精品解析：广东省深圳实验学校光明部2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

深圳实验学校光明部2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若正实数满足，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为2 B. 有最小值为 C. 的最大值为 D. 有最小值为 11. 设，用表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上的值域是 C. 若，则 D. ，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，则符合条件的集合的个数为__________. 13. 若，且，则的最小值为__________. 14. 已知定义在上的函数满足：，则__________；若，且对任意的，都有，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记全集，集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，设函数在上的最小值为，求的函数解析式； （3）解关于的不等式. 18. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”；若存在实数使得，则称实数为的“稳定点”，将函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校光明部2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由， 又，所以. 故选：A 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定为“，使得 ”. 故选：C 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化，结合分式型函数的图象及其性质，应用排除法，即可得. 【详解】由，显然其图象关于点对称，排除A、B， 由在上单调递减，则在上单调递减，排除C. 故选：D 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域求法及分式、根式的性质求函数定义域. 【详解】由题设，即定义域为. 故选：A 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求解析式即可. 【详解】由，则，故， 所以. 故选：D 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 则函数在上为增函数，则，解得， 函数在为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由参变量分离法得出，利用函数单调性求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，再结合集合的包含关系判断即可. 【详解】，，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，故，则， 因为，，， 故命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“”. 故选：B. 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出的图象，数形结合列不等式，由此求得正确答案. 【详解】函数，， 画出的图象如下图所示， 依题意，不等式恰有1个整数解， 当时，则，此时， 所以的最小值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由，，则成立，对， B：由，则，对， C：若，则，所以，对， D：由，则，错. 故选：ABC 10. 若正实数满足，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为2 B. 有最小值为 C. 的最大值为 D. 有最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得，再代入目标式求最值判断A、D，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断B，应用基本不等式求最值判断C. 【详解】A：由题设，则，故， 当且仅当时取等号，故有最大值为2，对， B：由， 当且仅当时取等号，故有最小值为，错， C：由，可得， 当且仅当时取等号，故的最大值为，对， D：由，且， 当且仅当时取等号，故有最小值为，对. 故选：ACD 11. 设，用表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上的值域是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；当时，求出的取值范围，结合题中定义可判断B选项；根据题中定义结合可得出的取值范围，可判断C选项；利用反证法结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，A对； 对于B选项，当时，，则， 故在上的值域是，B错； 对于C选项，若，则，可得，C对； 对于D选项，由题意可知，当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 若存在，使得，由C选项可知， 即，即，矛盾，D错. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，则符合条件的集合的个数为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】问题化为求集合的子集个数，即可得. 【详解】由题设集合的个数，即集合的子集个数，为个. 故答案为：8 13. 若，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过设，利用基本不等式将转化为关于的不等式，求解不等式后验证等号成立条件，得到的最小值. 【详解】设（），由基本不等式得. 由，得，因此. 整理得，因式分解为. 因，故，即. 验证等号成立条件：当时，代入， 得，解得（舍去），此时，. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足：，则__________；若，且对任意的，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入已知关系式求函数值，由题设得为偶函数且在上单调递减，将不等式化为或，利用单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 由，则的图象关于点对称， 所以的图象关于原点对称，即为奇函数， 令且，则，即为偶函数， 由对任意的，都有，所以， 所以且，故在上单调递减， 对于，或 所以或，可得或， 所以或，故解集为. 故答案为：， 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记全集，集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定时集合的区间，求解集合的补集后，计算与该补集的交集； （2）由推出，分和两种情况，结合集合的区间范围求解的取值. 【小问1详解】 当时，， 解不等式，得或， 所以或， 所以，所以； 【小问2详解】 由，得， 当时，，解得； 当时，，即， 此时需满足或， 解，得，结合，得， 解，得，结合，得， 故的取值范围为. 16. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）知，令， 则， 由，，则，即， 所以在上单调递增，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质列方程得到等式恒成立求参数值； （2）由（1）及单调性的定义，应用作差法证明单调性； （3）应用函数的单调性和奇函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设恒成立，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则，可得. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，设函数在上的最小值为，求的函数解析式； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为二次不等式，利用解集与方程根的关系结合韦达定理求参数； （2）分析二次函数对称轴与区间的位置关系，分情况确定区间最小值； （3）整理不等式为标准二次不等式，因式分解后按二次项系数的不同取值分类讨论求解集. 【小问1详解】 即，整理得. 因为该不等式的解集为，故1和2是方程的根. 由韦达定理，，得. 【小问2详解】 当时，，其图象对称轴为，开口向上. 若，在上单调递减，； 若，在上的最小值为. 故的解析式为： . 【小问3详解】 将不等式整理得. 当时，不等式化为，解得； 当时，方程的根为和： 若，两根相等，不等式无解； 若，，解得； 若，，解得； 当时，不等式，解得或. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 18. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”；若存在实数使得，则称实数为的“稳定点”，将函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得函数表达式，根据不动点定义列方程，解此二次方程得到不动点. （2）由不动点定义得二次方程，根据“恒有两个相异不动点”的条件，将判别式转化为关于的一次函数，结合的取值范围，列不等式求得的取值范围. （3）先由确定的初步范围，再分解的方程得到的构成，结合的条件，分析的解的情况，最终确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，. 不动点满足，即，整理得， 因式分解为，解得或. 【小问2详解】 不动点满足，即，整理为. 函数恒有两个相异不动点，需满足：；判别式对任意恒成立. 将视为关于的一次函数； 则， 解得或或或. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，. ：是的解，即，判别式，得； 可分解为，故. 因，需的解属于或无解： 若无解，则； 若的解属于，代入得（此时解属于）. 结合，得的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $