1.4.2 充要条件-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

「拓展] (3)法一：由x>1Px>2,所以p不是q的： 2)B因为2x一3|<2，所以)9 1.n-4n 3 [因为(CA)i 充分条件 2 法二：设集合A={xx>1},B={xx>1 心B=B,所以(CA)二B,所以 2},所以B二A,所以p不是q的充分条件. x<2 5 /2m+1<n+7 对点训练 12n十1一2，解得一4n 3 则{号<<5x0<<31, 2， 1.A [b=0时，直线y=kx过原点，故！ 2 (n十7≥3 选A ∴.0x<3”是“2-3<2”的必要不充 故实数n的取值范围为 2.CD[从集合观点看，求0<x3成立的 分条件.」 一个充分条件，就是从A、B、C,D中选出集对点训练 合{x0x<3}的子集.由于(x0<x≤21.B [由A∩B=A∩C,不一定有B=C,反 2.{mn-9或n≥1} [当B=1 ，由B=C,一定可得A∩B=A∩C. 时，m ≥6 ∈{x0x<3},{x1<x2}三{x0 “A门B=A∩C”是“B=C”的必要不充分 当B≠时m<6,且十≤二2或2m[典例2订解)因为矩形的对角线相等，2.AD对于结论A,由<一821一2？士 r3},故选C、D.] 条件， 十1≥3，解得n-9或1≤n<6. 故实数m的取值范固为{nn≤一9或！ 所以9是力的必要条件， (2)因为p→g,所以g是p的必要条件. >4,但x2>4→<-2或x>2>x3<-8或 n≥1 x3>8,不一定有x3<一8，故A正确：对于结 点训练 (3)因为户q,所以q不是p的必要条件 论B,由AB+AC=BC→△ABC为直角三 (1)当m=1时，B-{x1x<4}, 对点训练 UB=(r-1<x<4). 1.A[只有x>1→x0,其他选项均不可由 角形，但在直角△APC中，不一定角A是直 (2)bRA={xx-1或x>3}, 1x>1推出.] 角，故B不正确：对于结论C,a2十=0→a 当B-☑，即n≥1十3n时， :2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边： b=0,故C不正确：对于结论D,由十≠0 →a,b不全为0，反之，由a,b不全为0>a2十 得m一 之，满足BECRA; 相等的四边形不一定是正方形，所以“四边 ≠0，故D正确.] 当B≠⑦，要使B二CRA成立， 形的四条边相等”是”四边形是正方形”的典例2] 必要条件.门 证明先证必要性： 即{m3支m十3m 3.充分必要[因为p→g,所以p是g的充 .a+b=1,∴.b=1-a 11+3n-1 n>3, 分条件，9是p的必要条件. a+b+ab-a-b 解得m≥3， 综上所述，实数m的取值范围是 :典例3]解因为“x∈P”是“x∈Q”的必要 =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 条件，所以Q二P, =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1十 {nm>3或m≤-号} 2 ! 所以{即{a≤5 2 2=0. a十4≥3， 1a≥-1， 再证充分性：，a3十b3十ab-a一b2=0, 素养演练·提升技能 所以-1a5. .(a+b)(a -ab+b)-(a2-ab+) 1.BD[由CA={xx<1或3<x4或 x≥6}知选项A错误；由A∩(CB)={x 即a的取值范圆为「一1,5 =0. :对点训练 即(a2-ab+)(a十b-1)=0, 1x3或4x6}∩{xx<2或x≥5} 2或5x<6}知选项B正确： 1.解p:3a<xa,即集合A={x3a<r<a} ab0，c-ab+=a-) +3 由(C,A)UB={xx1或3<x4或！ q:一2x3,即集合B={x一2x3}. A x≥6}U{x2x5}={xx1或21 因为p→q,所以A二B, >0, ,∴.a十b-1=0,即ab=1 x<5或x≥6}知选项C错误；由Cu(CuB) 3a≥-2， 所以a≤3， 2 ≤a<0, 综上所述，a十b一1的充要条件是 3 2.B[由(CRM)口(CN)可得M二N,又！ (a0, a3+b+ab-a2-=0. 2 对点训练 N={xx十k≥0}={xx≥一k},.一k 所以a的取值范图是{a 证明必要性：由于方程ax十bx十c-0(a≠0) 一1.解得k≥1，则k的取值范图为{kk≥ -号<a<0} 有一正实根和一负实根， 1} 12.解令A={xx>2或x<-1}. 3.D [CB=(xx<2或x≥5}，A∩ 由4x+p<0,得B={x<-个} .△=-4ac>0,且x1x2= C<0, (CB)={x1<x<2}. ∴ac0. 4.A[如图，因为N∩(CM)=0, 当B二A时，即一 卫≤-1，即p≥4， 充分性：由ac<0可推出△=b-4ac>0及 4 此时<-力≤-1>x>2或<-1， x1xg= -0 N 名 ∴.方程ax2十bx十c=0(a≠0)有一正一负 .当p≥4时，4x十p<0是x>2或x<-1 两实根 所以N二M,所以MUV=M. 的充分条件 [典例3]解设p代表的集合为A={x一2 5.2 2 2 设全集U {某班26名同：素养演练·提升技能 x10},q代表的集合为B={x1一n 学}，集合A=(数学取得优秀的同学}，集1.B[因为p是q的充分条件，所以p>q,所 x1十n}, 合B={英语取得优秀的同学} 以9是力的必要条件.] 因为p是q的必要不充分条件，所以B军A, 设任意集合X中的元素个数为card(X)2.A[返回家乡→攻破接兰，故选A.] 则card(U)=26,card(AnB)=8,card[A∩：3.C当x<0或x>4时，一定有x<0或x 故有二m≥2或二m之2，解得 1+m10 1十n≤10， (CuB)]=12,card[B(CA)]=4. >2.」 n3. 数学取得优秀的有card(A)=card(AnB)4.aa≤1}[因为x>1→x>a,所以： 又m>0,所以实数m的取值范围为{m0 +card A∩(CB)]=8+12=20(人). n3}. 英语取得优秀的有card(B)=card(AnB)5.必要 a1.」 汇拓展] +card_B∩(CA)]=8+4=12(人) :1.解设p代表的集合为A,q代表的集合 两科均未取得优秀的有card(Cu(AUB)川 1.4.2充要条件 为B, card(U)-(card(A∩B)十card[A:必备知识·自主梳理 因为p是q的充分不必要条件，所以A三B. (CB)]+card[B(CA)])=26-(8+ (1)p之g p台g充要 (2)充要 所以{二m≤，2，或二m2,解不等 12+4)=2(人).] 1+m>10 {1十n≥10. :「即学即练 式组得m>9或n≥9，所以m≥9， 1.4.1充分条件与必要条件 :1.A[设A={x1≤x<2},B={xx≤2} 即实数m的取值范国是{mn≥9} 必备知识·自主梳理 A至B.故“1x<2”是“x≤2”的充分不必1 2.解若p是q的充要条件，则了 2=1-m 必要充分必要 要条件. 10-1+7, 「即学即练] :2.充要[当x>1时，x十2>3当x十2>3时， 此方程组无解，所以n不存在.故不存在实 1.(1)(2)→[(1)命题“若x2>1,则x> x>1,所以“x>1”是“x十2>3”的充要条件.} 数m,使得p是q的充要条件 1”是假命题，故x2>1x>1. 3.充分不必要 [若△ABC是锐角三角形，则对点训练 (2)命题“若a,b都是偶数，则a十b是偶数"1 其三个角都是锐角：若∠ABC为锐角，则， 解 设A= 是真命题，故a,b都是偶数>《十b是： △ABC可能是锐角三角形，也可能是直角 工≤x≤1 偶数， 或纯角三角形，所以是充分不必要条件，] B=x ax a+1}, 2.提示：不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分！关键能力·合作探究 由p是q的充分不必要条件，可知A至B, 条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<:[典例1] (1)解①在△ABC中，显然有： 3”等 ∠A>∠B台BCAC 关键能力·合作探究 a+1>1a+1≥1， 所以D是q的充要条件 典例1]解(1)在△ABC中，由大角对大 边知，∠B>∠C→ACAB,所以p是q的： ②若a2十b=0,则a=b=0,即p→q: 解得0≤a≤2， 充分条件 若a=b=0,则a十b=0,即g→p, 故所求实数a的取值范周是 (2)由x=1→(x-1)(x-2)=0, 故台q 1 故p是q的充分条件 所以p是q的充要条件 257 素养演练·提升技能 2.解 令y=x2十4x-1,x≥1，则y=(x+1 a-4xa十5}， 1.AB 易知card(AUB)=card(A) 2)2 5≥(1+2)2 -5=4,因为Hx≥1，不！ card(B) card(A∩B).A∩B 也就 是 ∫a 等式x2十4x -1>m恒成立，所以只要m< 4≤一3解得-3≤a≤1， 1a十5≥2， 集合A与集合B没有公共元素，A 是真命 4即可.所以所求m的取值范周是{nn 即实数a的取值范周是{a一3a1}. 题：A二B,也就是集合A中的元素 都是 :素养演练·提升技能 合B中的元素B是真命题：A华B, 对点训练 [将“]”改写成“”，“>”改写为“” A中至少有 个元素不是集合B 的 解 命题“3x∈R,x2 即可，故选C.门 元素，因此A中的元素的个数有可能多 命题， B中的元素的个数，C 是假命题；A 4r十a=0”为真2.D将”改写为“3”3”改写为“ 再否定结论可得命题的否定为“]x∈R, 就是集合A中的元素与集合B中的元素完 ∴.方程x2一4x十a=0存在实数根， 则△=（一4）2 4a≥0，解得a4. Hn∈N”,使得nx2”.故选D.] 全相同，但两个集合中的元素个数相同，并 来养餐整：提野接酯四是0 3.C 不意味着它们的元素相同，D是假命题. 14.D「若命题力：/x∈{x1x2},x2一a 2.C a+a2b-a2 一a方+0+力=a“（a十b) ,1.D「①真命题，如当x=一1时，x0:②真 ≥0为真命题，则ax2在x∈{x1x a(a+b)+(a+b)=(a+b)(a2 -a+1). 命题，1既不是合数，也不是素数：③真命 +1= 2}时恒成立，a1 因为对任意的a∈R,a a 题，如x=,x2=√5为无理数，故远D.] 若命题q:3x∈R,x2+2ax+4=0为真命 (a-)+>0, 2.A [对于p,由于是存在量词命题，当x一1 题，则△=(2a)2一16≥0，解得a一2或 a≥2.，命题一p和命题g都是真命题， 所以a3十a2b-a2 时，x一x十1=1≥0成立，故p是真命题；i -ab-a-b= 对于g,(-2)2<(-3)2,但一2<一3不成 解得a≥2.] 立，故q是假命题. 1a一2或a≥2， 因此：“a士b-0”是"a3+a6-a2-ab十a十3.C'[B,D是存在量词命题，故应排除；对于5.{aa≥1} [由题意得，p:一3x1 b=0”的充要条件.] 3.C[由已知，p:{x-2x≤10}，由p是q A,二次函数y=ax2+bx十c(a<0)的图象 g:xa.因为一g的一个充分不必要条件 的充要条件得{x 开口向下，也应排除，故远C 是一p,所以{x 一3x1}年{xx≤a}, -2x≤10} m≤x≤4+m,m>0},因此4.A ,p是假命题，.方程x2十4x十a=0i 所以a≥1.故答案为{aa≥1}.」 ,2,解得m=6.] 没有实数根，即△=16-4a0,.a>4] 5.aa3 24+m=10, 4,B若“xa-1或x>a+1”是“r>2或x 对于任意3，工4恒成立，题型 章末综合提升 即大于3的数恒大于a,所以a3.门 1”的必要不充分条件，则 「.'a∈A,b∈A,x=a十b 1.5.2 全称量词命题和存在 所以x=2,3,4,5,6,8,.B中有6个 {81,且等号不同时成主，即0 量词命题的否定 元素 必备知识·自主梳理 2. 易知A={1,2},又AUB={0,1,2}, a1. 5.m=-2[函数y=x2+mx+1的图象关3x∈M,7(x)Hx∈M,p(x) 存在 所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0， 量词命题 全称量词命题 .2. 于直线工=1对称，则-公=1，即m=一2即学即练 3.3或 L当n+2=5时，m=3,M={1,5, 反的当”2时，则函数y2+mx+ 写量词，否定结论，变为存在量词 13},符合题意： 命题. 当n2十4=5时，n=1或n=一1. 1的图象关于直线x一1对称，] 2.A 存在量词命题的否定是全称量词！ 若m=1,M={1,3,5},符合题意；若m 1.5.1 全称量词与存在量词 命题. 一1，则m十2=1，不满足元素的互异性，故 必备知识·自主梳理 :3.所有的三角形都不是直角三角形 命题： m=3或1.] x∈M,p(x) “有的三角形是直角三角形”是存在量词命14.5[当x=0,y=0时，x一y=0:当x=0,y=1 1.H 全称量词 2.3 存在量词 3x∈M,p(x) 题，其否定是全称量词命题，即所有的三角 时，x一v= 1:当x=0,y=2时，x一v= -21 即学即练] 形都不是直角三角形.门 当x=1,y=0时，x-y-1;当x=1,y=1时， 1. 「命题①Q含有全称量词，命题③可以：关键能力·合作探究 -v=0:当x=1,y=2时，x一y 1:当x= 叙述为“任意一个三角形的内角和都是：典例 解(1)存在一个能被2整除的整， 2,y=0时，x一y=2:当x=2,y=1时，x一y 180”,故三个都是全称量词命题.门 数不是偶数： 1:当x一2，y一2时，x一y=0.根据集合中元 (2)存在一个三角形，它的三个顶，点不在同 2.①②③ ④ 素的互异性知，B中元素有0， 1, -2,1,2, 一个圆上 关能舅容探哭 5个，」 (3)存在实数x不是方程5.x-12-0的根，：题型 [典例的，解可以改写为“所有的凸多对点训练 1.D「因为P={xx>4},则CRP={xx 1.C「厂根据全称量词命题的否定是存在量词 边形的外角和等于360°”，故为全称量词 4},所以Q三(CRP).] 命题 命题，所以“Hx∈R,x x+1=0”的否定2.D (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词 为“]x∈R,x -x+1≠0”. 「由x2-3x十2=0得x=1或x=2, A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}, 命题 2.C[命题“对任意的x∈R,x3-2x十1≤0” .满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}， (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词 的否定是“存在x∈R,x3一2x十1>0”. {1,2,4},{1,2,3,4}. 命题 [典例2] 解 (1)任意一个梯形的对角线都：3.A「因为全集U-{x0<x<9},A={x1 对点训练 不互相平分，命题的否定为真命题， <xa},若非空集合A二U,则只需 解(1)全称量词命题.表示为Hn∈N, (2)对任意k∈R,函数y kx十b不随x值 712≥0. 的增大而减小，命题的否定为假命题， al即1<a≤9.] a9, (2)存在量词命题，月一次函数，它的图象： (3)命题的否定是“Hx,y∈Z,W√2x十y≠ 过原，点 3”.当x=0,y=3时，W2x+y=3,因此命 4.aa<-2,或2≤a<1}[因为a<1,所 (3)全称量词命题.H二次函数，它的图象！ 的否定是假命题 以2aa十1，所以B≠⑦.画数轴如图 的开口都向上 点训练 所示 「典例21 解(1)是全称量词命题，因为1.B 命题“存在x∈R,使得x2十2x1”为 Hx∈N,2x十1都是奇数，所以该命题是真： 在量词命题，该命题的否定为对任意x∈ 命题 2aa+1-012aa+1d (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使！ R,都有x十2x≥1.] 由BA知，a十1-1或2a≥1 2群 (1)b:/x>1,x”-2x-3≠0.（假） 二1=0成立，所以该命题是假命题 (2)p:所有的素数都不是奇数.（假）. 解之得a<-2或a≥2· 对点训练 (3)一：所有的平行四边形都是矩形. 由已知a<1,所以a<-2或，≤a<1, 解(1)因为一1∈Z,且(-1)3=一1<1， (假) [典例3]解若命题p:]x∈R,x2十2x十 所以“]x∈Z,x3<1”是真命题. 即所求a的取值范周是{aa<一2，或1 (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的 a=0为真命题，则△=22-4a≥0，∴.a≤1. 点的对应关系知，它是真命题， 若命题q:Hx∈ 0≤x≤立}i a<1}. (3)因为0∈N,02=0,所以命题“Hx∈N, !题型三 x2>0”是假命题. 0为真命题，则a≥x,即a≥(x2)mx1.AC 全集U={0,1,2,3,4},A={0, [典例3]解令y=x2十4x1,x∈R,则 .a24 y=(x十2)一5≥-5，因为Hx∈R,不等 式x2十4x-1>m恒成立，所以只要m 的真子集个数为2一1=7，故远A、C,] ∴p,g均为假命题时 1 无解即⑦，2. 「由集合P={x2x4},Q={x1 一5即可.所以所求m的取值范是{nn 4 x<3},可得(CRP)∩Q={xx2或x 其补集为R, 属 4}∩{x1x<3}={x1<x2},故 远C 1.解令y=一x2十4x一1，因为y=一x2十1 p,q至少有一个为真命题时，实数a的取 值范图为R 4x-1=-(x-2)2+3≤3，又因为3x∈对点训练 3.B[由题意，集合M-{x∈Z一1d 2}={x∈Z0x3}={0,1,2,3},N R,-x4x-1>n有解，所以只要n小 解因为一力是假命题，所以力是真命题，， {xx=2k十1，k∈N},所以阴影部分表示 y的最大值即可，所以所求n的取值范！ 又Hx∈{x -3≤x≤2}，都有x∈{xa-4! 图是{mm<3}. ≤x≤a+5},所以{x-3≤x≤2}二{x 的集合为(CN)∩M={0,1,2},有3个 元素。 258第一章集合与常用逻辑用语 1.4.2充要条件 明学习目标 知结构体系 1.理解充要条件的意义. 课标 充分不必要条件 2.会判断一些简单的充要条件问题 要求 3.能对充要条件进行证明. 必要不充分条件 判断 充要条件 应用 重点 重点：充要条件的概念及判断. 难点 难点：充要条件的证明。 既不充分也不必要条件 必备知识·自主梳理 预习新知夺实基础 充要条件 :[即学即练] (1)如果“若p,则g”和它的逆命题“若g,则p”1.“1<x<2”是“x≤2”的 均是真命题，即既有 ,又有 ,就记 A.充分不必要条件 作 ,此时，p既是q的充分条件，也是q B.必要不充分条件 的必要条件，我们说p是g的充分必要条件，简： C.充要条件 称为 条件 D.既不充分也不必要条件 (2)如果力是g的充要条件，那么q也是p的充2.“x>1”是“x十2>3”的 条件 要条件.概括地说，如果p台q,那么p与g互为3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的 条件 条件 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一充要条件的判断 /方法技巧/ [典例1](1)判断下列各题中，p是否为q的充： 判定条件关系：(1)分清楚条件是什么，结论是 要条件？ 什么；(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件 ①在△ABC中，p:∠A>∠B,q:BC>AC; (或举反例)；(3)下结论 ②若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0. 听课记录 对点训练 1.设A,B,C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是 “B=C”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 (2)设x∈R,则“0<x<3”是“|2x一3<2”的 D.既不充分也不必要条件 ):2.（多选)在下列四个结论中，正确的有( A.充分不必要条件 A.x2>4是x3<一8的必要不充分条件 B.必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2十AC2=BC2”是“△ABC C.充要条件 为直角三角形”的充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2=0”是“a,b不全为0” 听课记录 的充要条件 D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0” 的充要条件 题点二充要条件的证明 :[典例2]已知ab≠0，求证：a十b=1的充要条件 是a3+b3+ab-a2-b2=0. 13 数学必修第一册 注：a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab). :[拓展] 听课记录 :1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是 q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m的取值范围. g…/方法技巧/ 1.充要条件的证明思路 2.本例中p,q不变，是否存在实数m使p是q的 一般地，证明“p成立的充要条件为g”; 充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请 (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的 说明理由、 前提条件，推出p; (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的 前提条件，推出q. 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件→ 结论”是证明充分性，由“结论→条件”是证 明必要性， 在以下两种说法中，充分性和必要性分别 /方法技巧/ 是：(1)p是q的充要条件，p→g是充分性， 1.求参数值（范围）的一般步骤 q→p是必要性；(2)A成立的充要条件是 (1)化简：化简集合，明确题于中的充分条件 B:B→A是充分性，A→B是必要性， 和必要条件. (2)转化：根据集合间的包含关系与充分条 对点训练 件和必要条件的关系，将问题转化为集合间 求证：一元二次方程a.x2十bx+c=0(a,b,c是 的关系问题 常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条： (3)列式：利用集合间的关系，建立关于参数 件是ac<0. 的不等式或不等式组.注意等号成立的条件。 (4)获解：解不等式，得参数范围. 2.求参数取值范围的关键点 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求 参数取值范围的关键就是找出集合间的包 含关系，同时注意范围的临界值的取舍 对点训练 题点三利用充分条件、必要条件求参数 设命题p:2≤<1；命题q:a≤r≤a十1，若 [典例3]已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1十 m(m>0),若p是g的必要不充分条件，求实数 p是q的充分不必要条件，求实数a的取值 m的取值范围. 范围 听课记录 14 第一章集合与常用逻辑用语 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).:3.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0}，q:{x|4- 设A,B都为有限集合，则下列命题中是真命题； m≤x≤4十m,m>0},若p是q的充要条件，则 的有 ( 实数m的值是 () A.A∩B=的充要条件是card(AUB)= A.4 B.5 card(A)+card(B) C.6 D.7 B.ACB的必要条件是card(A)≤card(B) :4.已知“x<a-1或x>a+1”是“x>2或x< C.A车B的必要条件是card(A)≤card(B) 一1”的必要不充分条件，则实数a的取值范 D.A=B的充要条件是card(A)=card(B) 围是 () 2.若a,b∈R,则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+ A.{a|0a<2} B.{a0≤a≤1} a十b=0”的 C.{a0<a≤2 D.{a1<a≤2} A.充分不必要条件 5.函数y=x2十m.x十1的图象关于直线x=1对 B.必要不充分条件 称的充要条件是 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 温馨提示 请做课时分层检测（六）》 1.5.1全称量词与存在量词 明学习目标 知结构体系 1.理解全称量词、全称量词命题的意义」 课标 2.理解存在量词、存在量词命题的意义， 要求 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会 全称量词 全称量词 命题 判断它们的真假 真假判断 存在量词 存在量词 命题 重点 重点：全称量词和存在量词的意义。 难点 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.全称量词与全称量词命题 :2.存在量词与存在量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 短语“存在一个”“至少有一个”在逻 定义 定义 通常叫做全称量词 辑中通常叫做存在量词 全称量词 存在量词 符号 符号表示 表示 定义 含有 的命题，叫做全称 含有 的命题，叫做存 定义 量词命题 在量词命题 全称量 一般 对M中任意一个x,p(x)成立（说 存在量 一般 存在M中的元素x,p(x)成立（说 词命题 形式 明：M表示变量x的取值范围) 词命题 形式 明：M表示变量x的取值范围) 符号 符号 表示 表示 15