1.3.2 《三角函数的应用——坡度问题》讲义 2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第一章 直角三角形的边角关系 《1.3.2三角函数的应用——坡度问题》讲义 【学习目标】 1. 知识与技能目标 （1）能处理大坝、水渠、山坡改造等横断面梯形类坡度应用题： （2）会作梯形的高，分割梯形为两个直角三角形 + 矩形，构建直角三角形模型； （3）结合坡比、坡角、坝高求解坡角（会进行度、分换算）、坝底宽度、斜坡长度； （4）掌握坡度改造类题型两种解题思路： ① 改造后计算新坡角，与安全临界坡角对比判断是否达标； ② 计算安全坡角对应的水平移动距离，和实际改造移动距离对比验证。 2. 综合应用与计算目标 （1）结合梯形面积公式求解土方、蓄水体积等实际工程量问题； （2）掌握含 37°、53°（3:4:5 直角三角形）、30° 、45°、60°等特殊角度简便计算技巧； （3）能解决噪声影响、燕尾榫等结合直角三角形的跨场景实际应用题，熟练运用勾股定理、三角函数联合计算； （4）单位换算（速度单位 km/h 转 m/s、角度度分换算）、根式近似取值、结果按要求精确到指定数位。 3. 数学思维与能力目标 （1）学会将现实工程场景（大坝、山坡、水渠、道路）抽象为直角三角形几何模型； （2）掌握一题多解的分析思路，能对比不同解题方法的优劣； （3）建立特殊直角三角形边长比例数感，简化复杂计算，规范几何应用题书写步骤。 一、课前复习 1. 特殊角三角函数值正向计算 ； ；；； 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若已知c，∠A，则a=_______，b=_______； ②若已知b，∠A，则a=_______，c=_______； ③若已知a，∠A，则b=_______，c=_______； 二、坡度、坡角类问题 1. 例题学习（课本改编） 例题1：如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，其中CD//AB，坝顶DC=6m，坝高22 m，斜坡 AD的坡比为1:3，斜坡 BC的坡比为1:2.5。求斜坡 AD的坡角(结果精确到1')、坝底宽 AB 和斜坡 AD的长(结果精确到 0.1m)。（参考数据如下表） 计算器按键顺序 结果 3.16 1°=60′，1′=60″ 解：由题意DE=CF=22m, Rt△DEA中，∠DEA=90°， ∴tan=， ∴……………………①注意度分秒的换算方法 tan=，∴AE=66m………………………………………② AD=……………………③ 在Rt△CFB中，∠CFB=90°， , ∴BF=55m…………………………………………………………④ ∵∠CDE=∠DEF=∠CFE=90° ∴矩形CDEF成立 ∴CD=EF=6m……………………………………………………⑤ ∴AB=AE+EF+BF=66+6+55=116.0m…………………………⑥ 综上，，AB=116.0m，AD= 2. 练习 （1）（课本习题改编）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，其中AD//BC，坝顶AD=6m，斜坡CD=8m，坝底BC=30m，∠ADC=135° ①求∠ABC的度数（结果精确到1°）; ②如果坝长为100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料（结果精确到 0.01 m）? 参考数据：，tan17°≈0.3084 答案：17°，10182.34m³ （2）如图，一段长1500m的水渠，其横断面为梯形ABCD，其中AB//CD，AD=BC，渠深AE=0.8m，底AB=1.2m，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米? 答案：2400m³ 三、改造坡度问题 如图，某新建楼房后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地。BC//AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，坡角∠BAD=68°。为防止山体滑坡需要对该斜坡进行改造。经地质人员期测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。 思考：如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC左移11m到F点处，这样改造能确保山体不滑坡吗？你有几种办法，请与同伴进行交流并计算出结果。 计算器按键顺序 结果 2.475 0.927 0.375 1.192 0.766 【解析：求出铲掉11m后的坡角，与50°进行比较】 解：过点F作FG⊥AD于G，连接AF。…… ……① Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠BAE=68°，AB=26m ∴AE=AB·cos68°= BE=AB·sin68°=…… ……② ∵∠FGE=∠BFG=∠BEG=90° ∴矩形BFGE成立 ∴BF=EG=11m FG=BE=24.102m ∴AG=11+9.75=20.75m………… ………………③ Rt△AGF中，∠AGF=90°， ∴tan∠FAG=……………………④ ∴∠FAG≈49.24°＜50°…………………………⑤ 答：可以确保山体不滑坡…………………………⑥ 【方法2：求出坡角50°时B左移的距离，与11m进行比较】 过点F作FG⊥AD于G，连接AF。…… ……① Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠BAE=68°，AB=26m ∴AE=AB·cos68°= BE=AB·sin68°=…… ……② ∵∠FGE=∠BFG=∠BEG=90° ∴矩形BFGE成立 ∴BF=EG FG=BE=24.102m………… ……………③（同法1不变） Rt△AGF中，∠AGF=90°，∠FAG=50° ∴AG=……………………④ ∴GE=BF=AG－AE=20.220－9.75=10.47m…………………⑤ ∵10.47＜11m，……………………⑥ 答：可以确保山体不滑坡…………⑦ 思考：回顾刚才两个方法，思维节点有哪些？哪一个方法更适合你？ 三、巩固练习 1. (课后习题改编)榫卯结构是一种我国传统木建筑和家具的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。如图，在某燕尾榫中，榫槽的横断面ABCD是梯形，其中AD//BC，AB=DC，燕尾角∠B=53°，外口宽AD=180 mm，榫槽深度是80mm，求它的里口宽BC=______.(结果精确到1 mm 。参考数据：sin53°=0.8，cos53°=0.6，tan37°=0.75) 教学注意：培养特殊数据的数感，熟悉含37°和53°的直角三角形三边之比外围3:4:5，且熟练数据的简便计算，将0.75看成3:4来计算边长更简便。 2. 如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，其中CD//AB，迎水坡BC的倾斜角∠B=30°，背水坡AD的坡比为1.2:1，坝顶DC=5m，坝高 CE=6 m。则BC=_______，AB=_______。 (结果精确到0.1m，参考数据：)。 1. 如图，铁路AB和公路CD在点O处交会，∠BOD=30°，公路CD上K处距离O点240 m。如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声影响。若火车在铁路 AB 上沿由A到B方向以 72km/h的速度行驶。 请分析K处是否受噪声影响？如果受影响，请求出K处受噪声影响的时间。 巩固练习答案： 1. 300mm； 2.BC=12m，AB=20.4m； 2. 答案：会受影响，受影响之间16s. 解析：①过点K作KE⊥AB于E 在Rt△KEA中，∠KEO=90°，∠BOD=30°，OK=240m ∴KE=OK·sin30°=240×0.5=120m ∵120＜200，∴K处会收到噪音影响。 ②在AB上点E的两侧各取一点F、G 连接KF、KG，使得KF=KG=200m 利用勾股定理可求EF=EG=160m ∴FG=160+160=320m， 火车行驶在FG上时，点K会受噪音影响， v=72km/h=72÷3.6m/s=20m/s ∴K受噪音影响时间为320÷20=16s。 学科网（北京）股份有限公司 $