第五章 二次函数 重难点训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二次函数 题型1 列二次函数关系式 题型2 把化成顶点式 题型3 的图象与性质 题型4 的最值 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型6 一次函数，二次函数图象综合判断 题型7 反比例函数，二次函数图象综合判断 题型8 两个二次函数图象综合判断 题型9 二次函数的平移 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的实际应用 题型12 求抛物线与x轴的交点坐标 题型13 求抛物线与y轴的交点坐标 题型14 根据交点确定不等式的解集 【列二次函数关系式】 1．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 2．如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据垂线的定义得到，可知，根据可知四边形是平行四边形； （2）先证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而可知平行四边形是菱形，得到，根据三角函数得到，根据菱形面积公式即可求出与的函数关系式． 【详解】（1）证明：中，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：中，，， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形 ， 中，， ， 四边形的面积y与x的函数关系式为． 3．某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 【把化成顶点式】 4．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【的图象与性质】 7．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 9．已知二次函数，其中 ，图像过，，其中 ． (1)求出此二次函数的对称轴． (2)若，则当和分别为何值时， ． (3)设，若 ，求 的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) ， (3) 【分析】（1）将二次函数解析式化为一般式，然后根据对称轴公式求解即可； （2）令 ，解一元二次方程得出 或，再由题意即可得出结果； （3）根据题意计算，然后化简约分，得出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 对称轴为 ， ∵， ∴对称轴为：； （2）令 ， 代入解析式得 整理得 因式分解得 解得 或 ∵， ∴ ，； （3）根据题意得： ， ， ， ∵， ∴ ， ∴ ∵， ∴ ∵ ， ∴ ，即 ． 【的最值】 10．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 【答案】(1)点A的坐标为，抛物线与y轴交点的坐标为． (2)抛物线对应的二次函数表达式为；函数值y随x的增大而减小时x的取值范围是． (3)m的值为或． 【分析】（1）将代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； （2）顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； （3）分和时讨论：当且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； （2）解：∵顶点坐标， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点在第一象限， ∴， ∴此时抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：； （3）解：∵， ∴函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得或(正值舍去)， 故m的值为或． 11．我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 12．已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． (1)当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； (2)当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，， (2)①线段的表达式为；② 【分析】（1）根据待定系数法确定反比例函数关系式，从而求出的值；直线的解析式为，分别取，求出一次函数和反比例函数对应的函数值，看符合整点的个数即可解答； （2）①利用待定系数法即可求出线段的解析式；②设，将点P的坐标代入，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则反比例函数关系式， ∵反比例函数经过点， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 综上，此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有个； 故答案为：，，； （2）解：①当时，则， 设线段的表达式为，则， 解得， ∴线段的表达式为； ②∵线段的表达式为； 设， ∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 即点从点到点的运动过程中，的最大值为． 【二次函数图象与各项系数符号】 13．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 15．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【一次函数，二次函数图象综合判断】 16．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 17．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 18．抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数与一次函数的知识，关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质； 根据二次函数图象开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的正负，根据一次函数经过的象限，确定a的正负、b的正负，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 【反比例函数，二次函数图象综合判断】 19．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 20．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 21．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 【两个二次函数图象综合判断】 22．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 23．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 【答案】(1)①；②它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6） (2)①它们是 “比例”抛物线；②或 【分析】（1）①利用题干所给“比例”抛物线的定义分析列比例式即可求得； ②联立解方程组写出交点坐标即可； （2）①利用题干所给“比例”抛物线的定义列比例式分析即可求得； ②题干告知，要求的值，分别表示D，E，F三点的坐标，并利用距离坐标公式求知答案． 【详解】（1）解：（1）①∵与是“比例”抛物线． 所以即， 解得； ②， 消去y得 ， 整理得， 解得：， ∴， ∴它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6）； （2）①∵，，根据所给“比例”抛物线的定义，满足定义， ∴它们是 “比例”抛物线； ②∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴或． 【二次函数的平移】 24．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 25．将二次函数的图象向下平移个单位，再向右平移个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则的取值范围_____． 【答案】 【详解】由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：， 联立， 即， 整理得， 两函数图象有公共点， ，解得． 26．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 【待定系数法求二次函数解析式】 27．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 28．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 29．已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应的值如表： … … … … (1)该函数图象的对称轴为直线__________； (2)求该函数的表达式，并在下图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）； (3)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据纵坐标相同的两个点是对称点，且对称轴为对称点横坐标之和的一半，计算即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得和是对称点， 故对称轴为直线； （2）解：根据题意，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 画图略； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，取得最大值，且， ∴y的取值范围是． ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根， ∴． 【二次函数的实际应用】 30．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 31．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 32．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【求抛物线与x轴的交点坐标】 33．抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 34．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，该抛物线的顶点C的坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点，在什么情况下，的周长最小； (3)已知上的点F 在直线的下方， 且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)以为对称轴作点D的对称点，当点，E，B三点共线时周长最小 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）以为对称轴作点D的对称点，然后根据轴对称的性质即可求解； （3）设点F为，先求出点A的坐标，再求出直线的表达式，得出，然后利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为 ∴设表达式为 ∵图像过点， ∴， ∴， ∴表达式为； （2）如图，以为对称轴作点D的对称点 ∵， ∴， ， 即当点，E，B三点共线时周长最小 （3）设点F为，如图， ∵A，B为二次函数与x轴的交点 ∴当时，有 即 ． 设直线的表达式为，将点A代入 有 解得 当时， ， ， 解得， ． 35．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)，32 【分析】(1) 当时，．当时，．计算求解即可． (2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可． (3)设点P的坐标为，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的最值思想计算即可． 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值． 【详解】（1）当时，．解得，． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别是，． 当时，． ∴点C的坐标是． （2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点D． ∵四边形为菱形， ∴，且． ∴，即P点的纵坐标为． 由，得 ，（不合题意，舍去）． 所以存在这样的点，此时点P的坐标为． （3）连接PO，作同于点M，轴于点N． 设点P的坐标为， ∵点A，B，C的坐标分别是，，， ∴，，，，． ∴ ∴当时，． 此时点P坐标为． ∴当点P运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 【求抛物线与y轴的交点坐标】 36．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 37．如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次函数与面积综合问题，涉及待定系数法求函数解析式： （1）运用待定系数法求解； （2）先求出点，，那么轴，再运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点是抛物线上一点， ∴将点代入得：， ∴， 对于，当， ∴， ∴轴， ∴， ∴的面积为． 38．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为，则，利用勾股定理结合得到，解得，则，可设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出． 【详解】解：在中，令，则， ∴， 在中，令，则，解得或， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线经过A、B， ∴可设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【根据交点确定不等式的解集】 39．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 40．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 41．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二次函数 题型1 列二次函数关系式 题型2 把化成顶点式 题型3 的图象与性质 题型4 的最值 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型6 一次函数，二次函数图象综合判断 题型7 反比例函数，二次函数图象综合判断 题型8 两个二次函数图象综合判断 题型9 二次函数的平移 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的实际应用 题型12 求抛物线与x轴的交点坐标 题型13 求抛物线与y轴的交点坐标 题型14 根据交点确定不等式的解集 【列二次函数关系式】 1．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 2．如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 3．某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【把化成顶点式】 4．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【的图象与性质】 7．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，其中 ，图像过，，其中 ． (1)求出此二次函数的对称轴． (2)若，则当和分别为何值时， ． (3)设，若 ，求 的取值范围． 【的最值】 10．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 11．我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 12．已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． (1)当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； (2)当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 【二次函数图象与各项系数符号】 13．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 15．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【一次函数，二次函数图象综合判断】 16．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 17．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【反比例函数，二次函数图象综合判断】 19．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 20．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 21．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【两个二次函数图象综合判断】 22．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 23．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 【二次函数的平移】 24．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 25．将二次函数的图象向下平移个单位，再向右平移个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则的取值范围_____． 26．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【待定系数法求二次函数解析式】 27．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 28．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 29．已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应的值如表： … … … … (1)该函数图象的对称轴为直线__________； (2)求该函数的表达式，并在下图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）； (3)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围． 【二次函数的实际应用】 30．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 31．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 32．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【求抛物线与x轴的交点坐标】 33．抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 34．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，该抛物线的顶点C的坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点，在什么情况下，的周长最小； (3)已知上的点F 在直线的下方， 且，求点F的坐标． 35．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【求抛物线与y轴的交点坐标】 36．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 37．如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，求的面积． 38．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______． 【根据交点确定不等式的解集】 39．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 40．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 41．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $