第二十六章 二次函数 单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册二次函数单元卷，通过选择、填空、解答题全面考查二次函数定义、图像性质及实际应用，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、图像变换|基础概念辨析，如判断二次函数、抛物线对称轴| |填空题|8/24|增减性、交点问题、实际情境应用|结合抛物线形拱桥、实心球投掷等情境，体现数学建模| |解答题|6/46|解析式求解、利润最值、几何综合|综合应用如商场利润计算、跳水轨迹分析，培养数学思维与问题解决能力|

第二十六章 二次函数 单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的对称轴是(    ) A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 3.若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点  (    ) A. B. C. D. 4.抛物线与坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 5.下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是(    ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是(    ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 8.如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是(    ) A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 9.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为(    ) A. B. C. D. 10.某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：有下列结论： ； 池底所在抛物线的解析式为； 池塘最深处到水面的距离为； 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知二次函数． 若随增大而减小，则的取值范围为          ． 当时，随增大而减小，则的取值范围为          ． 12.已知抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，，则方程的解是          ． 13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米；当水面下降          米时，水面宽米． 14.已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的解析式可以是          写出一个即可 15.二次函数在的范围内有最小值，则的值为          ． 16.当，且时，称点与点为一对“反射点”若关于的二次函数的函数图象上至少存在一对“反射点”，则实数的范围是        ． 17.如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则           18.已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论： 的最大值为； ； 当时，随的增大而减小； ． 其中正确的序号为        ． 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． 求的值； 在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； 点在中的函数图象上吗？请说明理由． 20.本小题分 已知抛物线与轴有两个不同的交点． 求的取值范围； 若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由． 21.本小题分 某商场以每件元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量单位：件与销售单价单位：元件之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． 求这段时间内与之间的函数解析式； 在这段时间内，若销售单价不低于元，且商场还要完成不少于件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 22.本小题分 如图，用一段长为篱笆围成一个一边靠墙墙的最大可用长度为的矩形花圃，花圃中间用一道篱笆隔开，求花圃面积的最大值． 23.本小题分 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体看成一点在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时离水面的距离为． 求关于的函数表达式； 求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 24.本小题分 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． 求该抛物线的解析式和顶点的坐标； 设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； 如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】二次函数的图像的对称轴为轴，关于轴对称的点的坐标为，由二次函数对称性可知，点也在二次函数的图像上． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再求解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【解答】 解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，即，解得，则抛物线与轴的交点坐标为． 所以抛物线与坐标轴有个交点． 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律． 根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找到变换规律． 【解答】 解：，顶点坐标是； ，顶点坐标是． 所以将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线， 故选B． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的增减性即可判断、． 【解答】 解：二次函数的图象开口向上， ，故A选项错误； 二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ，故B选项错误； 抛物线的对称轴为直线， 由图象可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故C选项正确，选项错误． 9.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故当时，取得最大值，此时， 故选：． 根据题意，可以得到与的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到的最大值，本题得以解决． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养． 根据图象可以判断；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断；把代入解析式求出，再计算即可判断；把代入解析式即可判断． 【解答】 解：观察图形可知，，故错误； 设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为；故正确； ， 当时，， 故池塘最深处到水面的距离为，故错误； 当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为 时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为，即为原来的，故正确． 故选：． 11.【答案】【小题】   【小题】   12.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与轴的交点的意义就是当取交点的横坐标时，函数值等于，即方程的解为交点的横坐标． 根据抛物线与轴的交点的意义得到当或时，，即可得到方程的解． 【解答】 解：抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，， 当或时，，即方程的解为，． 故答案为，． 13.【答案】  14.【答案】答案不唯一  15.【答案】  【解析】解：，则对称轴为直线当时，有最小值，故． 16.【答案】  【解析】解：由题意，且， 两点都在抛物线上， ． ， ， ， 由，， ，则， ，则． 代入， ，则． 方程至少一实根， ． ． 故答案为：． 依据题意，由且，结合两点都在抛物线上，则，故，从而，进而，由，，可得，则，故，则，代入，进而，则，结合方程至少一实根，从而，故可计算得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17.【答案】  18.【答案】  【解析】解：抛物线开口向下，顶点纵坐标为的最大值为，故正确，符合题意； 对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点在点和点之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和点之间， 当时，，故正确，符合题意； 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，故正确，符合题意； 对称轴是直线， ，故正确．符合题意； 故答案为：． 根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为，对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 19.【答案】【小题】 解：由题意，得 ； 【小题】 由知二次函数解析式为，列表： 描点，连线，如图所示； 【小题】 当时，， 点不在该函数的图象上． 20.【答案】解：抛物线与轴有两个不同的交点， ， ； 抛物线的对称轴为直线， 和点都在对称轴的右侧， 当时，随的增大而增大， ．  【解析】由二次函数与轴交点情况，可知； 求出抛物线对称轴为直线，由于和点都在对称轴的右侧，即可求解； 本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键． 21.【答案】【小题】 解：由题意，设一次函数的解析式为，又过，，解得函数解析式为． 【小题】 由题意得，解得．商场获得的利润，又，，当时，利润最大，最大值为答：当销售单价为时，商场获得利润最大，最大利润是元． 22.【答案】解：设，花圃的面积为 ，则， ， 当时，随的增大而减小． ，， 当时，有最大值为， 花圃面积的最大值为．   23.【答案】【小题】 解： 根据题意可得，抛物线过和，对称轴为直线， 设关于的函数表达式为， ，解得：． 关于的函数表达式为； 【小题】 令， 解得或舍去． 答：运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 24.【答案】解：抛物线的图象经过点， ， 解得， 抛物线的解析式是， 顶点的坐标是； 令， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如图所示： 四边形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形的面积最大； 平行四边形以为边时， 点的坐标是，如图所示， ， ， 整理得，解得：，， 此时点的坐标是，；  点的坐标是， ，如图所示， ，得：，则， 整理得，，解得：，不合题意，舍去， 此时点的坐标是； 平行四边形以为对角线时，如图所示， 根据平行四边形的对角线相互平分可知， ，中点坐标为， ，中点坐标也为， 点， 点坐标为： 点在图象上， ， ， 解得：， 不合题意，舍去， 此时点的坐标是 综上所述，满足条件的点坐标为：，，和．  【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质等有关知识． 利用待定系数法求二次函数解析式即可； 令，然后求出与轴的交点，然后再进行解答即可； 根据题意分为边和为对角线分别画出图形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $