专题09解直角三角形及其应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题09解直角三角形及其应用暑假预习讲义 ① 熟记定义依据：弄懂解直角三角形含义，牢记三边勾股关系、两锐角互余、边角三角函数三组等量关系；分清两类解题条件：已知两边、已知一边一锐角，牢记解题必须至少给出一条边。 ② 熟练基础计算：能结合特殊角三角函数值，规范求解直角三角形所有未知边长、锐角度数，梳理固定解题步骤，提升运算准确率。 ③ 弄懂专业术语：认识仰角、俯角、方位角、坡度、坡角概念，看懂各类实景示意图，可把生活场景转化为直角三角形几何图形。 ④ 掌握实际应用：学会测量高度、河宽、航海测距等题型解法，会添加垂线作辅助线构造直角三角形，建立数学模型列式求解。 ⑤ 梳理增减规律：依托三角函数增减特点，灵活比较角度、函数值大小，能根据取值范围估算锐角度数。 ⑥ 归纳高频易错：边角对应错乱、坡度与坡角概念混淆、实景不会构造直角三角形；夯实数形结合能力，适配中考解直角三角形大题考查要求。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角形的定义 2.接直角三角形四大依据 3.解直角三角形的类型及解法 4.解直角三角形通用解题步骤 5.实际应用四大模型 6.常见应用题模型汇总 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 直角三角形一共 6 个元素： 3 条边、3 个角（固定一个直角 90°） 实际需要求解：2 个锐角 + 2 条未知直角边 知识点 02 解直角三角形的四大依据（核心公式） 设在 Rt△ABC 中， ∠C=90 1. 边角关系（三角函数） sinA=, cosA=, tanA= 2. 边边关系（勾股定理） a2+b2=c2 3. 角角关系（互余） ∠A+∠B=90 4. 同角三角函数关系 sin2A+cos2A=1,tanA= 知识点 03 解直角三角形的类型及解法（必考表格） 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 04 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点 05 实际应用四大模型（课本重点） 1. 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方的角 俯角：视线在水平线下方的角 解题核心： 过观测点作水平线，构造直角三角形，利用 tan 求高度、距离。 2. 坡度、坡角问题（考试高频） 定义 坡角：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i：铅直高度 h 与水平宽度 l 的比 i==tan ⚠️关键：坡度不是角度，是比值！ 坡度越大，坡面越陡。 3. 方向角问题（方位角） 标准描述： 北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（角度靠坐标轴） 例：北偏东 30°、南偏西 45° 解题方法： 根据方位作十字坐标，构造直角三角形求解边长。 4. 双直角三角形模型（拔高必考） 同一水平线、共高、双三角形叠加 常见场景：测塔高、测河宽、山坡测距 方法： 设公共高为 x，利用两次三角函数列方程求解。 知识点 06 常见应用题模型汇总 模型名称 图形特征 解题核心方法 仰角俯角模型 水平线 + 视线 + 竖直高 用tan求高、水平距 坡度坡比模型 斜面、高、水平宽 i==tan 方位角模型 十字坐标、夹角 平行线转化角度，构造 Rt△ 双 Rt△共高模型 两个直角三角形共用一条高 设高列方程求解 知识点07：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型 正确标准 坡度理解错误 把坡度当成坡角 坡度是比值i=h:l，坡角是角度 仰角俯角看错 以铅垂线为基准量角 必须以水平线为基准 已知角度乱求边 只有角度无边强行求边长 解三角形必须至少一条已知边 双三角形不用方程 硬代数值计算导致出错 未知公共高，优先设 x 列方程 三角函数选错 求对边用 cos、求邻边用 sin 对边 sin，邻边 cos，对比 tan 角度互余遗忘 计算繁琐不会简化角度 ∠A+∠B=90快速求角 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】在中，所对的边分别为a，b，c，若，则c的值为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则中线的长为______． 【跟踪专练3】图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型2.解非直角三角形 【典例】在△ABC中，，，，则______________． 【跟踪专练1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【跟踪专练3】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【跟踪专练1】如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【跟踪专练2】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【跟踪专练3】如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为_______m．（用含的三角函数表示） 【跟踪专练1】某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【跟踪专练3】深圳前海“湾区之光”摩天轮是深圳的地标性建筑，如图①其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图②在摩天轮前方的水平地面上选取点，测得摩天轮最高点的仰角为，将点向摩天轮方向移动21.3米到点，此时测得摩天轮最高点的仰角为，摩天轮的高度约为多少米（     ）（结果保留整数，参考数据：，） A．154米 B．150米 C．128米 D．107米 题型5.方位角问题 【典例】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【跟踪专练2】位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（     ）（参考公式：）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 题型6.坡度坡比问题 【典例】如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【跟踪专练2】如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 题型7.其他实际问题 【典例】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练1】某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 【跟踪专练2】如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 解答题 1．如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 2．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 3．【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 4．如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 5．德吉和李红在雪顿节期间相约去罗布林卡游玩．如图所示，罗布林卡C位于德吉家A北偏东方向上，位于李红家B北偏西方向上，已知德吉家A与罗布林卡C的直线距离为，求德吉家到李红家的直线距离．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 6．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 7．如图1，是一辆汽车起重机，又称吊车，其工作原理是起重臂内转动卷筒上缠绕的钢丝绳利用滑轮进行物料搬运．如图2，是其工作状态下的示意图，起重臂最长为20米，起重臂与水平线的夹角最大为，旋转中心点B离地面的距离为1.6米． (1)如图2，求这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离；（参考数据：，，） (2)接上级通知，需紧急启动一辆汽车起重机调往距离为180千米的某城市执行救援任务，救援队小王按原计划速度匀速行驶60千米后，以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求救援队小王原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09解直角三角形及其应用暑假预习讲义 ① 熟记定义依据：弄懂解直角三角形含义，牢记三边勾股关系、两锐角互余、边角三角函数三组等量关系；分清两类解题条件：已知两边、已知一边一锐角，牢记解题必须至少给出一条边。 ② 熟练基础计算：能结合特殊角三角函数值，规范求解直角三角形所有未知边长、锐角度数，梳理固定解题步骤，提升运算准确率。 ③ 弄懂专业术语：认识仰角、俯角、方位角、坡度、坡角概念，看懂各类实景示意图，可把生活场景转化为直角三角形几何图形。 ④ 掌握实际应用：学会测量高度、河宽、航海测距等题型解法，会添加垂线作辅助线构造直角三角形，建立数学模型列式求解。 ⑤ 梳理增减规律：依托三角函数增减特点，灵活比较角度、函数值大小，能根据取值范围估算锐角度数。 ⑥ 归纳高频易错：边角对应错乱、坡度与坡角概念混淆、实景不会构造直角三角形；夯实数形结合能力，适配中考解直角三角形大题考查要求。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角形的定义 2.接直角三角形四大依据 3.解直角三角形的类型及解法 4.解直角三角形通用解题步骤 5.实际应用四大模型 6.常见应用题模型汇总 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 直角三角形一共 6 个元素： 3 条边、3 个角（固定一个直角 90°） 实际需要求解：2 个锐角 + 2 条未知直角边 知识点 02 解直角三角形的四大依据（核心公式） 设在 Rt△ABC 中， ∠C=90 1. 边角关系（三角函数） sinA=, cosA=, tanA= 2. 边边关系（勾股定理） a2+b2=c2 3. 角角关系（互余） ∠A+∠B=90 4. 同角三角函数关系 sin2A+cos2A=1,tanA= 知识点 03 解直角三角形的类型及解法（必考表格） 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 04 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点 05 实际应用四大模型（课本重点） 1. 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方的角 俯角：视线在水平线下方的角 解题核心： 过观测点作水平线，构造直角三角形，利用 tan 求高度、距离。 2. 坡度、坡角问题（考试高频） 定义 坡角：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i：铅直高度 h 与水平宽度 l 的比 i==tan ⚠️关键：坡度不是角度，是比值！ 坡度越大，坡面越陡。 3. 方向角问题（方位角） 标准描述： 北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（角度靠坐标轴） 例：北偏东 30°、南偏西 45° 解题方法： 根据方位作十字坐标，构造直角三角形求解边长。 4. 双直角三角形模型（拔高必考） 同一水平线、共高、双三角形叠加 常见场景：测塔高、测河宽、山坡测距 方法： 设公共高为 x，利用两次三角函数列方程求解。 知识点 06 常见应用题模型汇总 模型名称 图形特征 解题核心方法 仰角俯角模型 水平线 + 视线 + 竖直高 用tan求高、水平距 坡度坡比模型 斜面、高、水平宽 i==tan 方位角模型 十字坐标、夹角 平行线转化角度，构造 Rt△ 双 Rt△共高模型 两个直角三角形共用一条高 设高列方程求解 知识点07：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型 正确标准 坡度理解错误 把坡度当成坡角 坡度是比值i=h:l，坡角是角度 仰角俯角看错 以铅垂线为基准量角 必须以水平线为基准 已知角度乱求边 只有角度无边强行求边长 解三角形必须至少一条已知边 双三角形不用方程 硬代数值计算导致出错 未知公共高，优先设 x 列方程 三角函数选错 求对边用 cos、求邻边用 sin 对边 sin，邻边 cos，对比 tan 角度互余遗忘 计算繁琐不会简化角度 ∠A+∠B=90快速求角 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】在中，所对的边分别为a，b，c，若，则c的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据即可额求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 【跟踪专练3】图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 在中， ∵， ∴． 题型2.解非直角三角形 【典例】在△ABC中，，，，则______________． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 【跟踪专练1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 【跟踪专练2】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为_______m．（用含的三角函数表示） 【答案】 【分析】本题为解直角三角形的实际应用，已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，利用正切函数的定义，直接求出对边（树高）即可． 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， 根据正切函数的定义： ， 已知，代入得： ． 【跟踪专练1】某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，米，， ∴，即， ∴飞机A到控制点B的距离为． 【跟踪专练2】如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 【跟踪专练3】深圳前海“湾区之光”摩天轮是深圳的地标性建筑，如图①其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图②在摩天轮前方的水平地面上选取点，测得摩天轮最高点的仰角为，将点向摩天轮方向移动21.3米到点，此时测得摩天轮最高点的仰角为，摩天轮的高度约为多少米（     ）（结果保留整数，参考数据：，） A．154米 B．150米 C．128米 D．107米 【答案】C 【分析】设摩天轮的高度米，证明是等腰直角三角形，则，，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：设摩天轮的高度米， 根据题意可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴， 在中，，， 代入，得：，即， 解得：， ∴摩天轮高度约为128米． 题型5.方位角问题 【典例】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 【跟踪专练1】如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 【跟踪专练2】位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（     ）（参考公式：）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设救援船位置为点，过点作直线，垂足为，根据条件求出，进一步根据锐角三角函数求出，，即可得，根据勾股定理求出，再结合即可得答案． 【详解】解：设救援船位置为点，过点作直线，垂足为． ∵ 点在点的南偏西方向， ∴与正南方向夹角为，且， 又∵ ，为正东方向， ∴ 为南北方向，点在的延长线上，， 在中，，， ∵ ， ∴ .， 在中，由勾股定理得 ：， ∵ ， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 【答案】船离观测站的距离为 【分析】过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系和三角函数，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴． 答：船离观测站的距离为． 题型6.坡度坡比问题 【典例】如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示作出辅助线，得到，再利用余弦的定义，得到，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作平行于水平面，过点作于点，则为所求， 由题意可知：， 则，即， ∴ 则这两棵树的水平距离约为． 【跟踪专练1】如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 【跟踪专练2】如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵某校准备在坡度的山坡上植树， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）延长交的延长线于点，根据题意可得 ，，解直角三角形求出，再由角的和差关系可得答案； （2）设米，解直角三角形可得米，根据，得到，解方程求出的值，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在B处测得杆顶端点P的仰角是， ∴； ∵电线杆在坡度为的山坡上， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：设米， 在中，米， 在中，米， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，米 ∴ 米， 答：该电线杆的高度为米． 题型7.其他实际问题 【典例】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 【跟踪专练1】某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】作于D点，则．在中， 根据，可得，同理可得，进而可得．本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D点，则． 在中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． ∴． 【跟踪专练2】如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 【跟踪专练3】双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 【答案】这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 【分析】过点O作于点，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点， 厘米，， ，， 厘米 ， 厘米， 即这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 解答题 1．如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可证，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）连接，交于点，作交于点K，先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，进而根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，，，根据三角函数及勾股定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理求出，根据题意得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接，交于点，作交于点K， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ∵， ． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，​，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∴． 2．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 3．【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明： 如图，作于点E． 在中，， 在中，． ， ， ． (2) 【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解； （2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ，即， 解得． 答：点A到点B的距离为． 4．如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 5．德吉和李红在雪顿节期间相约去罗布林卡游玩．如图所示，罗布林卡C位于德吉家A北偏东方向上，位于李红家B北偏西方向上，已知德吉家A与罗布林卡C的直线距离为，求德吉家到李红家的直线距离．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 【答案】德吉家到李红家的直线距离为 【分析】过点C作于点H，证明等角对等边得出，解直角三角形求出和，进而根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解： 过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： 根据题意，得：，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴．， ∴， ∴， 答：德吉家到李红家的直线距离为． 6．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1)处的竖直高度为5米； (2)基站塔的高为19.25米． 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； （2）解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 7．如图1，是一辆汽车起重机，又称吊车，其工作原理是起重臂内转动卷筒上缠绕的钢丝绳利用滑轮进行物料搬运．如图2，是其工作状态下的示意图，起重臂最长为20米，起重臂与水平线的夹角最大为，旋转中心点B离地面的距离为1.6米． (1)如图2，求这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离；（参考数据：，，） (2)接上级通知，需紧急启动一辆汽车起重机调往距离为180千米的某城市执行救援任务，救援队小王按原计划速度匀速行驶60千米后，以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求救援队小王原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度． 【答案】(1)这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离为20.6米 (2)原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为100千米/时 【分析】（1）解直角三角形求出的长，进而可求得； （2）设原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为x千米/时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得米，， 在中，， （米）． （米）， （米）． 答：这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离为20.6米． （2）解：设原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为x千米/时． 则． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． ． 答：原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为100千米/时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $