第五章 二次函数 章末复习作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过基础巩固与综合应用结合，覆盖定义、图像性质、平移及实际应用，融入刹车距离、跳水运动等真实情境，培养抽象能力、模型意识与运算能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|二次函数定义、顶点坐标、图像平移|结合正方形几何背景（第6题），考查数形结合| |填空题|7|对称轴、开口方向、交点问题|分层设问（第9题分点考查性质与平移）| |解答题|7|利润最值、运动轨迹、刹车距离模型|设置跳水运动（18题）、刹车距离（19题）等真实情境，培养模型意识与应用能力|

第五章二次函数章末复习 一、选择题 1.下列函数是二次函数的是      A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是    A. B. C. D. 3.将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为    A. B. C. D. 4.已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系为    A. B. C. D. 无法确定 5.如图为二次函数的图象，则下列说法： ①                      ② ③             ④当时， 其中正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图，抛物线经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为    A. B. C. D. 二、填空题 7.若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围为          . 8.二次函数的图象的对称轴是          . 9. 已知抛物线 ①开口方向          ; ②顶点坐标为          ; ③对称轴为          . 先将抛物线向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为          . 10.已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式为          . 11. 已知抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的根是          ，判别式           抛物线，与x轴的交点坐标为          ，对称轴为          ，当x满足          时， 12.矩形的周长为16cm，它的一边长为单位：，它的面积为单位： 与x之间的函数关系式为          ; 当x          cm时，y的最大值是           13.已知二次函数图象的一部分如图所示，有以下结论：①②当时，函数有最大值;③方程的解是，④其中正确的是          填序号 三、解答题 14.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架如图，如果恰好用完整根铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大? 15.已知二次函数求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点. 16.某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量单位：件与销售单价单位：元满足一次函数关系，且当时，；当时， 求y与x之间的函数关系式； 这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ 17.如图，抛物线和都经过x轴上的A，B两点，且分别交y轴于点C，D，两条抛物线形状相同，开口方向相反. 求a，b的值; 连接AC，AD，BC，BD，求四边形ACBD的面积. 18.某跳水运动员在进行跳水训练时，身体看成一点在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.已知跳板AB长为2m，跳板距水面CD高BC为3m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到距水面最大高度4m，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系. 求这条抛物线的解析式. 求运动员落水点与点C的距离. 19.【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离. 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离单位：与刹车后行驶的时间单位：之间成二次函数关系;②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间单位：的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止. 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： 求y关于t的函数解析式不要求写出自变量的取值范围 汽车刹车4s后，行驶了多长距离? 若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车?试说明理由. 20.如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC， 求抛物线的解析式; 求证：AB平分 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  2.【答案】C  3.【答案】D  4.【答案】A  5.【答案】C  6.【答案】B  7.【答案】且  8.【答案】直线  9.【答案】【小题1】 向下 直线 【小题2】   10.【答案】  11.【答案】【小题1】 ， > 【小题2】 ， 直线   12.【答案】【小题1】 【小题2】 16   13.【答案】①②  14.【答案】解：设窗架的长AD为x m，则宽AB为 则，即 要使窗架的面积最大， 则，宽为 该窗的AB，AD分别为1m，时，窗户的面积最大.   15.【答案】证明：，                                           ， 不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点.  16.【答案】【小题1】 解：设y与x之间的函数关系式为 依题意，得 解得 与x之间的函数关系式为 【小题2】 解：设每天获得的利润为w元. 由可得 ，且，， 当时，w有最大值，最大值为 答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元.   17.【答案】【小题1】 抛物线和形状相同， 开口方向相反，且都经过x轴上的A，B两点， ， 【小题2】 由知，，， ，， 令，解得， ，，，   18.【答案】【小题1】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 将点代入上式，得，解得 这条抛物线的解析式为 【小题2】 当时，， 解得不符合题意，舍去， 运动员落水点与点C的距离为   19.【答案】【小题1】 解：设y关于t的函数解析式为 将，，代入上式， 得解得 关于t的函数解析式为 【小题2】 由，得， 当时， 汽车刹车4s后，行驶了 【小题3】 会撞到.理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了 ，该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车.   20.【答案】【小题1】 解：将，代入， 得 解得 抛物线的解析式为 【小题2】 证明：由题意，得，， 如图，取点，则 ，， 又， ≌ 平分 【小题3】 存在.理由如下： 如图，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点 抛物线的对称轴为直线， 则 ，，， ， 又， 同理可得 点M的坐标为或   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $