专题一 第4讲 基本不等式课件—2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖证明过程、最值问题、实际应用三大核心考点，通过知识梳理明确“一正二定三相等”条件及重要不等式，结合近5年模拟题分析求最值、综合应用、实际问题三大常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧提炼+素养培养”，如以2025年江苏南通期中题为例，通过“乘1法”“拆项换元”突破最值求解，培养数学思维与运算能力。设“规律与技巧”模块归纳配凑策略，变式训练涵盖等比数列、三角形面积等综合题型，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

专题1　集合、常用逻辑 用语、不等式 1 第4讲　基本不等式 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> a>0，b>0 a=b 返回目录 夯基固本 2ab 2 ≥ 返回目录 定值 正数 正数 相等 定值 相等 返回目录 夯基固本 热身练习 >> A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 利用基本不等式求最值 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 8 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 基本不等式的综合应用 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3 基本不等式在实际问题中的应用 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 55平方米 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 了解基本不等式的证明过程. 会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab) (1)基本不等式成立的条件：　　　　　　． (2)等号成立的条件：当且仅当　　　　　　时不等式取等号． (3)其中 eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数； eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数． 2.几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)； (2) eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥ (a，b同号)； (3)ab≤( eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R)； (4) eq \f(a2＋b2,2) ( eq \f(a＋b,2))2. 3.基本不等式求最值 (1)两个 的和为 ，当且仅当它们 时，其积最大. (2)两个 的积为 ，当且仅当它们 时，其和最小. 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件. 1．(教材母题必修习题2.2T2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 eq \r(xy)的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：因为x＋y＝18，所以 eq \r(xy)≤ eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A. 2．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ eq \f(4,x) B．y＝2t＋ eq \f(1,t) C．y＝4t＋ eq \f(1,t)(t>0) D．y＝t＋ eq \f(1,t) 解析：对于A，x＝－1时，y＝－5<4； 对于B，t＝－1时，y＝－3<4； 对于C，y＝4t＋ eq \f(1,t)≥2 eq \r(4t·\f(1,t))＝4，当且仅当t＝ eq \f(1,2)时等号成立； 对于D，t＝－1时，y＝－2<4.故选C. 3．(2025·广东深圳期末)下列不等式恒成立的是(　　) A． eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2 B．ab≥( eq \f(a＋b,2))2 C．a＋b≥2 eq \r(|ab|) D．a2＋b2≥－2ab 解析：对于A，若a＝1，b＝－1时， eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)＝－2，A错误； 对于B，因为(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，所以 eq \f(a2＋b2＋2ab,4)≥ab，即( eq \f(a＋b,2))2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，B错误； 对于C，若a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2<2 eq \r(|ab|)＝2，C错误； 对于D，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，即a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝b时取等号，D正确．故选D. 4．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则(　　) A．v＝ eq \f(a＋b,2) B．v＝ eq \r(ab) C． eq \r(ab)<v< eq \f(a＋b,2) D．b<v< eq \r(ab) 解析：设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2， 则t1＝ eq \f(s,a)，t2＝ eq \f(s,b)，v＝ eq \f(2s,t1＋t2)＝ eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))， 所以v＝ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))> eq \f(2,\f(1,b)＋\f(1,b))＝b， v＝ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝ eq \f(2ab,a＋b)< eq \f(2ab,2\r(ab))＝ eq \r(ab).故选D. 5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)的最小值是　　　　． eq \f(9,2) 解析：因为a＋b＝2，所以 eq \f(a＋b,2)＝1. 所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)＝( eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b))( eq \f(a＋b,2))＝ eq \f(5,2)＋( eq \f(2a,b)＋ eq \f(b,2a))≥ eq \f(5,2)＋2 eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝ eq \f(9,2)(当且仅当 eq \f(2a,b)＝ eq \f(b,2a)，即b＝2a＝ eq \f(4,3)时，“＝”成立)，故y＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)的最小值为 eq \f(9,2). 【例1】 (1)若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：(1)依题意ab＝a＋b，所以a＋b＝ab≤( eq \f(a＋b,2))2，即a＋b≤ eq \f((a＋b)2,4)， 所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号， 所以a＋b的最小值为4.故选C. 【例1】(2)y＝ eq \f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值为_____________． 解析：(2)由题意，y＝ eq \f((x－1)2＋2(x－1)＋9,x－1)＝(x－1)＋ eq \f(9,x－1)＋2， 因为x>1，所以x－1>0， 所以y≥2 eq \r((x－1)×\f(9,x－1))＋2＝6＋2＝8， 当且仅当x－1＝ eq \f(9,x－1)，即x＝4时等号成立， 故y的最小值为8. 【例1】(3)已知a>0，b>0且a＋b＝1，求 eq \f(3,a＋1)＋ eq \f(1,b)的最小值． 解析：(3)因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以a＋1＋b＝2， 则 eq \f(3,a＋1)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,2)( eq \f(3,a＋1)＋ eq \f(1,b))[(a＋1)＋b] ＝ eq \f(1,2)(4＋ eq \f(3b,a＋1)＋ eq \f(a＋1,b))≥ eq \f(1,2)(4＋2 eq \r(3))＝2＋ eq \r(3)， 当且仅当 eq \f(3b,a＋1)＝ eq \f(a＋1,b)，a＋b＝1，即a＝2－ eq \r(3)，b＝ eq \r(3)－1时取等号， 故其最小值为2＋ eq \r(3). (1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，采用“乘1”“加0”等策略，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式． 1．若实数a，b满足 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，则ab的最小值为(　　) A． eq \r(2) B．2 C．2 eq \r(2) D．4 解析：因为 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，所以a＞0，b＞0， 所以 eq \r(ab)＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2 eq \r(\f(2,ab))， 所以ab≥2 eq \r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为2 eq \r(2)，故选C. 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为　　　　　. eq \f(4,3) 解析：由x＋2y＝6，得 eq \f(x,6)＋ eq \f(y,3)＝1， 所以 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝( eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y))( eq \f(x,6)＋ eq \f(y,3))＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(2y,3x)＋ eq \f(x,6y)＋ eq \f(1,3)≥ eq \f(2,3)＋2 eq \r(\f(2y,3x)·\f(x,6y))＝ eq \f(4,3)， 当且仅当 eq \f(2y,3x)＝ eq \f(x,6y)，即x＝3，y＝ eq \f(3,2)时取等号， 所以 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为 eq \f(4,3). 3．(2025·江苏南通期中)已知正实数x，y满足x＋y＝m，函数f(x，y)＝(x＋ eq \f(1,y))(y＋ eq \f(1,x))的最小值为 eq \f(9,2)，则实数m的取值集合为　　　　　． 解析：因为m＝x＋y≥2 eq \r(xy)， 所以xy≤ eq \f(m2,4)，f(x，y)＝xy＋1＋1＋ eq \f(1,xy)＝xy＋ eq \f(1,xy)＋2， 令xy＝t，t∈(0， eq \f(m2,4)]，g(t)＝t＋ eq \f(1,t)＋2. 当 eq \f(m2,4)≥1时，g(t)min＝4，与已知矛盾； 当 eq \f(m2,4)<1时，g(t)在(0， eq \f(m2,4)]上单调递减， 所以g(t)min＝g( eq \f(m2,4))＝ eq \f(m2,4)＋ eq \f(4,m2)＋2＝ eq \f(9,2)， 解得m＝ eq \r(2)或－ eq \r(2)(舍去)， 所以m的取值集合为{ eq \r(2)}． 【例2】 (1)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，则ab的最小值为　　　　． 解析：因为b>0，直线b2x＋y＋1＝0与直线ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直， 所以b2×a＋1×[－(b2＋2)]＝0，所以a＝ eq \f(b2＋2,b2)， 所以ab＝ eq \f(b2＋2,b2)·b＝b＋ eq \f(2,b)≥2 eq \r(b·\f(2,b))＝2 eq \r(2)，当且仅当b＝ eq \r(2)时取等号． 则ab的最小值为2 eq \r(2). 【例2】(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝2，则 eq \f(4,a＋b)＋ eq \f(1,c)的最小值为　　　　． 解析：(2)因为a＋b＋c＝2， 所以 eq \f(4,a＋b)＋ eq \f(1,c)＝ eq \f(1,2)( eq \f(4,a＋b)＋ eq \f(1,c))[(a＋b)＋c] ＝ eq \f(1,2)(5＋ eq \f(4c,a＋b)＋ eq \f(a＋b,c)) ≥ eq \f(1,2)(5＋2 eq \r(\f(4c,a＋b)·\f(a＋b,c)))＝ eq \f(9,2)， 当且仅当 eq \f(4c,a＋b)＝ eq \f(a＋b,c)，即a＋b＝2c时等号成立， 故 eq \f(4,a＋b)＋ eq \f(1,c)的最小值为 eq \f(9,2). 【例2】(3)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A． eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2 eq \r(ab)(a>0，b>0) C． eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \r(ab)(a>0，b>0) D． eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0) 解析：(3)由题可得圆O的半径为r＝OF＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(a＋b,2)， OC＝OB－BC＝ eq \f(a＋b,2)－b＝ eq \f(a－b,2). 在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝( eq \f(a－b,2))2＋( eq \f(a＋b,2))2＝ eq \f(a2＋b2,2)， 因为FO≤FC，所以 eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时取等号．故选D. (1)应用基本不等式求解时，要注意合理地进行变形、转化，提供应用基本不等式的条件与情境． (2)求解参变量范围或最值时，要注意结合问题的特征进行变形，利用基本不等式求得参变量范围或最值．同时注意等号成立的条件而得到参变量的值． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ eq \r(3)，b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，则△ABC的周长的最大值是(　　) A．3 eq \r(3) B．3＋ eq \r(3) C．2 eq \r(3)＋ eq \r(6) D．4＋ eq \r(3) 解析：因为b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，所以由正弦定理得b2＋c2＝a2＋bc， 所以a2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3( eq \f(b＋c,2))2＝ eq \f((b＋c)2,4)， 又a＝ eq \r(3)，得b＋c≤2 eq \r(3)，当且仅当b＝c＝ eq \r(3)时等号成立， 所以△ABC的周长的最大值是3 eq \r(3).故选A. 5．(2025·山西太原阶段练习)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝ eq \r(p(p－a)(p－b)(p－c))求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A．3 eq \r(7) B．8 C．4 eq \r(7) D．9 eq \r(3) 解析：因为a＝6，b＋c＝8，p＝ eq \f(a＋b＋c,2)＝ eq \f(6＋8,2)＝7， 所以S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c) ＝7[bc－7(b＋c)＋49]＝7(bc－7) ≤7×[( eq \f(b＋c,2))2－7]＝7×9， 当且仅当b＝c＝4时取等号． 所以S≤3 eq \r(7)，即三角形面积的最大值为3 eq \r(7).故选A. 6．(2024·北京顺义模拟)若数列{an}为等比数列，则“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为数列{an}为等比数列，不妨设公比为q，则q≠0， 由a3≥1可得a1q2≥1，故a1>0，而a1＋a5＝a1(1＋q4)， 由1＋q4≥2q2知a1＋a5≥2a1q2，当且仅当q2＝1时取等号， 而a1q2≥1，故a1＋a5≥2， 此时q＝±1，a1＝1， 故“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分条件． 由a1＋a5＝a1(1＋q4)≥2可得a1≥ eq \f(2,1＋q4)， 则a3＝a1q2≥ eq \f(2q2,1＋q4)，而 eq \f(2q2,1＋q4)＝ eq \f(2,q2＋\f(1,q2))≤1， 故不一定能得到a3≥1. 如q＝ eq \f(1,2)，a1＝2时，满足a1＋a5≥2， 但是a3＝a1q2＝2×( eq \f(1,2))2＝ eq \f(1,2)<1， 故“a3≥1”不是“a1＋a5≥2”的必要条件． 即“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分不必要条件．故选A. 【例3】 (2024·安徽池州模拟预测)1471年，米勒向诺德尔教授提出一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)？后人将其称为“米勒问题”，这是载入数学史的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0<b<a)，设点C的坐标为(c，0)，当∠ACB最大时，c＝(　　) A．2ab B．ab C．2 eq \r(ab) D． eq \r(ab) 解析：由题意可知∠ACB是锐角，且∠ACB＝∠OCA－∠OCB， 而tan∠OCA＝ eq \f(a,c)，tan∠OCB＝ eq \f(b,c)， 所以tan∠ACB＝tan(∠OCA－∠OCB) ＝ eq \f(\f(a,c)－\f(b,c),1＋\f(ab,c2))＝ eq \f(a－b,c＋\f(ab,c))， 而c＋ eq \f(ab,c)≥2 eq \r(ab)，当且仅当c＝ eq \f(ab,c)，即c＝ eq \r(ab)时取等号． 因为∠ACB是锐角，所以当c＝ eq \r(ab)时， tan∠ACB＝ eq \f(a－b,c＋\f(ab,c2))≤ eq \f(a－b,2\r(ab))最大，此时∠ACB最大． 故选D. 应用基本不等式解决实际问题的一般步骤： (1)理解题意，把实际问题抽象为最值问题； (2)建立目标函数(可以是一元，也可以是二元)关系式，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数； (3)利用基本不等式求最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件； (4)回到实际问题中，写出正确答案． 7．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为 eq \f(x,2)(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为 eq \f(k,20x＋100)(k为常数)万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和，则y关于x的函数关系式为　　　　　　　．当y取最小值时，所安装太阳能板的面积为　　　　　　　． y＝ eq \f(1800,x＋5)＋ eq \f(x,2)，x≥0 解析：因为公司每年的燃料费为 eq \f(k,20x＋100)(k为常数)万元， 取x＝0，得 eq \f(k,100)＝24，则k＝2400. 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为 y＝15× eq \f(2400,20x＋100)＋ eq \f(x,2)＝ eq \f(1800,x＋5)＋ eq \f(x,2)，x≥0. 因为y＝ eq \f(1800,x＋5)＋ eq \f(x,2)＝ eq \f(1800,x＋5)＋ eq \f(x＋5,2)－ eq \f(5,2) ≥2 eq \r(\f(1800,2))－ eq \f(5,2) ＝57.5， 当且仅当 eq \f(1800,x＋5)＝ eq \f(x＋5,2)，即x＝55时取等号． 所以安装太阳能板的面积为55平方米时，y的最小值为57.5万元 $