第二十六章《二次函数》单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十六章二次函数基础卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识点，通过基础巩固与能力应用梯度设计，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移|结合图像辨析考查几何直观，如第11题一次函数与二次函数图像综合判断| |填空题|4/8|顶点坐标、函数值计算、交点距离|通过表格数据考查推理能力，如第19题利用对称性求方程解| |解答题|8/62|解析式转化、实际应用（利润/水流高度）、新定义（等距点）|设置“等距点”创新问题（第27题），体现模型意识与创新思维，如结合生活情境的利润最大化问题（第26题）|

人教版九年级上册数学第二十六章单元检测卷 二次函数（基础卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.       B. C.       D. 2.二次函数的顶点坐标是（ ） A.       B.       C.       D. 3.抛物线与轴的交点坐标是（ ） A.       B.       C.       D. 4.将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A.       B.       C.       D. 5.二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A.0个       B.1个       C.2个       D.无法确定 6.若抛物线与轴有且只有一个公共点，则的值为（ ） A.0      B.1      C.2      D.3 7.二次函数的最大值是（ ） A.0      B.2      C.4      D.8 8.对于二次函数y＝2x2+1，下列说法中不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝1 D．当x＜0时y随x的增大而减小 9.已知点，在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A.       B.       C.       D.无法确定 10.二次函数，满足条件，则该图象一定经过点（ ） A.       B.       C.       D. 11.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（　　） A. B． C． D． 12.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，则获得利润（元）与售价（元）之间的函数关系式为（ ） A.       B.       C.      D. 13.若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 14.某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 15.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a+b+c＞0 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.抛物线的顶点坐标是_____________． 17.若二次函数的图象经过点，则的值为__________． 18.若抛物线与轴交于、两点，则的长为________． 19.某已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣1 1 3 … y … 4 ﹣4 ﹣4 … 则关于x的方程ax2+bx+c＝4的解为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题8分）已知二次函数． （1）将函数解析式化为的形式； （2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． 21.（本题6分）已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 22．（本题7分）已知函数． （1）当为何值时，此函数是一次函数？ （2）当为何值时，此函数是二次函数？ 23.（本题8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（2，5）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 24.（本题8分）如图，抛物线经过点，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上第一象限内一动点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 25.（本题8分）已知抛物线． （1）求证：无论取何值，该抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴的两个交点分别为、，求线段的长． 26.（本题8分）某商店以每本40元的价格购进一批 “风韵云南”东巴纸手账本，由试销知，每天的销量y（本）是每本售价x（元）（）的一次函数，且满足下表： 售价x（元） 50 60 65 销量y（本） 100 80 70 （1）求y关于x的函数表达式； （2）每本售价多少元才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 27.（本题10分）阅读下列材料，解答问题： 对于二次函数（），我们规定：若该函数图象上存在一点，满足到轴的距离等于到轴的距离，则称点为该二次函数的“等距点”． 例如：二次函数的图象上，点到轴和轴的距离均为0，所以是该函数的一个“等距点”． （1）求二次函数的“等距点”的坐标； （2）若二次函数有且仅有一个“等距点”，求的值． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 答案：C 解析：二次函数的定义是形如（）的函数.A选项是一次函数，B选项是反比例函数，D选项未注明，C选项符合二次函数定义，故选C. 1. 答案：A 解析：二次函数顶点式的顶点坐标为.中，，故顶点坐标为，故选A. 1. 答案：B 解析：抛物线与轴交点即时的函数值.当时，，故交点坐标为，故选B. 1. 答案：A 解析：抛物线平移遵循"左加右减，上加下减".向左平移2个单位得，再向下平移1个单位得，故选A. 1. 答案：C 解析：判别式，故抛物线与轴有2个交点，故选C. 1. 答案：B 解析：抛物线与轴有且只有一个公共点，则.，解得，故选B. 1. 答案：C 解析：，开口向下，当时取得最大值，故选C. 1. 答案：C 解析：，，开口向上，A正确；顶点，最小值为，B正确；对称轴为（轴），故C错误；时随增大而减小，D正确.故选C. 1. 答案：A 解析：抛物线，对称轴为.到对称轴距离为，在对称轴上.开口向上，离对称轴越远函数值越大，故，故选A. 1. 答案：B 解析：，即当时，，故图象一定经过点，故选B. 1. 答案：C 解析：中，二次项系数为，常数项，故抛物线过点.一次函数过.若，抛物线开口向上，一次函数过一、三、四象限；若，抛物线开口向下，一次函数过二、三、四象限.结合选项，C符合的情形，故选C. 1. 答案：A 解析：利润=单件利润×销量=，故选A. 1. 答案：C 解析：分两种情况：①当时，函数为，是一次函数，与轴有交点；②当时，二次函数与轴有交点，则，解得且.综合①②得，故选C. 1. 答案：C 解析：，故当时，取得最大值，即水流最大高度为cm，故选C. 1. 答案：C 解析：由图象可知，抛物线开口向上，；对称轴，故；与轴交于负半轴，，则，A错误；对称轴，即，，，，B错误；由图象知时，D错误；时，，又，可得，C正确.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 15. 答案： 解析：，顶点坐标为. 16. 答案： 解析：将代入，得，，解得. 17. 答案： 解析：令，，，解得，，故，，. 18. 答案：，（或或） 解析：由表格可知，时，时，时.对称轴为.方程即函数值为时对应的值，由表格知时，再由对称性知时，故解为，. 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 19. （本题8分） 解： （1）. （2），抛物线开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线. 20. （本题6分） 解： （1）将代入，得，，解得. （2）点在该二次函数的图象上. 理由：由（1）知，当时，，因此点在该二次函数的图象上. 21. （本题7分） 解： （1）函数为一次函数，需满足二次项系数为且一次项系数不为： ，解得或. 又，故. 即当时，此函数是一次函数. （2）函数为二次函数，需满足二次项系数不为： ，解得且. 即当且时，此函数是二次函数. 22. （本题8分） 解： （1）将、代入： 代入得，，. 故二次函数解析式为. （2），对称轴，顶点. 当时： 在处取得最小值； 在处取得最大值（但取不到），时； 当时，. 故的取值范围为. 23. （本题8分） 解： （1）设抛物线解析式为，代入： ，解得. 故抛物线解析式为. （2）设，. ， 的面积 . 当时，取得最大值，此时. 故点坐标为，面积的最大值为. 24. （本题8分） 解： （1）证明：. 故无论取何值，该抛物线与轴总有两个不同的交点. （2）令，. 解得，即，. 故，，. 即线段的长为. 25. （本题8分） 解： （1）设关于的函数表达式为，代入、： 两式相减得，，代入得. 故，经检验也满足. 关于的函数表达式为（）. （2）设每天的利润为元，则 . 由，且二次函数开口向下，对称轴， 故当时，取得最大值，最大值为： . 答：每本售价元时，每天的利润最大，最大利润为元. 26. （本题10分） 解： （1）设“等距点”的坐标为或，即. ①若，代入： ，即， ，. 此时两点坐标为和. ②若，代入： ，即， ，. 此时两点坐标为和. 综上，二次函数的“等距点”有4个，分别为： （2）设“等距点”的坐标为或. ①若，代入： ，即.　　……① ②若，代入： ，即.　　　……② 函数有且仅有一个“等距点”，分以下情况讨论： 情况1：方程①和②中，一个有等根且另一个无实根. 方程①有等根：，，此时. 代入方程②：，，无实根.符合题意. 方程②有等根：，，此时. 代入方程①：，，有两个不等实根.此时总"等距点"数为，不符合题意. 情况2：方程①和②有且仅有一个公共根，且该公共根在两者中均为单根，另一根相同. 设公共根为，则 两式相减得，. 代入得. 此时方程①为，根为或； 方程②为，根为或. 公共根为，总“等距点”有3个（、、），不符合题意. 情况3：方程①和②的根完全相同（此时两方程完全相同，不可能，因为一次项系数不同）. 综上所述，当时，二次函数有且仅有一个“等距点”. 第页共页 第页共页 学科网（北京）股份有限公司 $