第26章 二次函数 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册人教版第26章二次函数单元检测卷，覆盖定义、图像性质、平移及实际应用，题型全面，梯度分明，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数定义、图像性质、平移、动点问题|基础判断与图像分析结合，如第4题通过表格数据考查对称性与最值，体现推理能力| |填空题|6题|与x轴交点、取值范围、顶点坐标、实际应用|如第16题以投篮轨迹为情境，考查函数模型应用，培养模型意识| |解答题|5题|解析式求解、图像绘制、综合应用|第21题结合抛物线交点与中点坐标，综合考查运算能力与几何直观，符合中考命题趋势|

第26章二次函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知二次函数中的x，y满足下表：根据表中信息，下列判断不正确的是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 0 0 … A．图象开口向上 B．当时， C．图像的对称轴是直线 D．函数的最小值是 5．把抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   7．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点．与y轴交于点C，其对称轴为直线，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图像经过点A，B，C．下面推断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值 C．当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根 D．直线经过点A，C，当时，的取值范围是 10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题 11．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为_________． 12．已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 13．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为_____________ 14．已知二次函数与轴相交于、，则一元二次方程的解是_____． 15．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 16．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为______米． 三、解答题 17．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 19．已知抛物线（m为常数）． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____； (2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 20．已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 21．如图，抛物线：过点，顶点为M． (1)求b的值及点M的坐标 (2)点在上，若，直接写出的取值范围： (3)抛物线： (t为常数，且)，顶点为N． 与交于A，B(A在B的左侧)两点． ①当时，求交点A，B的坐标； ②连接、，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章二次函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B C D C C B 1．A 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c是常数，且）的函数是二次函数，由题意可知，其最高次数为2次，且每一项必须是整式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合定义，是二次函数； B、函数的最高次是1次，故不是二次函数； C、函数中含有分式，故不是二次函数； D、函数中含有分式，故不是二次函数． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值．直接计算点A和B的纵坐标，的值，并比较它们与 1 的大小关系． 【详解】解：将，代入，得： ， ， ∴ ，即 ． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据点A和点B纵坐标相同列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，点A和点B纵坐标相同， ∴函数在和处的值相等， 即， 解得：． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，二次函数的对称性，熟记各性质并准确理解图表数据是解题的关键．根据二次函数的增减性和对称性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由表可知，y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大，所以，抛物线开口向上，故本选项不符合题意； B、由表可知当时，正确，故本选项不符合题意； C、∵和1时的y的值相等， ∴图象的对称轴是直线正确，故本选项不符合题意； D、时函数有最小值，一定小于，故本选项符合题意． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题关键．根据二次函数平移规则，向下平移时，函数解析式中的常数项减少平移单位数，即可作答． 【详解】解：把抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选 B． 6．C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 7．D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．从抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，特殊函数值的角度逐一对选项进行分析即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴，即， ，选项A错误； 抛物线与轴交点在轴正半轴， ，选项B错误； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ，选项C正确； 当时，， ，选项D错误． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 依据题意，结合函数图像，利用二次函数的对称性，以及函数图像与不等式和方程的关系逐项判断得出答案． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下，故A错误； ②若当时，取最大值，则对称轴应为直线， ∵点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等， 但是图中点和点纵坐标显然不相等，故B错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点， 则当时，抛物线与直线有两个交点， 即关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故C是正确的； ④∵直线经过点，， ∴当时，的取值范围是或．从而D错误； 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像和系数之间的关系．先根据函数开口向下判断a的负号，再根据函数与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据函数的顶点和点B即可确定函数经过点，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出之间的等量关系，根据即可得出之间的关系，最后将代入函数表达式即可得出结论；④根据二次函数与一元二次方程之间的关系即可进行解答． 【详解】解：①函数开口向下， ， 函数图象与y轴交于正半轴， ， ，故①正确； ②顶点为， 函数对称轴为直线， 函数经过点， 函数经过点， 当时， ， 故②不正确； ③函数对称轴为直线， ， 由②可知：， 故， 当时，， 函数经过点， ，即， 故③正确； ④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根， 由抛物线对称性可知，方程另一根为， 故④不正确； 综上所述：正确的有①③． 故选：B． 11．2 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由二次函数图象与x轴只有一个公共点，可知对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式为零求解，并注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2 12． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且，开口向上 当时，， ∵对称轴在范围内， ∴y的最小值为 当时， 当时， ∴的取值范围为 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键，先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律得到新顶点坐标，最后写出新抛物线的顶点式解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，顶点坐标变为，由于平移不改变二次项系数，故新抛物线解析式为． 故答案为：． 14．， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，即可解答． 【详解】解：由二次函数与x轴相交于、， 可知一元二次方程的根为或． 故答案为，． 15． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，分别求出两个函数图像顶点坐标，根据勾股定理列方程求出a的值即可． 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 16．2 【分析】本题考查二次函数与实际问题，理解题意是解题的关键．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 18．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点式，从而确定顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，再把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 则， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， （3）解：结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 依题意，把代入，得， ∴当时，y的取值范围为． 19．(1)①，②或 (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，掌握函数与方程和不等式的关系是解决本题的关键． （1）①把代入解析式，利用待定系数法求解析式；②根据解析式，得到二次函数开口方向和对称轴，利用，得到点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，得到 或，再根据，即可求解． （2）根据对于任意实数x，都有，得出对于任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出m的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； ②可知抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， 即，解得或， 又， 或， 解得或． （2）解：对于任意实数x，都有， 对于任意x都成立， ，即， ， 抛物线的解析式为， 令，得，解得，， 点M、N的横坐标分别为和， ． 20．(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 21．(1)， (2) (3)①，；② 【分析】（1）将代入求出，将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）当时，，当时，，根据对称轴和取值范围即可求解； （3）①当时，求出抛物线的解析式，联立与的解析式，即可求解； ②设、，，联立、的解析式得，由韦达定理得，， 由中点坐标得，，线段的中点坐标为，求出线段的中点坐标为，线段与线段的中点重合，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ， 解得， ， ． （2）解：当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线， ， ． （3）解：①当时， 抛物线： ， 联立与得， 解得，， ，． ②设、， 联立、的解析式得， ， 整理得， ，， ，， ， ， ，， 线段的中点坐标为， 抛物线： 顶点， ， ， ， 线段的中点坐标为， 线段与线段的中点重合， 线段与线段只有一个交点， ， 故点的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法，二次函数的性质，中点坐标等；熟练利用二次函数的性质及中点坐标求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $