式化为最简形式，遵守课内书写规范。 思路方法 1.通过对比整式与分式的区别，建立代数式分类的数学思维。 2.依托分数的基本性质类比推导分式基本性质，培养类比迁移的学习能力。 3.总结分式变形的标准化流程，规范约分、通分的解题思路，做到有序解题。 素养提升 1.养成细致观察、严谨判断、规范书写的解题习惯，减少概念性错误。 2.掌握代数式恒等变形思想，夯实分式运算的学习基础。 3.培养归纳总结、举一反三的能力，提升代数式辨析与变形的综合素养。 ✺题型归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式无意义的条件 题型3.分式有意义的条件 题型4.分式值为零的条件 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型6.判断分式变形是否正确 题型7.求使分式变形成立的条件 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型12.约分 题型13.最简分式 题型14.最简公分母 题型15.通分 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、分式的定义 1.分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 2.分式判定要点 判断一个式子是否为分式，只看分母是否含字母，与分子是否含字母、式子是否化简无关。分母含字母即为分式，分母不含字母即为整式。 补充易错点：π是常数，不属于字母，如不是分式。 3.整式与分式的区别 整式分母不含字母；分式分母必须含有字母，二者为不同的代数式分类。 知识点二、分式的取值条件 1.分式有意义：分母不为0，即B≠0。 2.分式无意义：分母为0，即B=0。 3.分式的值为0：分子为0且分母不为0（缺一不可），即 A=0且B≠0。 易错提醒：分式值为0，必须同时满足分子为0、分母不为0。 知识点三、分式的基本性质 1.基本性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 =  ，=.(C≠0) 2.性质公式 =  ，=.(C≠0)，（其中C是不等于0的整式） 分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 注意事项：变形时必须分子、分母同时乘除；乘除的整式必须统一且不为0；仅分子或分母单独变形，分式值会发生改变。 知识点四、分式的符号法则 1.符号变化规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变；只改变其中一个符号，分式值变为相反数。 2.常用化简结论 ==-, = 分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 书写规范：最终结果一般将分式符号写在分式最前方，分子、分母首项符号为正。 知识点五、分式的约分与最简分式 1.约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.约分步骤：先将分子、分母分别因式分解，再找出分子分母的公因式，最后约去全部公因式。 3.最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式运算结果必须化为最简分式。 核心要求：约分必须彻底，约去所有公因式，不可局部约分，不能对分子、分母内部单项单独约分。 知识点六、分式的通分 1.通分定义：据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 2.最简公分母定义：通分时，选取的最简单的公分母，叫做最简公分母。 3.找最简公分母方法： ① 系数：取各分母系数的最小公倍数；② 字母：取各分母所有出现的字母；③ 指数：相同字母取最高次幂；④ 若分母为多项式，需先因式分解，再确定最简公分母。 4.通分步骤：分母为多项式时先因式分解，再确定最简公分母，最后根据分式基本性质，将每个分式化为以最简公分母为分母的恒等分式。 知识点七、基础书写与变形规范 1.分式判定、取值范围讨论，必须优先考虑分母不为0的前提条件； 2.约分、通分均为恒等变形，不改变分式本身的大小； 3.分式最终结果需化为最简分式，杜绝未约分、约分不彻底的情况； 4.分式符号统一规整，分子、分母首项无负号，格式规范统一。 ✺题型精讲 题型1.分式的判断 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分式的定义为：若A，B是整式，且B中含有未知数，则式子是分式． 【详解】解：的分母为常数2，分母为常数3，中是常数，都不是分式； 和的分母都含有未知数x，符合分式定义，是分式； ∴分式共有2个． 2．在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 【答案】是分式，其余的都是整式． 【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，中，只有是分式， ，，，分母中都不含字母，不是分式，是整式， 答：是分式，其余的都是整式． 【点睛】本题主要考查分式的定义．熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 题型2.分式无意义的条件 1．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式无意义，则分母为零， ∴， 解得． 2．若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于零，据此列方程求解即可． 【详解】分式在实数范围内无意义， ，解得：． 3．为何值时，分式无意义？ 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于0，根据分母等于0，列出方程，求出的值即可． 【详解】解：分式无意义． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了分式无意义的条件，掌握“分式的分母为0，分式无意义”是解决本题的关键． 题型3.分式有意义的条件 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得 ∴实数x的取值范围为． 2．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 3．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式有意义的条件：分母不为0． 【详解】（1）解：由题意，，解得； （2） 解：由题意，，解得． 题型4.分式值为零的条件 1．若代数式的值是0，则实数的值是（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据分式为0的条件是分子为0，分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：令， 解得． 当时，，符合题意． 2．若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 3．当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)没有使分式的值为0的值 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件； （1）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （2）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （3）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （2）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （3）解：∵的值为， ∴且， ∴没有使分式的值为0的值． 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 2．若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 3．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 题型6.判断分式变形是否正确 1．下列各式由左边到右边的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号法则和分式的基本性质，根据分式相关性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：选项A：∵，符合分式的符号法则，∴A变形正确； 选项B：只有当或时，才成立，不是对任意都成立，∴B变形错误； 选项C：分式的基本性质是分子分母同乘或同除以同一个不为0的整式，分式值不变，不是同加同一个数，例如时，，∴C变形错误； 选项D：拆分分式得，∴D变形错误． 2．填空：，括号里应该填_______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】∵分母 乘 得到 ， ∴分子 也要同乘 ， ∴． 故答案为：． 3．判断下面的语句是否正确，并说明理由． (1)分式与相等． (2)分式与相等． (3)分式与相等． (4)分式与相等． 【答案】(1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”来判断分式是否相等． （1）利用分式基本性质，判断分子分母是否同乘不为0的整式； （2）利用分式基本性质，判断分子分母是否同乘不为0的整式； （3）利用分式基本性质，判断分子分母是否同乘不为0的整式； （4）利用分式基本性质，判断分子分母是否同乘不为0的整式； 【详解】（1）解：正确； 理由：根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以2，得到，因此两分式相等． （2）解：错误； 理由：分式的分子乘以5、分母乘以，分子与分母乘的不是同一个不为0的整式，不满足分式的基本性质．例如当时，，，两者不相等． （3）解：正确 理由：根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时除以2，得到，因此两分式相等． （4）解：正确， 理由：根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时除以，得到，因此两分式相等． 题型7.求使分式变形成立的条件 1．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质，观察分母的变化，给分子做相同的变形即可求出A 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 2．利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】利用分式的基本性质即可求得答案．本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（     ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】将扩大后的，代入原分式，化简后与原分式对比，即可得到分式值的变化． 【详解】解：当，同时扩大为原来的2倍时， 新的分子为， 新的分母为， 故新的分式为， 因此分式的值缩小为原来的，故选C． 2．如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值______． 【答案】不变 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 依题意把分式中的x，y都扩大3倍，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍得， 可见新分式与原分式的值相等． 故答案为：不变． 3．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见解析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 【详解】解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 2．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 2．当整数_____时，分式的值为正整数． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，分式有意义的条件，掌握分式的性质是解题关键． 由分式值为正可得，再由分式值为整数推出是的正约数，最后结合分母不为零的条件，得到唯一解． 【详解】解：∵的值为正整数，且是整数， ∴要使，则，要使为整数，必是的约数， ∵的正约数只有， ∴当，分母，且，满足条件． 故答案为：． 3．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 题型12.约分 1．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 2．化简：_________． 【答案】/ 【详解】解：． 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型13.最简分式 1．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项B：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项C：的分子分母没有公因式， 是最简分式，符合题意； 选项D：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意． 2．化简分式：________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 题型14.最简公分母 1．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定，按照最简公分母的求解规则：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有出现的不同字母都写入乘积，即可得到结果． 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为和， ∵的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为． 2．分式和的最简公分母是_________． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的乘积计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和， 和的最小公倍数是， 字母的最高次幂为， ∴ 两个分式的最简公分母是． 3．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型15.通分 1．分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最小公倍式作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：， 则分式与的最简公分母为， 所以分式与通分时，的分子、分母要同乘， 故选：B． 2．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 3．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义进行判断即可，分式的定义为：若A，B是两个整式，B中含有字母且，则式子是分式． 【详解】解： 选项A 的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； 选项C 是单项式，属于整式，不是分式； 选项D 是二次根式，不是分式； 选项B 中，分子5是整式，分母是含字母的整式，符合分式的定义． 2．令分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由分式有意义得， 解得． 3．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 4．如果把分式中的和都变为原来的10倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的十分之一 C．扩大为原来的10倍 D．扩大为原来的100倍 【答案】A 【分析】首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：把分式中的和都变为原来的10倍得到：， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变． 5．将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 二、填空题 6．当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 7．若分式的值为零，则________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，据此结合绝对值的解法求解即可． 【详解】解：分式的值为零 ，且 由得 或 解得或 又，即 ． 8．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法为取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，据此计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 9．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．若分式，则的值为__________．约分：__________．因式分解：__________． 【答案】 【分析】第一题根据分式值为零的条件求解，需满足分子为零且分母不为零；第二题根据分式的基本性质进行约分；第三题先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解：1. 由得， 由得， 因此； 2. ； 3. ． 三、解答题 11．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解： 两个分式的分母分别为，可得最简公分母为， 故，； （2）解： 两个分式的分母分别为，可得最简公分母为， 故，； （3）解：先对分母因式分解，得，，可得最简公分母为； 故，. 12．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：： （2）解：； （3）解：； （4）解：． 13．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 14．不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 15．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 分式及其基本性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 分式基础概念：掌握分式的定义，精准区分分式与整式，熟练判定分式有意义、无意义及值为零的条件； 分式核心性质：熟记分式的基本性质，掌握分式的约分、通分两大基础变形方法，理解最简分式的定义； 基础应用规则：掌握分式变形的书写规范，规避常见易错点，为后续分式运算打好基础。 ✺学习目标 知识与技能 1.理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式的判定标准。 2.熟练掌握分式有意义、无意义、分式值为0的判定条件，能解决基础题型。 3.熟记分式的基本性质，理解性质的核心内涵，明确变形中的注意事项。 4.掌握分式约分、通分的定义、方法和步骤，能准确找出最简公分母。 5.理解最简分式的概念，熟练将分式化为最简形式，遵守课内书写规范。 思路方法 1.通过对比整式与分式的区别，建立代数式分类的数学思维。 2.依托分数的基本性质类比推导分式基本性质，培养类比迁移的学习能力。 3.总结分式变形的标准化流程，规范约分、通分的解题思路，做到有序解题。 素养提升 1.养成细致观察、严谨判断、规范书写的解题习惯，减少概念性错误。 2.掌握代数式恒等变形思想，夯实分式运算的学习基础。 3.培养归纳总结、举一反三的能力，提升代数式辨析与变形的综合素养。 ✺题型归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式无意义的条件 题型3.分式有意义的条件 题型4.分式值为零的条件 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型6.判断分式变形是否正确 题型7.求使分式变形成立的条件 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型12.约分 题型13.最简分式 题型14.最简公分母 题型15.通分 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、分式的定义 1.分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 2.分式判定要点 判断一个式子是否为分式，只看分母是否含字母，与分子是否含字母、式子是否化简无关。分母含字母即为分式，分母不含字母即为整式。 补充易错点：π是常数，不属于字母，如不是分式。 3.整式与分式的区别 整式分母不含字母；分式分母必须含有字母，二者为不同的代数式分类。 知识点二、分式的取值条件 1.分式有意义：分母不为0，即B≠0。 2.分式无意义：分母为0，即B=0。 3.分式的值为0：分子为0且分母不为0（缺一不可），即 A=0且B≠0。 易错提醒：分式值为0，必须同时满足分子为0、分母不为0。 知识点三、分式的基本性质 1.基本性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 =  ，=.(C≠0) 2.性质公式 =  ，=.(C≠0)，（其中C是不等于0的整式） 分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 注意事项：变形时必须分子、分母同时乘除；乘除的整式必须统一且不为0；仅分子或分母单独变形，分式值会发生改变。 知识点四、分式的符号法则 1.符号变化规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变；只改变其中一个符号，分式值变为相反数。 2.常用化简结论 ==-, = 分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 书写规范：最终结果一般将分式符号写在分式最前方，分子、分母首项符号为正。 知识点五、分式的约分与最简分式 1.约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.约分步骤：先将分子、分母分别因式分解，再找出分子分母的公因式，最后约去全部公因式。 3.最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式运算结果必须化为最简分式。 核心要求：约分必须彻底，约去所有公因式，不可局部约分，不能对分子、分母内部单项单独约分。 知识点六、分式的通分 1.通分定义：据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 2.最简公分母定义：通分时，选取的最简单的公分母，叫做最简公分母。 3.找最简公分母方法： ① 系数：取各分母系数的最小公倍数；② 字母：取各分母所有出现的字母；③ 指数：相同字母取最高次幂；④ 若分母为多项式，需先因式分解，再确定最简公分母。 4.通分步骤：分母为多项式时先因式分解，再确定最简公分母，最后根据分式基本性质，将每个分式化为以最简公分母为分母的恒等分式。 知识点七、基础书写与变形规范 1.分式判定、取值范围讨论，必须优先考虑分母不为0的前提条件； 2.约分、通分均为恒等变形，不改变分式本身的大小； 3.分式最终结果需化为最简分式，杜绝未约分、约分不彻底的情况； 4.分式符号统一规整，分子、分母首项无负号，格式规范统一。 ✺题型精讲 题型1.分式的判断 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 题型2.分式无意义的条件 1．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 3．为何值时，分式无意义？ 题型3.分式有意义的条件 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 3．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 题型4.分式值为零的条件 1．若代数式的值是0，则实数的值是（     ） A．3 B． C．2 D． 2．若分式的值为零，则的值为_______ 3．当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 2．若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 3．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 题型6.判断分式变形是否正确 1．下列各式由左边到右边的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．填空：，括号里应该填_______． 3．判断下面的语句是否正确，并说明理由． (1)分式与相等． (2)分式与相等． (3)分式与相等． (4)分式与相等． 题型7.求使分式变形成立的条件 1．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 2．利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 3．计算： 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（     ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 2．如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值______． 3．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 2．当整数_____时，分式的值为正整数． 3．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 题型12.约分 1．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 2．化简：_________． 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型13.最简分式 1．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 2．化简分式：________． 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 题型14.最简公分母 1．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 2．分式和的最简公分母是_________． 3．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 题型15.通分 1．分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 2．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 3．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．令分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D． 3．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 4．如果把分式中的和都变为原来的10倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的十分之一 C．扩大为原来的10倍 D．扩大为原来的100倍 5．将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．当______时，分式无意义． 7．若分式的值为零，则________． 8．分式与的最简公分母是________． 9．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 10．若分式，则的值为__________．约分：__________．因式分解：__________． 三、解答题 11．通分： (1)； (2)； (3)． 12．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 14．不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 15．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $