第三章 图形的相似 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以15类题型构建从概念到应用的完整训练体系，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心内容，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段|基础计算3题|结合比例尺、等高线等实际情境|比例概念的直接应用| |相似多边形性质|选择/填空3题|性质应用与矩形分割|从多边形到特殊图形的性质迁移| |三角形相似判定|选择/证明3题|判定条件辨析与组合应用|判定定理的逻辑推理训练| |黄金分割|选择3题|结合汉字结构、线段计算|特殊比例的几何意义理解| |平行与相似|解答/选择4题|平行判定相似及比例线段|平行线分线段成比例的转化应用| |相似性质与综合|解答/选择4题|面积比、动点综合问题|性质与判定的综合推理应用| |网格与位似|作图/选择6题|网格作图、坐标计算|位似变换与坐标系的结合应用|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 题型1 成比例线段 题型2 相似多边形的性质 题型3 探索三角形相似的条件 题型4 黄金分割 题型5 由平行判断成比例的线段 题型6 利用平行判定相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 相似三角形的判定与性质综合 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 相似三角形实际应用 题型12 判断位似中心 题型13 求两个位似图形的相似比 题型14 求位似图形的对应坐标 题型15 在坐标系中画位似中心 【成比例线段】 1．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 2．在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是______米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 3．下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意； B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意； C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意； D、∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点是函数图象上的两点，且， ∴，原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 【相似多边形的性质】 4．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 5．已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 6．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 __倍． 【答案】3 【分析】如图，连接，求出，而，判定△是等边三角形，得到，，因此，由三角形外角的性质求出，得到，由勾股定理求出，由相似多边形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，由题意，得：， ∵正六边形的外角和为， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 两个正六边形相似， 所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比． 故答案为：3． 【探索三角形相似的条件】 7．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 8．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 9．下列语句叙述正确的是（   ） A．矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．有一个角是的等腰三角形都相似 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题为概念辨析题，需要逐一判断各选项对应几何概念的正误． 【详解】解：∵ 矩形对边中点连线所在直线是矩形的对称轴，因此矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，因此A错误； ∵ 任意三角形的三条高所在直线一定交于一点，符合三角形的基本性质，因此B正确； ∵ 有一个角是的等腰三角形，可以是顶角，也可以是底角，两个三角形内角可能不同，不一定相似，因此C错误； ∵ 对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅满足垂直相等无法判定，因此D错误． 【】 10．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 【由平行判断成比例的线段】 13．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ； D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，证明即可； （2）连接，过点G作于点H， 设的半径为，根据勾股定理，可得，可得的半径，证明，可得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点G作于点H，则， 由（1）得， ，， ， ， G为的中点， ， ， 设的半径为， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， 解得， ， ， ， ，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，，，，根据平行四边形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出点是的中点，，根据三角形中位线的定义和性质得出，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即点是的中点，， ∴是的中位线。 ∴， ∴平行四边形的面积为． 15．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 【利用平行判定相似】 16．已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 17．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 18．在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 【利用相似三角形的性质求解】 19．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 20．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 21．如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【相似三角形的判定与性质综合】 22．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 23．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：由图可得，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 24．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 【在网格中画与已知三角形相似的三角形】 25．图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 26．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，在线段上作点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为； （2）取格点C和点D，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，取格点C和点D，连接，交于点M， ， ， ， ， ，故点即为所求． 27．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）找到的中点，连接，则为的中位线，得到，，进而得到，且相似比为； （2）取格点正上方一个格点处，格点正下方2个格点处，连接这两个格点，交于点，可得相似三角形，得到，进而得到，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，即可得到． 【详解】（1）解：如图，点、即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【相似三角形的动点问题】 28．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 29．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 30．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 【相似三角形实际应用】 31．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 32．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 33．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【判断位似中心】 34．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 35．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 36．如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 【答案】(1)点， (2)作图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）解：作图如下： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【求两个位似图形的相似比】 37．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 38．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 39．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 【求位似图形的对应坐标】 40．如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 41．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 42．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 【在坐标系中画位似中心】 43．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，、、 (2)点见解析， (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了图形的旋转，利用位似变换作图，位似的性质，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质分别确定点、、，然后顺次连接即可； （2）连接并延长与、的延长线相交，交点即为位似中心； （3）延长到，使，延长到，使，连接即可； （4）根据位似比结合位似的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点、、的坐标分别为：、、； 故答案为：、、； （2）解：位似中心的位置如图所示，点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求， （4）解：与的位似比为； 的内部一点的坐标为在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 44．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1) 所作如图所示： (2)是，如图画出， M的坐标为 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 45．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 【答案】(1)图见解析 (2)，过程见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）由位似图形的性质得出所在直线与所在直线的交点坐标即为位似中心，作图即可； （2）根据题意确定直线的解析式为：，求出直线与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 题型1 成比例线段 题型2 相似多边形的性质 题型3 探索三角形相似的条件 题型4 黄金分割 题型5 由平行判断成比例的线段 题型6 利用平行判定相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 相似三角形的判定与性质综合 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 相似三角形实际应用 题型12 判断位似中心 题型13 求两个位似图形的相似比 题型14 求位似图形的对应坐标 题型15 在坐标系中画位似中心 【成比例线段】 1．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 2．在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是______米（用科学记数法表示）． 3．下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 【相似多边形的性质】 4．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 6．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 __倍． 【探索三角形相似的条件】 7．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 8．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 9．下列语句叙述正确的是（   ） A．矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．有一个角是的等腰三角形都相似 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【】 10．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【由平行判断成比例的线段】 13．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 14．如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 15．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【利用平行判定相似】 16．已知：如图，，，则________． 17．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 18．在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【利用相似三角形的性质求解】 19．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 20．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【相似三角形的判定与性质综合】 22．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 23．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D．5 24．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【在网格中画与已知三角形相似的三角形】 25．图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 26．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，在线段上作点M，使得． 27．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【相似三角形的动点问题】 28．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 29．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 30．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【相似三角形实际应用】 31．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 32．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 33．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【判断位似中心】 34．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 35．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 36．如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 【求两个位似图形的相似比】 37．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 38．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 39．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【求位似图形的对应坐标】 40．如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 41．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 42．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【在坐标系中画位似中心】 43．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 44．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 45．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $