26.3　二次函数与一元二次方程第1课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，课堂引入通过一次函数与一元一次方程的数与形关系类比，搭建新旧知识桥梁，引导学生从函数值为0及图像与x轴交点角度理解二者联系。 其亮点在于以问题链驱动观察图像交点与方程根的对应，结合判别式分析培养抽象能力和几何直观，通过小球飞行、遮阳棚等实际问题发展模型意识。例题与跟踪训练层层递进，课堂小结系统梳理知识，助力学生构建知识网络，教师教学更具针对性与高效性。

第1课时　二次函数问题转化为 一元二次方程问题 第二十六章　26.3　二次函数与一元二次方程 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系.(重点) 2.能把二次函数问题转化为一元二次方程问题，能利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决一些简单的实际问题.(难点) 课堂引入 一次函数y=ax+b与一元一次方程ax+b=0的关系： 从数的角度，一元一次方程ax+b=0的解就是当函数y=ax+b的函数值为0时的自变量的值； 从形的角度，一元一次方程ax+b=0的解就是函数y=ax+b的函数图象(如图)与x轴交点的横坐标. 类比上述关系，今天我们来学习二次函数与一元二次方程的关系. 一、 二次函数与一元二次方程的关系 问题　观察如图所示的图形. (1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有　　个不同的交点，因为b2-4ac=12-4×1×(-2)=1+8=9　　0，所以一元二次方程x2+x-2=0有　　 　的实数根；  两 > 两个不相等 (2)二次函数y=x2-8x+16的图象与x轴只有　　个交点，因为b2-4ac=(-8)2-4×1×16=64-64　　0，所以一元二次方程x2-8x+16=0有　　 　的实数根；  (3)二次函数y=x2-x+1的图象与x轴　　　交点，因为b2-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3　　　0，所以一元二次方程x2-x+1=0　　　实数根.  一 = 两个相等 没有 < 没有 知识梳理 二次函数与一元二次方程的关系 1.如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有交点，那么交点的横坐标x0即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根；反之，亦然. 知识梳理 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.上述关系如表所示.   二次函数y=ax2+bx+c的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况 a>0 a<0 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 知识梳理 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     没有实数根 例1　已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3. (1)当k为何值时，抛物线与x轴有两个公共点； (2)当k为何值时，抛物线与x轴有一个公共点； (3)当k为何值时，抛物线与x轴没有公共点. 解　令y=0，即2(k+1)x2+4kx+2k-3=0， Δ=(4k)2-4×2(k+1)(2k-3)=16k2-8(2k2-k-3)=8k+24. (1)当8k+24>0，且2(k+1)≠0，即k>-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个公共点. (2)当8k+24=0，且2(k+1)≠0，即k=-3时，抛物线与x轴有一个公共点. (3)当8k+24<0，且2(k+1)≠0，即k<-3时，抛物线与x轴没有公共点. 反思感悟 在利用二次函数与一元二次方程的关系求字母参数的值或取值范围时，要注意这个关系是双向的，例如：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根；反之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点. 跟踪训练1　(1)抛物线y=x2-mx-2与x轴的交点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析　令y=x2-mx-2=0， 则Δ=(-m)2-4×(-2)=m2+8>0， 故抛物线与x轴的交点个数为2. (2)二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则m=　　　.  解析　∵二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ=(-2)2-4m×1=0，且m≠0，即4-4m=0，且m≠0， 解得m=1. 1 二、 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 知识梳理 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，基本方法是根据题目中变量之间的数量关系列出二次函数关系式，然后利用二次函数与一元二次方程的关系把问题转化为解一元二次方程，由此达到解决问题的目的. 例2　(课本P47例1)如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 解　当h=20时，由函数关系h=20t-5t2，列得方程20=20t-5t2， 即t2-4t+4=0. 解方程，得t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t-5t2的函数值为20，即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 跟踪训练2　海边有一遮阳棚，测得棚口P距地面2.3 m，棚顶在距棚口P水平距离3 m处达到最高，最高点距地面3.2 m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k，其中x(m)是棚顶距棚口的水平距离，y(m)是棚顶距地面的高度. (1)求抛物线的解析式； 解　根据题意，抛物线的顶点为(3，3.2). 则抛物线的解析式为y=a(x-3)2+3.2， 将点(0，2.3)的坐标代入，得2.3=9a+3.2，解得a=-0.1. ∴抛物线的解析式为y=-0.1(x-3)2+3.2. 跟踪训练2　海边有一遮阳棚，测得棚口P距地面2.3 m，棚顶在距棚口P水平距离3 m处达到最高，最高点距地面3.2 m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k，其中x(m)是棚顶距棚口的水平距离，y(m)是棚顶距地面的高度. (2)爸爸站在棚内距棚口P水平距离1 m处，身高1.6的小红在棚里走动，当她的头顶恰好接触到棚顶时，求她与爸爸的水平距离是多少？ 解　当y=1.6时， 得方程-0.1(x-3)2+3.2=1.6， 解得x=7或x=-1(舍去). ∵爸爸站在棚内距棚口P水平距离1 m处， ∴7-1=6(m). 故当她的头顶恰好接触到棚顶时，则她与爸爸的水平距离是6 m. 三、 二次函数与一元二次不等式之间的关系 例3　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根； 解　∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为(1，0)，(3，0)， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3. 例3　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集； 解　由图象可知，当1<x<3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c>0的解集为1<x<3. 例3　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (3)若方程ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根，写出k的取值范围. 解　ax2+bx+c+k=0可变形为ax2+bx+c=-k. 由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2，2)， ∴当直线y=-k在(2，2)的下方时，一定与抛物线有两个公共点， ∴当-k<2，即k>-2时，方程ax2+bx+c=-k有两个不相等的实数根， 即当k>-2时，方程ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根. 跟踪训练3　抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则不等式ax2+bx+c<0的解集是 A.x<1 B.x>-1 C.-3<x<1 D.-4≤x≤1 解析　∵抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)， 故不等式ax2+bx+c<0的解集是-3<x<1. √ 课堂小结 1.若二次函数y=x2-4ax+2的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 A. B.- C.± D. 随堂演练 √ 随堂演练 解析　∵二次函数y=x2-4ax+2的图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2-4ax+2=0的判别式Δ=0， 即Δ=(-4a)2-4×1×2=16a2-8=0， 解得a=±. 2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线y=-x2+2x(单位：m)的一部分，则水喷出的最远水平距离是 A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 随堂演练 解析　令y=0，得-x2+2x=0，解得x=0(不符合题意，舍去)或x=4，所以水喷出的最远水平距离是4 m. √ 3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，则不等式ax2+bx+c<0的解集为 A.-1<x<3 B.-1<x<4 C.x<-1或x>4 D.x<-1或x>3 随堂演练 √ 随堂演练 解析　由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(-1，0)， ∴另一个交点的横坐标为2×1-(-1)=3，即(3，0)， 结合函数图象，当x<-1或x>3时，抛物线位于x轴下方，即ax2+bx+c<0， ∴不等式ax2+bx+c<0的解集为x<-1或x>3. 4.已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m=　　　　.  随堂演练 9 解析　∵抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根， 即Δ=36-4m=0， 解得m=9. 5.二次函数y=x2-x+1的图象与坐标轴的交点有　　　个.  随堂演练 1 解析　当x=0时，y=x2-x+1=1，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)； 当y=0时，x2-x+1=0，方程无解，则抛物线与x轴没有交点， 所以二次函数y=x2-x+1的图象与坐标轴有1个交点. 6.某物体的运动规律为s=40t-5t2，当s=60米时，t=　　　　秒.  随堂演练 2或6 解析　当s=60米时，得60=40t-5t2，解得t=2或6. 谢谢观看 $