专题08 整式的乘法 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题08 整式的乘法 暑假预习讲义 ✺知识框架 同底数幂的除法：运算法则、公式推导、零指数幂规定 单项式除以单项式：法则、运算步骤、书写规范 多项式除以单项式：法则、分配律逆用、化简规则 单项式乘单项式：法则、运算步骤、求值化简 单项式乘多项式：法则、分配律正用、去括号化简 多项式乘多项式：法则、展开规则、同类项合并 科学记数法的除法：运算公式、分步计算、标准化化简 ✺学习目标 基础知识 理解同底数幂除法的推导逻辑，掌握零指数幂的数学规定，明确公式适用条件与限制范围。 熟记单项式、多项式乘除的完整运算法则，理解整式乘除的运算本质，理清课本递进式知识逻辑。 掌握科学记数法除法的运算规律与标准化书写要求，构建完整的整式乘除知识体系。 能力提升 能规范完成同底数幂除法、整式乘除的基础运算与最简化简。 能独立计算科学记数法除法，并严格按照规范整理标准结果。 能精准规避符号错误、漏项、指数混淆、格式不规范等常见问题。 ✺题型归纳 题型1.计算单项式乘单项式 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.计算单项式乘多项式及求值 题型4.单项式乘多项式的应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.计算多项式乘多项式 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型9.多项式乘多项式——化简求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.同底数幂的除法运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.零指数幂计算 题型16.计算单项式除以单项式 题型17.用科学记数法表示数的除法 题型18.多项式除以单项式 题型19.整式四则混合运算 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.公式：am ÷ = （a≠0，m、n为正整数，且m>n） 3.推导依据：基于乘方定义与除法意义，相同底数的幂作除法运算，底数保持恒定，结果指数为被除数与除数的指数差。 4.公式逆用：=am ÷ ，（a≠0，m、n为正整数，且m>n）常用于代数式求值 5.零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，即 a0=1(a≠0)。 例如：=1，（-2）0=1. 注意事项：0 不能作底数、不能作除数，无意义 知识点二：单项式除以单项式 1.法则：单项式相除，将系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同其指数作为商的因式。 2.运算步骤 （1）系数相除：对系数作有理数除法，确定商的数值与符号； （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减，规范计算幂的结果； （3）保留独有字母：不遗漏被除式单独含有的字母因式。 3.运算结论：单项式除以单项式的结果仍为单项式。 注意事项：除式恒不为0，严格区分被除式与除式，杜绝指数、符号运算失误。 知识点三：多项式除以单项式 1.法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。 2.运算本质：乘法分配律的逆向应用。 3.公式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c(m≠0) 4.运算步骤 （1）分项运算：多项式每一项均参与除法运算，不重不漏； （2）逐项化简：按照单项式除法法则计算，规范处理符号与指数； （3）合并整理：汇总所有商式，合并同类项，化为最简整式。 注意事项：除式不为0，严禁遗漏多项式常数项、低次项，严格把控符号变化。 只能多项式除以单项式，单项式除以多项式不能分项计算。 知识点四：单项式乘单项式 1.法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.运算步骤 （1）系数相乘：计算系数乘积，确定结果符号与数值； （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； （3）保留独有字母：完整保留单个单项式独有的字母因式。 3.运算结论：单项式相乘结果仍为单项式。 知识点五：单项式乘多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再将所得积相加。 2.运算本质：乘法分配律在整式乘法中的正向应用。 3.公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 4.运算步骤 （1）逐项分配：单项式遍乘多项式所有项，无漏项； （2）逐项展开：依据单项式乘法法则运算，重点注意负号变号规则； （3）化简整理：展开后合并同类项，得到最简整式。 注意事项：多项式各项自带符号，负系数单项式相乘时，各项符号需同步变更。 知识点六：多项式乘多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加。 2.公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 3.运算步骤 （1）交叉遍乘：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏； （2）完整展开：准确书写每一项乘积，判定正负符号； （3）最终化简：合并全部同类项，将结果化为最简。 注意事项：杜绝漏乘、少项问题，严格遵循有理数符号运算规则。 知识点七：科学记数法表示数的除法 1.运算原理：将科学记数法表示的数拆分为系数与10的幂次两部分，分别依据有理数除法、同底数幂除法法则，最后统一整理为标准科学记数法形式。 2.通用公式：若1≤|M|<10，1≤|N|<10，N≠0，则(M×10m)÷(N×10n)=(M÷N)×10m-n。 3.标准步骤 （1）分组拆分：分离系数部分与10的幂次部分； （2）系数运算：计算系数除法，得到新系数； （3）幂次运算：同底数幂相除，指数相减； （4）标准化修正：调整系数数值，使结果满足1≤|k|<10的科学记数法规范。 注意事项：除式不为0，运算结果必须标准化，符合科学记数法书写格式。 知识点八：整式乘除混合运算规则 优先级：先乘方（幂运算）、再乘除，最后加减； 括号优先：式子含有括号时，优先计算括号内部式子； 同级规则：同级乘除运算，按照从左至右的顺序依次计算； 化简要求：最终运算结果必须合并同类项，化为最简整式形式。 ✺题型精讲 题型1.计算单项式乘单项式 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．计算：__________ 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A．B．C． D． 2．若，则________． 3．若 ，则求的值． 题型3.计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为___________． 3．计算：． 题型4.单项式乘多项式的应用 1．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．计算：__________． 3．已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 2．要使成立，则__________，__________． 3．已知的展开式中不含项，求的值． 题型6.计算多项式乘多项式 1．已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 2．化简：________． 3．在计算 时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值； (2)计算 的正确结果． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，那么的值___________． 3．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 2．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 3．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 题型9.多项式乘多项式——化简求值 1．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则____________________． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 1．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 3．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 2．观察下列各式及其展开式 ； ； ； … 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 3．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 题型12.整式乘法混合运算 1．如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 3．计算： (1) (2) 题型13.同底数幂的除法运算 1．下列各式运算正确的是（     ） A．B． C． D． 2．计算________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型14.同底数幂除法的逆用 1．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为___________． 3．已知，，求的值． 题型15.零指数幂计算 1．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 2．______． 3．计算：． 题型16.计算单项式除以单项式 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型17.用科学记数法表示数的除法 1．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 2．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 3．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 题型18.多项式除以单项式 1．某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是__________． 3．某市有一块形状为三角形的广场，已知这块广场的面积为平方米，底边为米． (1)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面积为平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 题型19.整式四则混合运算 1．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 2．化简：______． 3．化简求值：，其中，． ✺巩固测试 一、单选题 1．在下列各式中，正确的是（     ） A． B．C．D． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 5．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 二、填空题 6．计算：_________． 7．若，，则=__________． 8．若，， _________． 9．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 10．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．计算：． 13．先化简，再求值，其中． 14．小雅同学计算一道整式除法： ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)直接写出a、b的值：_____，______． (2)请写出这道除法计算的过程和正确结果． 15．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式的乘法 暑假预习讲义 ✺知识框架 同底数幂的除法：运算法则、公式推导、零指数幂规定 单项式除以单项式：法则、运算步骤、书写规范 多项式除以单项式：法则、分配律逆用、化简规则 单项式乘单项式：法则、运算步骤、求值化简 单项式乘多项式：法则、分配律正用、去括号化简 多项式乘多项式：法则、展开规则、同类项合并 科学记数法的除法：运算公式、分步计算、标准化化简 ✺学习目标 基础知识 理解同底数幂除法的推导逻辑，掌握零指数幂的数学规定，明确公式适用条件与限制范围。 熟记单项式、多项式乘除的完整运算法则，理解整式乘除的运算本质，理清课本递进式知识逻辑。 掌握科学记数法除法的运算规律与标准化书写要求，构建完整的整式乘除知识体系。 能力提升 能规范完成同底数幂除法、整式乘除的基础运算与最简化简。 能独立计算科学记数法除法，并严格按照规范整理标准结果。 能精准规避符号错误、漏项、指数混淆、格式不规范等常见问题。 ✺题型归纳 题型1.计算单项式乘单项式 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.计算单项式乘多项式及求值 题型4.单项式乘多项式的应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.计算多项式乘多项式 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型9.多项式乘多项式——化简求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.同底数幂的除法运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.零指数幂计算 题型16.计算单项式除以单项式 题型17.用科学记数法表示数的除法 题型18.多项式除以单项式 题型19.整式四则混合运算 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.公式：am ÷ = （a≠0，m、n为正整数，且m>n） 3.推导依据：基于乘方定义与除法意义，相同底数的幂作除法运算，底数保持恒定，结果指数为被除数与除数的指数差。 4.公式逆用：=am ÷ ，（a≠0，m、n为正整数，且m>n）常用于代数式求值 5.零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，即 a0=1(a≠0)。 例如：=1，（-2）0=1. 注意事项：0 不能作底数、不能作除数，无意义 知识点二：单项式除以单项式 1.法则：单项式相除，将系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同其指数作为商的因式。 2.运算步骤 （1）系数相除：对系数作有理数除法，确定商的数值与符号； （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减，规范计算幂的结果； （3）保留独有字母：不遗漏被除式单独含有的字母因式。 3.运算结论：单项式除以单项式的结果仍为单项式。 注意事项：除式恒不为0，严格区分被除式与除式，杜绝指数、符号运算失误。 知识点三：多项式除以单项式 1.法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。 2.运算本质：乘法分配律的逆向应用。 3.公式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c(m≠0) 4.运算步骤 （1）分项运算：多项式每一项均参与除法运算，不重不漏； （2）逐项化简：按照单项式除法法则计算，规范处理符号与指数； （3）合并整理：汇总所有商式，合并同类项，化为最简整式。 注意事项：除式不为0，严禁遗漏多项式常数项、低次项，严格把控符号变化。 只能多项式除以单项式，单项式除以多项式不能分项计算。 知识点四：单项式乘单项式 1.法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.运算步骤 （1）系数相乘：计算系数乘积，确定结果符号与数值； （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； （3）保留独有字母：完整保留单个单项式独有的字母因式。 3.运算结论：单项式相乘结果仍为单项式。 知识点五：单项式乘多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再将所得积相加。 2.运算本质：乘法分配律在整式乘法中的正向应用。 3.公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 4.运算步骤 （1）逐项分配：单项式遍乘多项式所有项，无漏项； （2）逐项展开：依据单项式乘法法则运算，重点注意负号变号规则； （3）化简整理：展开后合并同类项，得到最简整式。 注意事项：多项式各项自带符号，负系数单项式相乘时，各项符号需同步变更。 知识点六：多项式乘多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加。 2.公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 3.运算步骤 （1）交叉遍乘：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏； （2）完整展开：准确书写每一项乘积，判定正负符号； （3）最终化简：合并全部同类项，将结果化为最简。 注意事项：杜绝漏乘、少项问题，严格遵循有理数符号运算规则。 知识点七：科学记数法表示数的除法 1.运算原理：将科学记数法表示的数拆分为系数与10的幂次两部分，分别依据有理数除法、同底数幂除法法则，最后统一整理为标准科学记数法形式。 2.通用公式：若1≤|M|<10，1≤|N|<10，N≠0，则(M×10m)÷(N×10n)=(M÷N)×10m-n。 3.标准步骤 （1）分组拆分：分离系数部分与10的幂次部分； （2）系数运算：计算系数除法，得到新系数； （3）幂次运算：同底数幂相除，指数相减； （4）标准化修正：调整系数数值，使结果满足1≤|k|<10的科学记数法规范。 注意事项：除式不为0，运算结果必须标准化，符合科学记数法书写格式。 知识点八：整式乘除混合运算规则 优先级：先乘方（幂运算）、再乘除，最后加减； 括号优先：式子含有括号时，优先计算括号内部式子； 同级规则：同级乘除运算，按照从左至右的顺序依次计算； 化简要求：最终运算结果必须合并同类项，化为最简整式形式。 ✺题型精讲 题型1.计算单项式乘单项式 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算：__________ 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查单项式乘单项式的计算，用到积的乘方法则和同底数幂的乘法法则，有乘方时先算乘方，再计算单项式乘法，将系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，连同指数作为积的因式，同时注意计算结果的符号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 2．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可得到结果. 【详解】解： . 2．已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】将所给的等式变形成，再代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：． 题型4.单项式乘多项式的应用 1．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，，则，再计算图中阴影部分面积的和，代入计算即可． 【详解】解：由题意，设正方形和正方形的边长分别为，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积的和为 ． 2．计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 3．已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 【答案】周长为，面积为 【分析】先求解长方形的宽，再求解长方形的周长与面积即可． 【详解】解：由题意可得： 这个长方形的宽为， 长方形的周长为， 长方形的面积为． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 2．要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 3．已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 题型6.计算多项式乘多项式 1．已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 2．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 3．在计算 时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值； (2)计算 的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式求出，再对小泉和小张看错值而得到的结果进行比较即可求解； （2）将（1）求出的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ∵小泉看错了值，二次项系数与无关，即二次项系数正确， ∵结果为， ∴，解得：， ∵小张看错了值，常数项与无关，即常数项正确 ∵结果为， ∴； （2）∵由（1）得，， ∴ ． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项系数，即可得到和的值． 【详解】解： ，． 2．已知，那么的值___________． 【答案】1 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 与 的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， 可得， 则． 3．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 2．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【答案】 【分析】将展开，再根据题意可得，即可解答． 【详解】解： 的乘积不含二次项， ，解得． 3．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 则 ， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 题型9.多项式乘多项式——化简求值 1．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 2．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】先将所求多项式展开整理，变形为含有和的式子，再整体代入已知条件求值即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 1．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 3．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）种菜面积正方形面积长方形蓄水池面积； （2）将米，米代入（1）中化简的式子，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 种菜（阴影）部分的面积 （平方米）； （2）解：当米，米时， 种菜（阴影）部分的面积为 （平方米）． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 2．观察下列各式及其展开式 ； ； ； … 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 【答案】 【分析】由题意得的展开式中含项的系数是，再结合的展开式的特点，即可求解． 【详解】解：的展开式中含项的是， 的展开式中含项的是， 的展开式中含项的是， 的展开式中含项的是， ∴的展开式中含项的是， ∴的展开式中含项的是， ∴的展开式中含项的系数是． 3．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （2）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （3）利用（2）中的规律进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ； ； … ∴； （3）解： ． 题型12.整式乘法混合运算 1．如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 2．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型13.同底数幂的除法运算 1．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 选项D： 等式成立，故D选项正确． 2．计算________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据同底数幂的除法的运算法则，依次进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式． 题型14.同底数幂除法的逆用 1．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则将待求式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用同底数幂除法的逆用计算即可． 【详解】解：． 3．已知，，求的值． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型15.零指数幂计算 1．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：． 2．______． 【答案】0 【详解】解：． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型16.计算单项式除以单项式 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．计算：________． 【答案】 【分析】运用单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行计算即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）； （3）； （4） 题型17.用科学记数法表示数的除法 1．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 2．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 题型18.多项式除以单项式 1．某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴新的电路布线规律可以表示为． 2．计算的结果是__________． 【答案】/ 【详解】解：． 3．某市有一块形状为三角形的广场，已知这块广场的面积为平方米，底边为米． (1)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面积为平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用三角形面积公式即可解答； （2）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：因为三角形广场的面积为平方米，底边为米， 所以这块三角形广场底边上的高为米． （2）解：因为扩建后的广场的面积为平方米，底边不变， 所以扩建后的广场底边上的高为：米． 题型19.整式四则混合运算 1．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 2．化简：______． 【答案】 【详解】解： ． 3．化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时 原式． ✺巩固测试 一、单选题 1．在下列各式中，正确的是（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【详解】解：选项A，，故A错误． 选项B，，故B正确． 选项C，，故C错误； 选项D，与不是同类项，无法进行合并，故D错误． 故选B． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，运用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，再计算结果即可，注意符号运算． 【详解】解： 3．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 4．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出的展开结果即可得到m、n，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：根据多项式乘多项式的计算法则可得：， 又， ∴， ∴， ∴． 5．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 二、填空题 6．计算：_________． 【答案】 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 7．若，，则=__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，利用同底数幂除法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可，用到的知识点是同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：已知， ∴ 8．若，， _________． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算：． 【答案】 【分析】分别运用有理数乘方、零指数幂、绝对值的运算法则逐项化简，再进行加减运算． 【详解】解：． 13．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【详解】解：原式                                                                                                                                               当时，原式 14．小雅同学计算一道整式除法： ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)直接写出a、b的值：_____，______． (2)请写出这道除法计算的过程和正确结果． 【答案】(1)6， (2) 由题意，得. 【分析】本题主要考查整式的乘除法运算，按照整式的乘除运算法则计算即可． （1）根据乘法运算得，再根据结果为 由对应系数相等，建立等式求解，即可解题； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴，， 解得，； 故答案为：； （2）略 15．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【答案】(1)，，； (2)， 【分析】（1）根据等面积问题即可得出答案； （2）设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，仿照（1）作答即可． 【详解】（1）解：当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是即，从而可得； （2）解：设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为， 拼图略， ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，，满足的等量关系是即，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时，解得，即该长方形变成边长为9的正方形，即时，； 综上分析，长、宽分别为、的长方形的最大面积是， 即代数式的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $