专题07简单的位似图形暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题07简单的位似图形暑假预习讲义 ① 识记概念：牢记位似图形定义，知晓位似是特殊的相似图形；能准确找寻位似中心，辨别位似中心三种摆放位置（图形内、图形外、图形边上）。 ② 掌握性质：熟记位似图形核心规律，对应点到位似中心距离之比=位似比，对应边互相平行；可利用性质计算线段长度。 ③ 学会作图：掌握多边形位似放大、缩小的画图步骤，能按照给定位似比规范绘制位似图形。 ④ 坐标运用：吃透平面直角坐标系中原点位似的坐标变化规则，分清正负位似比对坐标、象限位置带来的不同影响，可完成坐标换算习题。 ⑤ 辨析区分：对比平移、轴对称、旋转全等变换，理清位似变换独有的特点；规避易错误区。 ⑥ 归纳易错：杜绝相似等同于位似、坐标缩放符号乱用、作图顶点顺序错乱等问题，提升空间想象与数形结合能力。 预习必备 知识梳理 1.位似图形的定义 2.位似图形的性质 3.位似中心常见位置分类 4.位似图形的作图步骤 5.平面直角坐标系中的位似 6.位似与相似对比表格 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.判断位似中心 3.位似图形的识别 4.作已知图形缩放n倍的位似图形 5.求两个位似图形的相似比 6.求位似图形的对应坐标 7.坐标系位似图形比值计算 8.在坐标系中画位似图形 9.在坐标系中画位似中心 强化题型 解答题5题 知识点 1 位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心。 ⚠️构成位似图形的三个必备条件（缺一不可）： 1 两个图形相似； 2 所有对应顶点连线交于同一个点（位似中心）； 3 对应边互相平行（或共线）。 重要逻辑关系： 位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形。 补充：位似图形相关概念 位似图形的相似比又叫做位似比。 知识点 2 位似图形的性质 1.位似图形具备相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长比 = 位2.似比，面积比 = 位似比的平方。 3.位似图形上，任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 4.位似图形的对应线段互相平行（或在同一直线上）。 5.位似图形是特殊位置下的相似图形，位似变换是一种特殊的相似变换。 知识点 3 位似中心常见位置分类 位似中心位置灵活，分为 5 种情况： 1.位似中心在两个图形外部； 2.位似中心在两个图形之间； 3.位似中心在图形内部； 4.位似中心在图形的一条边上； 5.位似中心在图形的一个顶点上。 类型 特征 外位似（同向位似） 对应点在位似中心的同一侧 内位似（反向位似） 对应点分居位似中心两侧 知识点 4 作位似图形的标准步骤 已知原图、位似中心、位似比，绘制位似图形： 1.选点：在原图形上选取若干个关键点（多边形取顶点）； 2.连线：分别连接位似中心与各个关键点； 3.截取：沿着射线（或反向延长线），根据位似比截取对应点； 4.成型：按照原图顺序，顺次连接截取得到的对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 ⚠️注意：同一个原图、同一个位似中心、同一个位似比，可以作出两个位似图形（中心两侧各一个）。 知识点 5 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点 6 位似与相似对比表格 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应顶点连线交于同一点，对应边平行（或共线） 图形可以任意摆放，无位置要求 联系 位似是相似的特殊情形 相似不一定位似 知识点7高频易错点汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 位似判定 认为只要相似就是位似图形 相似图形还需要满足：顶点连线共点、对应边平行才是位似 距离比理解 对应线段之比等于位似中心到线段端点距离之和的比 对应点到位似中心的距离之比 = 位似比 坐标系位似 只记住(kx,ky)，忽略(-kx,-ky)两种情况 原点作位似中心存在两种位似图形 位似作图 随意找点，不经过位似中心与顶点的连线 对应点必须在 “位似中心和原图顶点的连线” 上 面积计算 忘记面积比 = 位似比的平方 周长比 = 位似比；面积比 = 位似比的平方 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（    ） A．1 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念，根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， 的面积为3， 的面积为27， 故选：D． 题型2.判断位似中心 【典例】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 题型3.位似图形的识别 【典例】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【跟踪专练1】2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 题型4.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 【跟踪专练1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 题型5.求两个位似图形的相似比 【典例】中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主体纹饰与辅助纹饰的相似比为即可求解. 【详解】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为， ∴， ∵， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【答案】 【详解】解：由和是以点为位似中心的位似图形，可知：， ∵为的中点， ∴， ∴与的面积比是． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 题型6.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则可判断线段和线段的位似比为，根据关于以原点为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标． 【详解】解∶ ，， ． ， ． 以原点O为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为． 点C的坐标为，即． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 【跟踪专练3】如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 题型7.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则的面积为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∵与是位似图形， ， ， 的面积为18， 的面积为32， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案】2 【分析】根据点O是位似中心，则连接并延长经过点，然后利用网格和勾股定理求出和，进而得到位似比，即可解答． 【详解】解：根据题意，连接并延长经过点，如下图所示： ∵点，， ∴，， ∴位似比为， 即是由的边扩大为原来的倍得到的． 【跟踪专练2】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离及位似三角形的性质．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点P位似，且相似比为， ∴与的面积比为， 故选：C． 题型8.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 【跟踪专练2】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型9.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 解答题 1．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 2．如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质． （1）连接、、，它们的交点即为M点； （2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作； （2）解：如图，即为所作． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点N，圆的半径是 ； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 【答案】(1)点见解析， (2)， 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题． （1）如图1，作线段，的垂直平分线交于点N，点N即为的外接圆的圆心，利用两点间距离公式计算即可； （2）如图2，由，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作线段，的垂直平分线交于点N，点N即为的外接圆的圆心， ， 故答案为：； （2）如图2， ∵， ∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求， 观察图象可知：， ∴与位似比为， 故答案为：，． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（A、B、C点的对应点分别是点D、E、F），使它与位似，且与的相似比为，并写出点E的坐标． 【答案】见解析，点E的坐标为 【分析】把A、B、C的坐标都乘以得到点D、E、F的坐标，然后描点连线即可， 由图可得点E的坐标． 【详解】解：如图，即为所求，点E的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使与的位似比为． (2)已知的面积为14，则的面积是______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键： （1）根据位似的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积为， ∵的面积为14， ∴的面积是； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07简单的位似图形暑假预习讲义 ① 识记概念：牢记位似图形定义，知晓位似是特殊的相似图形；能准确找寻位似中心，辨别位似中心三种摆放位置（图形内、图形外、图形边上）。 ② 掌握性质：熟记位似图形核心规律，对应点到位似中心距离之比=位似比，对应边互相平行；可利用性质计算线段长度。 ③ 学会作图：掌握多边形位似放大、缩小的画图步骤，能按照给定位似比规范绘制位似图形。 ④ 坐标运用：吃透平面直角坐标系中原点位似的坐标变化规则，分清正负位似比对坐标、象限位置带来的不同影响，可完成坐标换算习题。 ⑤ 辨析区分：对比平移、轴对称、旋转全等变换，理清位似变换独有的特点；规避易错误区。 ⑥ 归纳易错：杜绝相似等同于位似、坐标缩放符号乱用、作图顶点顺序错乱等问题，提升空间想象与数形结合能力。 预习必备 知识梳理 1.位似图形的定义 2.位似图形的性质 3.位似中心常见位置分类 4.位似图形的作图步骤 5.平面直角坐标系中的位似 6.位似与相似对比表格 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.判断位似中心 3.位似图形的识别 4.作已知图形缩放n倍的位似图形 5.求两个位似图形的相似比 6.求位似图形的对应坐标 7.坐标系位似图形比值计算 8.在坐标系中画位似图形 9.在坐标系中画位似中心 强化题型 解答题5题 知识点 1 位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心。 ⚠️构成位似图形的三个必备条件（缺一不可）： 1 两个图形相似； 2 所有对应顶点连线交于同一个点（位似中心）； 3 对应边互相平行（或共线）。 重要逻辑关系： 位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形。 位似图形的相似比又叫做位似比。 知识点 2 位似图形的性质 1.位似图形具备相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长比 = 位2.似比，面积比 = 位似比的平方。 3.位似图形上，任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 4.位似图形的对应线段互相平行（或在同一直线上）。 5.位似图形是特殊位置下的相似图形，位似变换是一种特殊的相似变换。 知识点 3 位似中心常见位置分类 位似中心位置灵活，分为 5 种情况： 1.位似中心在两个图形外部； 2.位似中心在两个图形之间； 3.位似中心在图形内部； 4.位似中心在图形的一条边上； 5.位似中心在图形的一个顶点上。 类型 特征 外位似（同向位似） 对应点在位似中心的同一侧 内位似（反向位似） 对应点分居位似中心两侧 知识点 4 作位似图形的标准步骤 已知原图、位似中心、位似比，绘制位似图形： 1.选点：在原图形上选取若干个关键点（多边形取顶点）； 2.连线：分别连接位似中心与各个关键点； 3.截取：沿着射线（或反向延长线），根据位似比截取对应点； 4.成型：按照原图顺序，顺次连接截取得到的对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 ⚠️注意：同一个原图、同一个位似中心、同一个位似比，可以作出两个位似图形（中心两侧各一个）。 知识点 5 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点 6 位似与相似对比表格 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应顶点连线交于同一点，对应边平行（或共线） 图形可以任意摆放，无位置要求 联系 位似是相似的特殊情形 相似不一定位似 知识点7高频易错点汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 位似判定 认为只要相似就是位似图形 相似图形还需要满足：顶点连线共点、对应边平行才是位似 距离比理解 对应线段之比等于位似中心到线段端点距离之和的比 对应点到位似中心的距离之比 = 位似比 坐标系位似 只记住(kx,ky)，忽略(-kx,-ky)两种情况 原点作位似中心存在两种位似图形 位似作图 随意找点，不经过位似中心与顶点的连线 对应点必须在 “位似中心和原图顶点的连线” 上 面积计算 忘记面积比 = 位似比的平方 周长比 = 位似比；面积比 = 位似比的平方 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【跟踪专练1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（    ） A．1 B．6 C．9 D．27 题型2.判断位似中心 【典例】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【跟踪专练2】如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【跟踪专练3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型3.位似图形的识别 【典例】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型4.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【跟踪专练2】如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 题型5.求两个位似图形的相似比 【典例】中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 题型6.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【跟踪专练3】如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 题型7.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则的面积为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 【跟踪专练1】如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 【跟踪专练2】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 题型8.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【跟踪专练2】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型9.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【跟踪专练2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 解答题 1．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 2．如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点N，圆的半径是 ； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（A、B、C点的对应点分别是点D、E、F），使它与位似，且与的相似比为，并写出点E的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使与的位似比为． (2)已知的面积为14，则的面积是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $