第1章 第4讲 基本不等式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课程标准要求，覆盖求最值、参数范围、实际应用三大核心考点，通过教材梳理夯实基础，考点分层探究配凑法、常数代换法等四大解题角度，结合2025-2026年模拟真题典例，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题实战+方法建模”，如用常数代换法解决“4x + y - xy = 0求x + y最小值”，培养数学思维与推理能力，总结规律方法助学生掌握技巧，教师可依托分层测评精准指导，提升复习效率。

第4讲　基本不等式 高三总复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)． 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值 问题． 3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.基本不等式 a≥0，b≥0 a＝b 大于 或等于 微提醒 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．　 2.利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值___． 2 常用结论 1.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 2.≥2(a，b同号)． 3.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.(当且仅当a＝b时，等号成立) √ √ √ 自测诊断 1.(多选)下列命题中不正确的是 A．不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的 B．若x＞0，则y＝x＋的最小值是2 C．函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4 D．“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件 对于A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，成立的条件是a≥0，b≥0，故A错误；对于B，由于x∈(0，＋∞)，故函数y＝x＋的最小值为2，故B正确；对于C，由于x∈，sin x＝时，sin x＝±2无解，故sin x＋的最小值不为4，故C错误；对于D，“＋≥2”的充要条件是“xy＞0”，故D错误.故选ACD. 2.(链接北师必修一P31A组T7)已知正数a，b满足＋b＝2，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 因为2＝＋b≥2≤1，所以≤1，当且仅当a＝b＝1时，取得最大值1.故选A． 3.(链接北师必修一P28T3)已知x＞1，x＋的最小值为 A．3 B．4 C．2＋1 D．5 √ 由x＞1⇒x－1＞0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝⇒x＝1＋时等号成立，所以x＋的最小值为2＋1.故选C． 4.(链接北师必修一P30练习T3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____m2. 25 设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　利用基本不等式求最值 高考超重点，多维探究 角度1　配凑法 (1)已知x∈，则－x＋的最小值为____． 典例1 3 由于x∈，所以0＜5－x＜5，故－x＋＝5－x＋－5≥ 2－5＝3，当且仅当5－x＝，即x＝1时等号成立． (2)已知－＜x＜0，则y＝x的最小值为_____． － 由于－＜x＜0，则9－4x2＞0，故y＝x＝×2x＝ －≥－×＝－，当且仅当4x2＝9－4x2，即x＝－时取等号，即y＝x的最小值为－. √ 角度2　常数代换法 (1)(2026·江苏南京模拟)已知x＞0，y＞0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为 A．8 B．9 C．10 D．11 典例2 由4x＋y－xy＝0，x＞0，y＞0，得＝1，所以x＋y＝＝5＋≥9，当且仅当2x＝y＝6时，等号成立．故选B． √ 教师备选 (2026·陕西西安期末)设x＞0，y＞0，x＋y＝2，则＋的最小值为 A． B． C． D． 因为x＞0，y＞0，x＋y＝2，则＋＝＝(5＋2)＝，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，所以＋的最小值为.故选B. (2)(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为____． 4 易知b＋＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得等号． √ 角度3　消元法 (1)(2026·重庆模拟)若正实数x，y满足xy＋x－3y＝－1，则x－y的最大值为 A．3 B．2 C．1 D．0 典例3 由xy＋x－3y＝－1有x＝，则x－y＝－y＝4－≤ 0，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．故选D． √ (2)(2025·山西太原模拟)已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为 A． B． C． D． 因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以2x＋y的最小值为.故选A. √ 角度4　换元法 (一题多解)若实数x，y满足xy＞0，则＋的最大值为 A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 典例4 法一：由实数x，y满足xy＞0，设故mn＞0，解得＋＝＋＝4－(＋)≤4－2＝4－2，当且仅当＝，及n＝m时等号成立，所以＋的最大值为4－2.故选D. 法二：令t＝＞0，则＋＝＋＝＋1－＝1＋＝1＋，由t＞0得2t＋≥2＝2，故1＋≤1＋＝4－2，当且仅当2t＝即t＝即y＝x时，取“＝”，故选D. 利用基本不等式求最值的方法 规律方法 配凑法 根据式子特征变形，配凑积或和为常数，直接用基本不等式求最值 常数代换法 已知x＋y＝t(t为常数)时，，再用基本不等式 多元消元法 变量多元时先消元，再凑和(积)为常数形式，用基本不等式 换元法 为配凑或常数代换的拓展，适用于分母含一次二项式的情况 √ 对点练1.已知x＞0，y＞0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，当x＝y＝4时等号成立，即xy－2－8≥0，令＝t(t＞0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍).即≥4，xy≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立.故选C. √ 对点练2.(多选)(2026·福建福州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则 A．xy≤ B．x2＋y≥ C．＋≥3＋2 D．x＋＞2 √ √ 对于A，因为x＞0，y＞0，则1＝x＋2y≥2，即得xy≤，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故A正确； 对于B，因为x2＋y＝x2＋＝(x－)2＋，由可得0＜x＜1，故x2＋y在x＝时取得最小值，故B错误；对于C，由(＋)(x＋2y)＝3＋(＋)≥3＋2＝3＋2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故C正确；对于D，因为x＞0，y＞0，由x＋＝x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，由上分析0＜x＜1，故有x＋＞2，即D正确.故选ACD. 对点练3.(一题多解)(2025·河北石家庄模拟)已知m＞2，n＞1，且3m＋3n＝mn＋7，则m＋2n的最小值为____． 13 法一：由3m＋3n＝mn＋7可得m＝＝＝3－＝3＋.又因为m＞2，n＞1，所以n＞3，则m＋2n＝3＋＋2n＝9＋＋2.因为n－3＞0，所以由基本不等式得m＋2n＝9＋＋2≥9＋2＝13，当且仅当＝2，即n＝4时取等号，此时m＝5. 法二：由3m＋3n＝mn＋7可得＝2.因为m＞2，n＞1，所以m－3＞－1，n－3＞－2，所以m－3＞0，n－3＞0，则m＋2n＝＋2(n－3)＋9≥2＋9＝13，当且仅当时等号成立. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 (1)(2026·江苏南京模拟)若两个正实数x，y满足＋＝2，且不等式xy＞m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是__________． 典例5 由两个正实数x，y满足＝2，得2＝≥2，所以xy≥4，当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，所以xy的最小值为4.因为不等式xy＞m2－3m恒成立，所以4＞m2－3m，解得－1＜m＜4. (2)已知x＞0，y＞0且x＜y＜2x，x＋y＝3.若＋≥a恒成立，则实 数a的取值范围是_______________． 若＋≥a恒成立，则a≤.又＋＝＋)(2x－y＋2y－x)＝［3＋＋］≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝3－时，等号成立，所以a≤. 利用基本不等式求参数的值或取值范围时，一般需要结合题目特征，分离参数，利用基本不等式求解，常用的求解方法为： 一是“∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a”． 二是“∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a”． 规律方法 √ 对点练4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则实数k的最大值为 A．4 B．5 C．24 D．25 因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)](＋)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即＋.由题意可得≥1.又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. √ 对点练5.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y＜m2－8m有解，则实数m的取值范围是 A．(－∞，－1)⋃(9，＋∞) B．(－∞，－1］⋃［9，＋∞) C．(－9，－1) D．［－9，1］ 因为x＞0，y＞0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9.若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1.故选A． 考点三　基本不等式的实际问题 师生共研 (2026·天津南开区模拟)勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于4 cm，则该三角形面积的最大值为__________cm2. 典例6 12－8 设直角三角形的两直角边长分别为a，b(a，b＞0)，则斜边长为.因为直角三角形的周长为4 cm，所以a＋b＋＝4.由a＋b＋≥2＋＝(2＋，当且仅当a＝b时，等号成立，所以(2＋≤4，即ab≤()2，所以S＝ab≤×()2＝12－8，即三角形面积的最大值为12－8. 利用基本不等式解决实际问题的方法 规律方法 设函数 将待求最值的量表示为变量的函数 建模型 根据题意建立函数解析式 定范围 确定变量的实际约束条件(定义域) 求最值 在定义域内应用基本不等式，验证等号成立条件 验结果 检查所求最值是否符合实际意义 对点练6.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．四个小矩形AMQD，MNFE，BCPN，PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM＝ME＝3NB．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1 000元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为200元/m2.则当总造价最低时，AD的长为______m． 4 设AD的长为x m，总造价为y元，因为四个小矩形AMQD，MNFE，BCPN，PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM＝ME＝3NB，小正方形MNPQ的面积为x2，其中矩形AMQD的面积为，则AM＝·.因为AM＞0，所以0＜x＜20，阴影部分面积为400－x2. 因为S△AME＝AM2＝×，S△DQH＝S△BNF ＝S△AME，S△PCG＝S△AME，所以草坪面积是△AME面 积的1＋＋＋＝(倍)；所以草坪面积为×× ，所以y＝1 000x2＋400×＋200××× (×)2＝100＋140 000，因为0＜x＜20，所以y≥ 100×2＋140 000＝240 000， 当且仅当＝，即x＝4时，等号成立，所以当x＝4时，总造价y最小，最小值为240 000元. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是 A．＞ B．＋＞2 C．＜ D．xy＋＞2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 x，y都是正数，由基本不等式，可得，＋≥2，≤＝，这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以A、B、C三个不等式恒成立；xy＋≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝，y＝2即可取等号，D中不等式不恒成立.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2025·山东菏泽二模)已知a＞1，b＞1，且ab＝4，则log2alog2b的最大 值为 A． B．1 C．4 D．16 √ 因为a＞1，b＞1，且ab＝4，所以log2(ab)＝2，所以log2alog2b≤ ()2＝1，当且仅当log2a＝log2b＝1，即a＝b＝2时取等号．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 教师备选 已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为 A． B．4 C． D．2 由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2.故 选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 3.(2026·江苏常州模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则＋＋2的最小 值为 A． B． C． D．5 x＞0，y＞0，且x＋y＝2，所以＋＋2＝＋＝＋＝＋)＝＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 教师备选 设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则＋的最小值为 A．2－1 B．2＋1 C．－1 D．＋1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 当x＞0时，＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，－1≥2－1＝2－1，当且仅当，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以的最小值为2－1.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 4.已知a＞b，且ab＝8，则－2的最小值为 A．6 B．8 C．14 D．16 因为ab＝8，所以＝a－b＋．因为a＞b，所以a－b＞0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值为6.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 5.(2026·广东揭阳模拟)在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2＝，则该类昆虫的最大跳跃高度为 A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 由v2＝可知v2－Hv4＝4H，且v＞0，故H＝，当且仅当v2＝2即v＝时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 6.(2026·江西赣州模拟)若x，y∈，且2x－y＝4－xy，则＋的最小值为 A．2 B．2 C． D． 由2x－y＝4－xy，得x＝＝＋1，即x－1＝，所以＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即y＝0时，等号成立.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 7.(多选)(2026·陕西咸阳模拟)下列与基本不等式有关的命题中正确的是 A．若a＞0，b＞0，3a＋b＝1，则ab的最大值为 B．若a＞0，b＞0，＋＝1，则a＋2b的最小值为3＋2 C．若a＞0，b＞0，则≥4 D．若a＞0，b＞0，＋b＝2，则＋的最小值为 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于A，因为a＞0，b＞0，所以3a＋b＝1≥2，所以，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝时，取等号，则ab的最大值为，故A错误；对于B，因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋2b＝＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝1＋，a＝＋1时，a＋2b的最小值为3＋2，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于C，因为a＞0，b＞0，则＝ab＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故C正确；对于D，因为a＞0，b＞0，＋b＝2，所以＝2－b，所以a＝(0＜b＜2)，所以＋＝＋＝＋＝＋＝＝－＝－＝，当且仅当b＝，a＝2时取等号，所以＋的最小值为，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 8.(多选)(2026·山东临沂模拟)若ab＞0，a＋2b＝4，则 A．ab≤2 B．a2＋4b2≥8 C．＋的最小值为 D．＋的最小值为 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 因为ab＞0，a＋2b＝4，所以有a＞0，b＞0.对于A，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以·a·≤×⇒ab≤2，当且仅当a＝2b时，取等号，即当a＝2，b＝1时，取等号，故A正确；对于B，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以有≤⇒a2＋4b2≥8，当且仅当a＝2b时，取等号，即当a＝2，b＝1时，取等号，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于C，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝4，所以＋＝＋＝·(＋＝··(5＋2)，即＋，当且仅当＝时取等号，即当且仅当a＝b＝时取等号，故C不正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于D，令a＋1＝x＞0，2b＋1＝y＞0，所以a＝x－1，2b＝y－1，且x＋y＝6，于是＋＝＋＝x＋y＋＋－4＝＋＋2，＋＝＝，即＋，当且仅当＝时取等号，即x＝y＝3时取等号，因此＋＋2＝，即a＝2，b＝1时取等号，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 9.(2026·浙江杭州模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示，对称轴方程为x＝1，则－2b的最小值为____． 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴方程x＝－ ＝1，即b＝－2a.由图知a＞0，则b＜0，所以4－2b＞0， 所以－2b＝＋4－2b－4≥2－4＝ 12－4＝8，当且仅当＝4－2b，即b＝－1时等号成立，所以－2b的最小值为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 10.(开放题)写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为_______________________． a2＋b2＝1(答案不唯一) 该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：＋＝＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 11.(多选)(2026·福建三明模拟)以下结论正确的是 A．若a2＋b2＝1，则a＋b的最大值为 B．若＝4，则a＋b≥2 C．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＋的最小值为2 D．若θ∈，则＋≥2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于A，＝a2＋b2＋2ab＝1＋2ab≤1＋＝2，当且仅当a＝b＝±时等号成立，所以－≤a＋b≤，故A正确；对于B，(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝4，所以ab＝3－(a＋b)≤，即＋4－12≥0，解得a＋b≥2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)或a＋b≤－6(当且仅当a＝b＝－3时等号成立)，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于C，因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋≥2ab＋≥2，当且仅当即a2＝b2＝时等号成立，故C正确；对于D，＋＝＝(1＋＋＋1)≥＝2，当且仅当＝，即cos θ＝0，sin θ＝1，即θ＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 12.(2026·江西南昌模拟)若关于x的不等式＋≥4对任意x＞2恒成立，则正实数a的取值范围是_____________． 因为＋≥4，则＋≥4－，原题意等价于＋≥4－对任意x＞2恒成立，由a＞0，x＞2，则＞0，＞0，可得＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝2＋时取得等号，所以解得0＜a≤4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)(一题多解)求＋的最小值； 解：法一：≥2， 当且仅当时取等号， 所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 法二：＋＝＋＝＋－2＝＋)(2a＋b)－2＝－2≥－2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号， 所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 (2)求＋的最小值； 解：因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以＋＝[2a＋(b＋1)]＝(4＋＋)≥(4＋2)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值． 解：由2＝2a＋b≥2得2ab≤1，所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5， 当且仅当2a＝b，即b＝2a＝1时取等号，所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 14.(多选)(2026·江苏淮安模拟)若x，y∈R满足x2＋4y2－2xy＝1，则 A．x2＋4y2≤2 B．－≤x≤ C．x＋2y≤1 D．x＋2y≥－2 √ √ √ 对于A，由≥0可得x2＋4y2≥4xy，因此x2＋4y2＝2xy＋1≤＋1，可得x2＋4y2≤2，当且仅当x＝2y时，等号成立，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于B，将表达式x2＋4y2－2xy＝1化简可得＋3y2＝1，将方程参数化可知x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，θ∈；所以x＝cos θ＋sin θ＝sin ＝sin ，其中tan φ＝；又－1≤sin ≤1，所以－≤x＝sin ≤，故B正确；对于C、D，由x2＋4y2－2xy＝1可得x2＋4y2＋4xy＝6xy＋1，即＝6xy＋1≤3×＋1，因此≤4，解得－2≤x＋2y≤2，当且仅当x＝2y时，等号成立，故C错误，D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2026·江苏江阴模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足＋，当且仅当＝时，等号成立，则函数f(x)＝＋ 的最小值为______． 49 因为正数a，b，x，y，满足＋，当且仅当＝时，等号成立，所以f(x)＝＋＝＋＝＋＝49，当且仅当＝即x＝时，等号成立，此时f(x)的最小值为49. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 谢 谢 观 看 第4讲　基本不等式 $