专题10分式的运算暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10分式的运算暑假预习讲义 1. 识记法则：类比分数运算，熟记分式乘除、同分母与异分母分式加减运算法则；分式除法统一转化为乘倒数计算。 2. 掌握通分约分：乘除运算前对多项式因式分解，提前约分简化算式；异分母加减能准确确定最简公分母，完成通分变形。 3. 熟练混合运算：牢记运算优先级，先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算括号内，灵活运用运算律简算。 4. 化简求值：规范分式化简求值步骤，先化简式子，再代入数值，取值必须保证分式分母不为0。 5. 实际应用：能根据工程、行程类应用题题意，列出分式算式并完成运算。 6. 辨析避错：规避高频错误，加减运算错把分母相加减、通分漏乘分子项、最终结果未化为最简分式、符号处理失误。 7. 思维培养：利用分数类比分式，体会转化思想，夯实分式运算功底，为分式方程的学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1，分式乘除运算 2.分式乘方运算 3.分式加减运算 4.分式混合运算 5.分式化简求值 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的乘法 2.分式的除法 3.分式的乘除混合运算 4分式乘方. 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 9.分式恒等式确定分子或分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式最值 强化题型 解答题7题 知识点 01 分式的乘除运算法则（基础运算） 1 分式乘法法则 文字叙述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 公式：：（b、d 均不为 0） 2 分式除法法则 文字叙述：两个分式相除，等于被除式乘以除式的倒数。 公式：​（b、c、d 均不为 0） 3 分式乘除通用解题步骤（必考规范步骤） （1）除法全部转化为乘法（颠倒除式分子分母）； （2）所有分子、分母因式分解（单项式提公因式，多项式用平方差、完全平方）； （3）交叉约分，约去分子分母全部公因式； （4）剩余整式分别相乘，结果化为最简分式 / 整式。 4 典型例题 5 易错点 做除法时，只颠倒分子、不颠倒分母； 未因式分解直接相乘，最后不约分； 符号遗漏，负号只写一处。 知识点 02 分式的乘方运算法则 1 乘方法则 文字叙述：分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2 符号规律 指数n为偶数：结果为正； 指数n为奇数：符号与原式一致； 3 混合运算顺序：先乘方，再乘除 4 易错点 乘方只给分子乘、忽略分母乘方；负号不参与乘方运算。 知识点 03 分式的加减运算（分同分母、异分母两类） 1 同分母分式加减法法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 关键注意：分子是多项式时必须加括号 2 异分母分式加减法法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 公式：公式：（b、d 均不为 0） 3 异分母加减标准四步流程 （1）分解所有分母因式； （2）确定最简公分母； （3）通分，化为同分母分式； （4）分子去括号合并同类项，约分至最简。 4 整式与分式加减技巧 把整式看成分母为 1 的分式，再通分。 5 易错点 （1）异分母直接分子、分母分别加减； （2）分子相减时多项式忘记加括号，符号出错； （3）计算完分子不化简、不约分。 知识点 04 分式混合运算（考试解答题核心） 1 固定运算优先级（严格遵守） （1）有括号先算括号内（先小括号，再中括号）； （2）同级先算乘方； （3）再算乘除（从左到右）； （4）最后算加减； （5）全程每一步及时约分，最后结果必须是最简分式。 2 通用解题模板 （1）括号内：异分母先通分加减，合并分子； （2）除法统一转化为乘法； （3）全部因式分解，交叉约分； （4）整式相乘合并，检验能否继续约分。 3 经典混合例题 4 高频扣分点 （1）运算顺序混乱，先加减后乘除； （2）括号前是减号，去括号不变号； （3）中途不约分，计算量变大易算错； （4）最终结果不化简。 知识点 05 分式化简求值（必考大题题型） 1 标准解题两步 第一步：先化简分式（混合运算，化成最简）； 第二步：代入合适数值计算。 2 取值硬性限制（阅卷重点扣分） 代入的未知数必须保证原式所有分母≠0、除式≠0。 例：化简后得x+1，但x不能取 1（原式分母为 0，无意义）。 3 常考两类题型 直接给数字代入； 整体代入（不给单独 x、y，给\(x+y\)、xy整体值） 4 易错点 不化简直接代入计算；取值时分母为 0，题目无意义。 知识点 6四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 多项式先分解，提前约分 分式除法 == 除式颠倒，转化乘法 分式乘方 ()n= 分子分母同时乘方，区分奇偶次符号 同分母加减 ± 多项式分子整体加括号 异分母加减 ±= 先通分，再合并分子 知识点 7 高频易错点 1.分式除法忘记颠倒除式直接分子分母相除，运算规则完全错误； 2.分子为多项式做减法时不加括号，去括号后符号全部出错； 3.乘除混合运算不先因式分解，无法约分，计算量大且结果不是最简； 4.分式乘方只给分子乘方、忽略分母乘方，或负号幂次判断错误； 5.异分母加减直接分子、分母分别相加减，跳过通分步骤； 6.混合运算不遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 顺序，随意计算； 7.计算完成后不检查约分，结果保留可化简的公因式，不是最简分式； 8.整式与分式运算时，错误把整式直接和分子合并，忘记通分； 9.约分、乘除过程中忽略分母不能为 0 的隐含取值条件。 题型1.分式的乘法 【典例】化简的结果是_______________． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走________． 【跟踪专练3】下列分式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2.分式的除法 【典例】化简：__________． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：__________． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型3.分式的乘除混合运算 【典例】____． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．_________． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4分式乘方. 【典例】计算：_________． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：______． 【跟踪专练3】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】___________． 【跟踪专练3】的结果是（    ） A． B． C． D．1 题型6.同分母分式加减法 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】化简分式的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【跟踪专练2】师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 【跟踪专练3】已知代数式则（     ） A． B． C． D． 题型7.异分母分式加减法 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】计算：（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 题型8.整式与分式相加减 【典例】计算：＝_____． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】计算：的结果是________． 【跟踪专练3】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 题型9.分式恒等式确定分子或分母 【典例】已知，则______， ______． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【跟踪专练2】把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 【跟踪专练3】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 题型10.分式加减混合运算 【典例】填空： _________ （填“>”、“=”、“<”）． 【跟踪专练1】已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 题型11.分式加减的实际应用 【典例】某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水______吨．（用含，的代数式表示） 【跟踪专练1】商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 【跟踪专练2】有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 【跟踪专练3】甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 题型12.分式加减乘除混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 【跟踪专练3】化简：____________． 题型13.分式化简求值 【典例】已知实数，满足，则的值为______． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值等于______________． 【跟踪专练2】若，则分式的值为_________． 【跟踪专练3】若，，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2025 C．2022 D．2030 题型14.分式最值 【典例】分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【跟踪专练2】若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【跟踪专练3】已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．分式计算： (1)； (2)． 4．化简： (1)． (2)． 5． 先化简，再求值： ，其中． 6．已知，，为常数，求的值． 7．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式的运算暑假预习讲义 1. 识记法则：类比分数运算，熟记分式乘除、同分母与异分母分式加减运算法则；分式除法统一转化为乘倒数计算。 2. 掌握通分约分：乘除运算前对多项式因式分解，提前约分简化算式；异分母加减能准确确定最简公分母，完成通分变形。 3. 熟练混合运算：牢记运算优先级，先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算括号内，灵活运用运算律简算。 4. 化简求值：规范分式化简求值步骤，先化简式子，再代入数值，取值必须保证分式分母不为0。 5. 实际应用：能根据工程、行程类应用题题意，列出分式算式并完成运算。 6. 辨析避错：规避高频错误，加减运算错把分母相加减、通分漏乘分子项、最终结果未化为最简分式、符号处理失误。 7. 思维培养：利用分数类比分式，体会转化思想，夯实分式运算功底，为分式方程的学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1，分式乘除运算 2.分式乘方运算 3.分式加减运算 4.分式混合运算 5.分式化简求值 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的乘法 2.分式的除法 3.分式的乘除混合运算 4分式乘方. 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 9.分式恒等式确定分子或分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式最值 强化题型 解答题7题 知识点 01 分式的乘除运算法则（基础运算） 1 分式乘法法则 文字叙述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 公式：：（b、d 均不为 0） 2 分式除法法则 文字叙述：两个分式相除，等于被除式乘以除式的倒数。 公式：​（b、c、d 均不为 0） 3 分式乘除通用解题步骤（必考规范步骤） （1）除法全部转化为乘法（颠倒除式分子分母）； （2）所有分子、分母因式分解（单项式提公因式，多项式用平方差、完全平方）； （3）交叉约分，约去分子分母全部公因式； （4）剩余整式分别相乘，结果化为最简分式 / 整式。 4 典型例题 5 易错点 做除法时，只颠倒分子、不颠倒分母； 未因式分解直接相乘，最后不约分； 符号遗漏，负号只写一处。 知识点 02 分式的乘方运算法则 1 乘方法则 文字叙述：分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2 符号规律 指数n为偶数：结果为正； 指数n为奇数：符号与原式一致； 3 混合运算顺序：先乘方，再乘除 4 易错点 乘方只给分子乘、忽略分母乘方；负号不参与乘方运算。 知识点 03 分式的加减运算（分同分母、异分母两类） 1 同分母分式加减法法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 关键注意：分子是多项式时必须加括号 2 异分母分式加减法法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 公式：公式：（b、d 均不为 0） 3 异分母加减标准四步流程 （1）分解所有分母因式； （2）确定最简公分母； （3）通分，化为同分母分式； （4）分子去括号合并同类项，约分至最简。 4 整式与分式加减技巧 把整式看成分母为 1 的分式，再通分。 5 易错点 （1）异分母直接分子、分母分别加减； （2）分子相减时多项式忘记加括号，符号出错； （3）计算完分子不化简、不约分。 知识点 04 分式混合运算（考试解答题核心） 1 固定运算优先级（严格遵守） （1）有括号先算括号内（先小括号，再中括号）； （2）同级先算乘方； （3）再算乘除（从左到右）； （4）最后算加减； （5）全程每一步及时约分，最后结果必须是最简分式。 2 通用解题模板 （1）括号内：异分母先通分加减，合并分子； （2）除法统一转化为乘法； （3）全部因式分解，交叉约分； （4）整式相乘合并，检验能否继续约分。 3 经典混合例题 4 高频扣分点 （1）运算顺序混乱，先加减后乘除； （2）括号前是减号，去括号不变号； （3）中途不约分，计算量变大易算错； （4）最终结果不化简。 知识点 05 分式化简求值（必考大题题型） 1 标准解题两步 第一步：先化简分式（混合运算，化成最简）； 第二步：代入合适数值计算。 2 取值硬性限制（阅卷重点扣分） 代入的未知数必须保证原式所有分母≠0、除式≠0。 例：化简后得x+1，但x不能取 1（原式分母为 0，无意义）。 3 常考两类题型 直接给数字代入； 整体代入（不给单独 x、y，给\(x+y\)、xy整体值） 4 易错点 不化简直接代入计算；取值时分母为 0，题目无意义。 知识点 6四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 多项式先分解，提前约分 分式除法 == 除式颠倒，转化乘法 分式乘方 ()n= 分子分母同时乘方，区分奇偶次符号 同分母加减 ± 多项式分子整体加括号 异分母加减 ±= 先通分，再合并分子 知识点 7 高频易错点 1.分式除法忘记颠倒除式直接分子分母相除，运算规则完全错误； 2.分子为多项式做减法时不加括号，去括号后符号全部出错； 3.乘除混合运算不先因式分解，无法约分，计算量大且结果不是最简； 4.分式乘方只给分子乘方、忽略分母乘方，或负号幂次判断错误； 5.异分母加减直接分子、分母分别相加减，跳过通分步骤； 6.混合运算不遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 顺序，随意计算； 7.计算完成后不检查约分，结果保留可化简的公因式，不是最简分式； 8.整式与分式运算时，错误把整式直接和分子合并，忘记通分； 9.约分、乘除过程中忽略分母不能为 0 的隐含取值条件。 题型1.分式的乘法 【典例】化简的结果是_______________． 【答案】 【详解】解：原式． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【跟踪专练2】一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘法，解题的关键是掌握相关知识．先表示出顺流航速，即可得出逆流航速，从而得出逆流航行的千米数． 【详解】解：一艘轮船顺流航行用了， 顺流航速是， 逆流航速是顺流航速的， 逆流航速是， 这艘轮船逆流航行可以走， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列分式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘除法运算法则对每个选项逐个计算即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 题型2.分式的除法 【典例】化简：__________． 【答案】x 【详解】解： 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【跟踪专练2】化简：__________． 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果. 【详解】解： ． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， 故选：B． 题型3.分式的乘除混合运算 【典例】____． 【答案】 【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 故选A． 【跟踪专练2】．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 题型4分式乘方. 【典例】计算：_________． 【答案】． 【分析】原式分子分母分别平分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练3】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，约分．先计算分式的乘方，再约分即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 【跟踪专练2】___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的整数次幂的运算，根据指数运算法则，分别计算各部分的幂，再将除法转化为乘法并简化． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：． 【跟踪专练3】的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 题型6.同分母分式加减法 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简分式的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用同分母分式减法法则：分母不变，分子相减计算，再通过因式分解约分得到结果. 【详解】解：原式 . 【跟踪专练2】师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据工作效率等于工作总量除以工作时间，分别求出师傅与徒弟每天加工工艺品的个数，再作差化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，徒弟每天加工工艺品的个数为 ，师傅加工个工艺品所用时间为天， ∴师傅每天加工工艺品的个数为， ∴ 师傅比徒弟每天多加工的个数为 ． 【跟踪专练3】已知代数式则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，通过计算的结果，根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 即． 题型7.异分母分式加减法 【典例】计算：________． 【答案】1 【分析】观察两个分式分母与互为相反数，先统一分母，再利用同分母分式加减法法则计算，最后约分得到最简结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【跟踪专练2】照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的等式变形，掌握分式通分运算法则和等式变形方法即可求解，将原式移项整理得到对应表达式，对比选项得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 对右边通分得， 两边取倒数得，与选项C一致． 【跟踪专练3】学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】按照异分母分式加减的步骤进行选择即可． 【详解】解：， 由计算知，正确的路径：是先通分，化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减进行，最后得到结果，即经过②③完成计算． 题型8.整式与分式相加减 【典例】计算：＝_____． 【答案】/ 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果． 【详解】解：原式＝﹣ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式与分式的加减运算，如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式的分母看成1，先通分，再进行加减运算． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 【跟踪专练2】计算：的结果是________． 【答案】． 【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案． 【详解】解： = = = 故答案为． 【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练3】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【详解】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 题型9.分式恒等式确定分子或分母 【典例】已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 【跟踪专练2】把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 【答案】2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练3】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 题型10.分式加减混合运算 【典例】填空： _________ （填“>”、“=”、“<”）． 【答案】> 【分析】根据题意有：x+10，即有，，由，可得，即问题随之得解． 【详解】解：根据题意有：x+10， ∴， 即： ， ∵， ∴， 即， ∴>， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质以及分式混合运算，掌握分式的混合运算，并得到是解答本题的关键． 【跟踪专练1】已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 【跟踪专练2】若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先利用“裂项法”对已知分式变形化简，再分别将n取3，4，5和6代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， ∴当n=3时，， 当n=4时，， 当n=5时，， 当n=6时，， 显然，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 题型11.分式加减的实际应用 【典例】某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水______吨．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，分式的运算．用原来每天用水量减去现在每天用水量即可． 【详解】解：（吨， 现在比原来每天节约用水吨； 故答案为：． 【跟踪专练1】商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减法及比较分式值的大小，准确计算是正确解决本题的关键． 根据单价总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解∶甲糖单价为∶ (元/)， 乙糖单价为∶ (元)； ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ． 甲糖的单价较高． 故选：A． 【跟踪专练2】有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 【答案】米 【详解】解：电线粗细均匀，米长电线的质量为，其余电线的总质量为， 其余电线的长度为米， 这捆电线的总长度为米． 【跟踪专练3】甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 题型12.分式加减乘除混合运算 【典例】计算：______． 【答案】/ 【详解】解： 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 【答案】 【分析】根据路程，速度，时间的关系，时间等于路程除以速度，分别计算货车从A地到B地，从B地到A地的行驶时间，再将两个时间作差，化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，货车从A地驶向B地的时间为：， 货车从B地驶向A地的时间为：， ∴时间差为． 【跟踪专练3】化简：____________． 【答案】 【详解】解：． 题型13.分式化简求值 【典例】已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值等于______________． 【答案】 【分析】由已知可得，，将转化为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】若，则分式的值为_________． 【答案】 【分析】将已知等式变形为，代入分式约分即可求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，且，若，原分式分母为0，无意义， 将代入得：． 【跟踪专练3】若，，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2025 C．2022 D．2030 【答案】C 【分析】先将所求代数式中的分式通分变形，再把已知的和的值整体代入计算即可． 【详解】解： ． 题型14.分式最值 【典例】分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 【跟踪专练2】若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【答案】A 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 【跟踪专练3】已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3．分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化为乘法，再进行约分化简即可； （2）将第二项用平方差公式展开然后进行通分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5． 先化简，再求值： ，其中． 【答案】，2 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 6．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 7．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【答案】(1) (2)解：①，； ② ． ，， ， ， ∴食堂采购员、的采购方式中，采购员的方式平均单价更低． 【分析】（1）作差法比较大小即可； （2）①用总价除以数量，求出平均单价即可；②作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：①根据题意，食堂采购员两次采购大米的平均单价为； 食堂采购员两次采购大米的平均单价为． ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $