2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过围栏建花圃实际问题导入，引导学生从面积条件抽象出不等式，再结合函数图象分析解集，搭建“实际问题—方程—函数—不等式”的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是以数形结合为核心，通过函数图象判断解集培养几何直观（数学眼光），结合摩托车产量等实际问题建模发展模型意识（数学语言），分类讨论判别式情况提升推理能力（数学思维）。例题覆盖不同情形，总结解题步骤，助力学生掌握方法，也为教师提供系统教学资源。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1. 理解一元二次不等式的概念及其一般形式 或 （ ）。 2. 掌握通过二次函数图象与 轴交点（即对应方程的实数根）求解一元二次不等式的方法。 3. 能结合判别式 分类讨论一元二次不等式的解集，明确 、 、 三种情形下的解集特征。 4. 提升数形结合能力与数学建模素养，能将实际问题转化为一元二次不等式并求解。 课堂导入 同学们，生活中常遇到“面积最大”“成本最低”等优化问题，其数学本质常归结为二次函数与不等式的综合应用。本节我们将从围栏建花圃的实际问题出发，发现：确定矩形边长需解不等式 ，而该不等式的解集，可借助对应二次函数 的图象——特别是其与 轴交点（即方程 的根）及开口方向来直观判定。这揭示了“函数—方程—不等式”三者内在统一：函数图象是桥梁，方程的根是关键分界点，不等式的解集即函数值满足正负要求的 取值范围。 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m²，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为 m，由栅栏总长为24 m，可得矩形邻边之和为12 m，因此另一条边长为 m。根据题意，矩形面积大于 ，得 其中边长满足 ，即 。将不等式整理得 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。 一、 从实际问题抽象一元二次不等式 一、 从实际问题抽象一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是 其中 均为常数， 。 接下来我们考察一元二次不等式 与二次函数 之间的关系。 观察二次函数的图象可以发现，图象与 轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程 的两个实数根 ， ，因此二次函数 的图象与 轴的两个交点是 和 。 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数 的零点。于是，二次函数 的两个零点是 ， 。 从图象可以看出，二次函数的两个零点 ， 将 轴分成三段，对应不同的位置有： 当 或 时，函数图象位于 轴上方，此时 ，即 ； 当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ，即 。 因此，一元二次不等式 的解集是 。 又因为 ，因此当围成的矩形的一条边长 满足 时，围成的矩形区域的面积大于 。 二、 探究二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 和 的解集。因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 轴的相对位置确定一元二次不等式的解集。 对于一元二次方程 ，设判别式 ，根据 的符号可分为 ， ， 三种情况，相应地，二次函数 的图象与 轴的位置关系也分为三种情况。我们分三种情况讨论对应一元二次不等式的解集，如下表： 三、 一般一元二次不等式的解集讨论 对于可化为 形式的一元二次不等式，其求解过程可以用框图清晰表示： 四、 求解一元二次不等式的流程 例1题目 求不等式 的解集。 解答 我们按照教材中“一元二次不等式求解三步法”进行系统求解： 第一步：转化为对应的一元二次方程，求零点（即根） 令 ，计算判别式： 说明该方程有两个不相等的实数根。用求根公式解得： 所以 ， 。 这两个实数根就是二次函数 的零点，也是图象与 轴交点的横坐标。 解答 第二步：分析二次函数图象开口方向与零点位置 由于二次项系数 ，抛物线开口向上； 零点为 和 ，将 轴分为三段： 、 、 。 结合开口向上的抛物线性质： 当 或 时，图象在 轴上方，即 ； 当 时，图象在 轴下方，即 ； 在 和 处， 。 解答 第三步：根据不等号方向写出解集 原不等式为 ，即要求函数值大于 0 的 的取值范围。 由上可知，满足条件的是： 因此，解集为： 对应图象如下（教材图2.3-2）： 解答 总结 1.题目考查内容 ① 一元二次不等式的定义与基本形式； ② 一元二次方程根与二次函数零点的关系； ③ 利用二次函数图象（开口方向、零点位置）判断函数值正负区间； ④ 数形结合思想在不等式求解中的应用。 2.题目求解要点 ① 先解对应方程 ，准确求出两个实数根 、 ； ② 明确二次函数 开口向上（因 ），从而确定“大于0”的区域在零点两侧； ③ 严格按不等号方向选取区间，注意“>”对应图象上方区域，不含端点（因不等式严格）； ④ 最终用集合语言规范表达解集： 。 例2题目 求不等式 的解集。 解答 第一步：求对应方程的根 令 ，计算判别式： 说明该方程有两个相等的实数根（即重根）。 解得： 即 ，这是二次函数 的唯一零点（顶点在 轴上）。 解答 第二步：分析图象特征 因 ，抛物线开口向上； 且仅与 轴相切于点 ，其余部分均在 轴上方。 即： 当 时， ； 当 时， 。 解答 第三步：写出解集 原不等式为 ，要求函数值严格大于 0， 故需排除使函数值为 0 的点 ，其余所有实数均满足。 因此解集为： 对应图象如下（教材图2.3-3）： 解答 总结 1.题目考查内容 ① 判别式 对应的二次函数图象特征（与 轴相切）； ② 重根情形下不等式解集的特殊结构（全体实数除去一个点）； ③ 严格不等号（>）对解集端点的处理（不包含零点）。 2.题目求解要点 ① 准确计算判别式并识别 情形； ② 明确重根即为函数最小值点（顶点），且最小值为 0； ③ 开口向上 ⇒ 函数值除顶点外恒正 ⇒ 解集为 ； ④ 规范书写：用集合符号表达“除某一点外的所有实数”。 例3题目 求不等式 的解集。 解答 第一步：将不等式化为标准形式（首项系数为正） 原不等式为 ，两边同乘 （注意不等号方向改变）： 第二步：求对应方程的根 令 ，计算判别式： 说明该方程无实数根，即二次函数 与 轴无交点。 第三步：分析图象位置 因 ，抛物线开口向上； 又无实数零点 ⇒ 整个图象始终在 轴上方 ⇒ 对任意实数 ，都有： 因此，不等式 恒不成立，解集为空集。 第四步：还原原不等式解集 因 等价于 ，而后者无解， 故原不等式的解集为： 解答 总结 1.题目考查内容 ① 一元二次不等式首项系数为负时的标准化处理（乘 并变号）； ② 判别式 对应的图象特征（开口向上时恒正，开口向下时恒负）； ③ 空集 的含义与规范表达。 2.题目求解要点 ① 必须先将不等式化为 或 且 的标准形式； ② 时，若 ，则 恒成立， 恒不成立； ③ 注意逻辑等价性：原不等式解集与转化后不等式解集完全一致； ④ 最终结论必须明确写出 ，不可写“无解”等非数学符号。 例4题目 一家车辆制造厂引进摩托车装配流水线，产量 （辆）与创造价值 （元）关系为： 若希望一周创收超过 60000 元，问应生产多少辆摩托车？（ 为整数） 解答 第一步：建立不等式模型 由题意，要求 ，即： 移项整理（所有项移到左边）： 为便于求解，两边同除以 （注意不等号方向改变）： 解答 第二步：解对应方程，求零点 令 ，计算判别式： 解得： 所以 ， 。 解答 第三步：结合图象确定解集 因 ，抛物线开口向上，零点为 和 ， 故 的解集为两零点之间： 第四步：结合实际意义取整 题目中 表示摩托车数量，必须为正整数， 满足 的整数为： 共 9 个整数值。 对应图象如下（教材图2.3-6）： 解答 总结 1.题目考查内容 ① 一元二次不等式在实际问题中的建模能力； ② 不等式变形中系数符号变化对不等号方向的影响； ③ 解集与实际背景（整数约束）的结合处理。 2.题目求解要点 ① 实际问题中需准确提取数量关系，建立含 的不等式； ② 化简时优先使二次项系数为正，避免符号误判； ③ 解集区间端点为整数时，严格按“严格不等号”排除端点； ④ 最终答案必须回归实际意义：取区间内全部整数解，并明确表述为“51 至 59 辆”。 例5题目 某种汽车刹车距离 （单位：m）与车速 （单位：km/h）满足： 若测得刹车距离大于 ，求刹车前车速至少为多少 km/h？（精确到 1） 解答 ⚠️ 注意：教材此处存在明显笔误！ 原式中 是关于 的二次函数， 但教材后续却错误写成 （三次式），且称其为“三次函数”，属严重错误。 我们按正确数学逻辑修正并求解： 第一步：建立不等式 由 ，代入公式： 两边同乘 180（最小公倍数，消分母）： 整理为标准二次不等式： 解答 第二步：解对应方程 令 ，判别式： 计算 ： 因 ， ，而 介于其间， 试算： ， ， 故 （可用计算器得 ） 解得： 取正根（车速 ）： 解答 第三步：确定解集并取整 因 ，抛物线开口向上， 不等式 的解集为： 其中 （舍去，车速不能为负），故只需 。 题目要求“至少为多少”，即最小整数满足条件： （注：教材图2.3-7标注为“三次函数图象”，实为二次函数，属配图错误；正确图象应为开口向上的抛物线，与 轴交于负根与正根 ） 总结 1.题目考查内容 ① 实际问题中从文字描述抽象出数学不等式模型的能力； ② 分式不等式化为整式二次不等式的运算技巧（通分/去分母）； ③ 利用求根公式与近似计算解决实际精度要求问题； ④ 对物理量实际意义的检验（如 ）。 2.题目求解要点 ① 严格依据给定公式列不等式，避免教材笔误干扰（不出现 ）； ② 去分母时注意乘正数不改变不等号方向； ③ 判别式计算后，只取符合实际意义的正根； ④ “至少”对应“大于某数的最小整数”，需向上取整（ ）。 题目 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m²，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为 m，则另一条边长为 m，由题意得 ，其中 。 整理得 ， 。① 求不等式①的解集，即得所求边长范围。 解答 第一步：建立不等式模型 由周长为24 m，知矩形长与宽之和为12 m。设一边长为 ，则邻边为 ，面积为 。 要求面积大于20 m²，即 展开整理： 两边同乘 （注意不等号方向改变）： 定义域约束：因边长必须为正，故 且 ，即 。 解答 第二步：求对应一元二次方程的根 解方程 ： 判别式 ， 两实根为： 即 解答 第三步：结合二次函数图象确定解集 考虑二次函数 ，其图象为开口向上的抛物线（因 ），零点为 和 。 由图象性质可知： 当 或 时， ； 当 时， 。 因此不等式 的解集为 解答 第四步：与定义域取交集 原问题中 还需满足 ，而 ， 故最终解集为 即：当矩形一条边长 满足 （单位：m）时，面积大于20 m²。 此时另一条边长为 ，也落在 区间内（因若 ，则 ），符合实际意义。 总结 1.题目考查内容 ① 一元二次不等式的实际建模能力； ② 二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系（数形结合）； ③ 解一元二次不等式的基本方法：求根→画图→定符号→写解集→结合实际定义域取交集。 2.题目求解要点 ① 正确设元并依据几何条件（周长、面积）列出不等式； ② 将不等式化为标准形式 （ 为佳）； ③ 计算判别式 ，判断根的情况； ④ 利用“开口向上，小于0取两根之间”或“开口向下，小于0取两根之外”的规律确定解区间； ⑤ 必须检验变量的实际意义（如边长为正、分母不为0等），将数学解集与定义域取交集。 3.同类型题目解题步骤 1. 审题建模：明确变量含义，根据题设条件（如周长、面积、利润、销量等）列出含二次式的不等式； 2. 整理变形：移项、合并同类项，化为标准形式 或 ，优先使 ； 3. 求对应方程根：解 ，计算 ，分类讨论： 　　- 若 ，得两不等实根 ； 　　- 若 ，得重根 ； 　　- 若 ，无实根； 4. 数形结合定解集： 　　- 当 时： 　　　　• 的解集为 （ ），空集（ ）； 　　　　• 的解集为 （ ）， （ ），全体实数（ ）； 5. 结合实际限制（如 、分母非零、整数解等）对解集进行修正，取交集； 6. 作答：用区间或集合语言规范写出最终结果，并可依题意给出实际解释（如边长范围、售价区间等）。 课堂总结 感谢聆听 THANK YOU $