26.3.1 二次函数与一元二次方程(第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，课堂导入通过一次函数图象与方程解的实例回顾旧知，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生探究新知。 其亮点在于以探究活动（三个二次函数画图分析交点与方程根的关系）和表格总结对应关系为主，结合小球飞行高度例题，培养几何直观、推理意识和模型意识。课堂小结系统梳理知识，学生能发展抽象能力，教师可借助练习提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3.1 二次函数与一元二次方程 （第1课时） 学习目标 1.理解二次函数的图象与 x 轴的交点个数和对应的一元二次方程根的情况之间的对应关系，能利用二次函数的图象判断一元二次方程根的情况. 2.能将二次函数问题转化为一元二次方程问题来解决，体会数形结合与转化的数学思想. 新课导入 1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_______. 2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________． x＝1 x＝－2 那么，二次函数与一元二次方程有什么关系呢？ 探究新知 思考： 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2; (2) y=x2−8x+16; (3) y=x2−x+1. 由此，你能说说方程 x2+x−2=0， x2−8x+16=0， x2−x+1=0. 的根的情况吗？ 先画出函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 x1=-2，x2=1. 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ x1=x2=4. 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 探究新知 探究新知 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 二次函数与一元二次方程的关系 课堂练习 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________.     (，0)，(，0) 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 课堂练习 解析：(3)该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0). 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 探究新知 （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 15 1 3 练习 关于例1，回答下列问题： 【教材P48 练习】 （2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？ 20.5 （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 课堂小结 课堂小结 课堂练习 1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ). A.x1=1, x2=-1 B.x1=1, x2=2 C.x1=1, x2=0 D.x1=1, x2=3 2.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ). A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 B D 课堂练习 3.下列选项中，不与x轴相交的抛物线是( ) A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3 D 4.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是( 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 A (1)证明：∵m≠0， ∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点. 5、已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 课堂练习 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y=0，则(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0， 解得x1=1，x2= . 当m为正整数1或2时，x2的值为整数. 又∵当m为2时， Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点， ∴正整数m的值为1. 课堂练习 6.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数． ∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3. 当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数． ∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴Δ=b2-4ac≥0. ∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16， ∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 课堂练习 $