第二十五章 一元二次方程 高频易错题（单元通关检测）-2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元高频易错题，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习，强化核心知识与易错点巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|定义、根与系数关系、实际应用|结合新运算定义考查根的判别式，融入流感传染情境| |填空题|8题|根的性质、换元法、面积问题|设计新运算“*”及下调百分率应用题，体现模型意识| |解答题|7题|解方程、动态几何、规律探究|含“常定数”新定义及矩形小路面积问题，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十五章 一元二次方程高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是分式方程 3．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 6．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 8．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 9．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 10．为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 二、填空题 11．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 12．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 15．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 16．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 17．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 18．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)； 20．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 21．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 23．对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 24．如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 25．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (2)当为何值时，的面积是面积的； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十五章 一元二次方程高频易错题（单元通关检测） 参考答案 1．B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2．A 【详解】解：A、含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是二元二次方程，说法正确，符合题意； B、含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，不是二项方程，说法错误，不符合题意； C、的分母含有未知数，属于分式方程，不是无理方程，说法错误，不符合题意； D、的分母是常数5，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程，说法错误，不符合题意． 3．A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 4．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 5．D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 6．B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 7．D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 8．C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 9．C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 10．D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为，根据两数之积为960，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意： 整理得： 解得：（舍去，不符合题意）， 则（个） 小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是， 故选：D． 11． 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 12．， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 13． 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 15．，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 16． 【分析】先将所求代数式通分变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得： ， ， ． 17． 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 18． 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 19．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 20． 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 21．(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 22．(1)证明：对于一元二次方程，，，， ． ∵无论取何实数，都有， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明判别式恒大于0即可证明结论； （2）先将已知根代入原方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】（1）略； （2）解：把代入原方程，得， 即， 解得． 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 23．(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 24．(1) (2) (3)有，第42个图形的边数正好是1980 【分析】本题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，找出规律是解题的关键． （1）根据前4个图形的边数即可得到规律求出第5个图形的边数； （2）得到规律：正边形“扩展”而来的多边形的边数为，然后再代入求值； （3）根据题意得到方程，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由图形可知，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为； 图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为； 图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的，边数为； …… ∴图⑤中的多边形是由正七边形“扩展”而来的边数为， 故答案为：； （2）解：观察发现，由正边形“扩展”而来的多边形的边数为， 即由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为， 故答案为：； （3）解：有，理由如下： 由题意得： 解得：或（舍） ∴多边形是由正44边形“扩展”而来的，由题规律可知，第42个图形的边数正好是1980． 25．(1)四边形能成为菱形，，理由见解析 (2)或 (3)当或时，为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先求出，再证明；根据题意可得，则，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形， 则当满足时，四边形是菱形，据此建立方程求解即可； （2）先求出，，同理可得，则；由平行四边形的性质得到，再由的面积是面积的，得到，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形能成为菱形，理由如下： ∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由题意得，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当满足时，四边形是菱形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是菱形． （2）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴， ∵的面积是面积的， ∴ 解：或； （3）解：当或时，为直角三角形，理由如下： 当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当 时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $