第一章 特殊平行四边形重难点训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形的性质判定及综合应用，按“证明-计算-折叠-综合”逻辑分层设计题型，覆盖中考高频考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形|4题型|证明、角度/线段/面积计算、折叠问题|基于平行四边形特殊化，从定义到性质判定的应用| |矩形|6题型|证明、角度/线段/面积计算、斜边中线应用|基于矩形性质，结合折叠动态问题与斜边中线定理| |正方形|5题型|折叠、证明、角度/线段/面积计算|基于正方形性质，综合折叠与几何计算| |中点四边形与综合|2题型|中点四边形性质、综合应用|综合四边形中点连线性质与多图形综合应用|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊的平行四边形 题型1 证明四边形是菱形 题型2 根据菱形的性质与判定求角度 题型3 根据菱形的性质与判定求线段长 题型4 根据菱形的性质与判定求面积 题型5 矩形与折叠问题 题型6 斜边的中线等于斜边的一半 题型7 证明四边形是矩形 题型8 根据矩形的性质与判定求角度 题型9 根据矩形的性质与判定求线段长 题型10 根据矩形的性质与判定求面积 题型11 正方形折叠问题 题型12 证明四边形是正方形 题型13 根据正方形的性质与判定求角度 题型14 根据正方形的性质与判定求线段长 题型15 根据正方形的性质与判定求面积 题型16 中点四边形 题型17 四边形其他综合问题 【证明四边形是菱形】 1．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，作的角平分线交的延长线于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又:四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形． 【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形． 【详解】略 2．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，证明，推出，据此可证明平行四边形是菱形； （2）连接交于点O，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，得到的长，设点A到的距离为h，利用等面积法求出h的值，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接交于点O， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 设点A到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，将一张矩形纸片依次按照图（1）和图（2）的方式对折，并沿图（3）中的虚线剪开，将剪下的I这部分展开，平铺在桌面上，我们得到的图形一定是（     ） A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据折叠的性质和菱形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：由图（1）可知，将矩形纸片沿虚线对折，此时折痕将矩形的一组对边平分，且折痕与矩形的另一组对边平行， 由图（2）可知，在图（1）的基础上，再沿虚线对折，此时两条折痕互相垂直平分， 由图（3）可知，沿虚线剪开，剪下的部分展开后，四条边的长度相等， 根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形． 【根据菱形的性质与判定求角度】 4．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 6．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 【根据菱形的性质与判定求线段长】 7．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可； 【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 8．如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明平行四边形是菱形，得到，再根据三角形中位线定理作答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线 ∴平行四边形是菱形，是的中点， ∵菱形四条边相等，周长为， ∴边长， ∵点E为的中点， ∴． 9．如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，设与相交于点，先由作图得，平分，结合平行四边形证出四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 由题意得，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 【】 10．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为36，，求的长． 【答案】(1)证明：点O是中点， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； (2)8． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，得到，可知四边形是平行四边形，根据可知四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，进而得到，根据完全平方公式得到，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 即， 菱形的面积为36． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 11．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和平行线的性质，得到，即可得到； （2）求得，再利用菱形的性质和勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，，，， 的周长为18， ， ， ， 在菱形中，， 四边形的面积为． 12．如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线可得，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使四边形的面积最大，则需满足， ∴四边形面积的最大值为． 【矩形与折叠问题】 13．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使点落在对角线上的点处，折痕为，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先用勾股定理算出对角线，根据折叠得到线段相等，求出，设，在中利用勾股定理列方程求出x，最后算出即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由折叠得，，，， ， ， 设，则，， 在中，， ，化简得，解得， ． 14．如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用矩形的性质和平行线的性质得到，结合折叠性质得到，从而证得，推出，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质可得：， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ． 15．如图，在矩形中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________．（写出个即可） 【答案】或或 【分析】分情况讨论与的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：在矩形中，， ①当与的夹角为时，即，如图： 根据折叠可得， ， ， ； ②当与的夹角为时，即，或， 如图：当， ， ， ， ； 当，如图： ， ， ， ； 综上，的度数可以是或或． 【斜边的中线等于斜边的一半】 16．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 17．如图，是矩形的对角线的中点．若，则线段的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，因为是矩形的对角线的中点，所以，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，是矩形的对角线的中点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 18．如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在中，，E为的中点， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，再由四边形的面积的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，E分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ∵，， ∴，， 的面积为，的面积为， 四边形的面积的面积的面积． 【证明四边形是矩形】 19．如图，的对角线，交于点，于点，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由已知可得，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再由，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明； （2）根据题意，可求得，再利用角所对直角边等于斜边一半，求得，再利用勾股定理，求得，根据矩形的性质，得到，，，再由勾股定理，求得，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，由勾股定理，得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点为中点， ∴在中，是斜边上的中线， ∴． 20．如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)选① 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形．（答案不唯一） (2)14 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据即可求证四边形是矩形； （2）先利用勾股定理求出，再根据矩形的性质即可求出四边形的周长． 【详解】（1）解：选①略； 也可以选择② 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵． ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴为直角三角形， 在中， ∵，， ∴ ∴矩形的周长为． 21．在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． (2)【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ． (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴； ∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得，四边形是矩形，推出对角线相等，即可得到； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出；，根据菱形的判定，即可； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，等边对等角，得到，，，根据三角形的外角，求出，，根据三角形的内角和，得到，求出，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【根据矩形的性质与判定求角度】 22．如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若的长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，三角函数，勾股定理． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据可证四边形为矩形； （2）根据矩形的性质得到，即，进而根据得到，根据三角函数求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形； （2）解：四边形为矩形， ，即． ， ， 即， ， ， ，即， 在中，，即，解得（负值已舍去）， 的长为5． 23．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 24．如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 【答案】(1)坡底部增加的长度是米 (2)高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； （2）解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【根据矩形的性质与判定求线段长】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据题意设，由轴，轴，，得四边形是矩形，再由点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 26．如图，有一架秋千．当它静止在所处的位置时，踏板离地的垂直高度为．将秋千（始终保持拉直的状态）往前推送至位置，此时，推送的水平距离为，秋千踏板离地的垂直高度为． (1)求的长度． (2)求秋千的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可； （2）在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，四边形是矩形． ∴， ∵， ∴. （2）解：在中，，， 设秋千的长度为m，则， 故，解得：， 答：秋千的长度是． 27．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． (1)【定理证明】根据教材的提示，结合图①完成直角三角形的性质 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 证明：如图①，延长至点，使，连结和． (2)【定理应用】如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，若，则为 ． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连结和， 在四边形中， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，； (2)26 【分析】（1）通过证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图②，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【根据矩形的性质与判定求面积】 28．如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：菱形， ，， ， ，， 设交于点， ∴四边形是矩形， ， 为等边三角形， ， ． ∴四边形的面积． 29．如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 【答案】(1)8 (2) 四边形为菱形，理由如下： 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在中，由勾股定理得， ， ∴四边形为菱形； (3)64 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，菱形的判定： （1）先由矩形的性质得到，根据题意可得，则，再由当时，四边形为矩形，得到，据此可得答案； （2）当时，，再证明四边形是平行四边形，利用勾股定理推出，据此可得结论； （3）连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，即为矩形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， 由已知可得， ， 在矩形中，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． （2）略 （3）解：连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积， ， ∴整个运动当中，线段扫过的面积． 30．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 【正方形折叠问题】 31．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 32．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 【答案】2 【分析】设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴. ，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 33．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 【证明四边形是正方形】 34．如图，已知：在中，，、的平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、． (1)求证：四边形是正方形； (2)如果的长为2，的面积为24，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， 如图，作于点， ∵、的平分线相交于点，，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为矩形，作于点，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）作于点，由（1）可得四边形是正方形，，证明，得出，同理可得，即可得出，从而得出，再由勾股定理和三角形面积公式求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得四边形是正方形，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴的面积． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．点为直角顶点，连接． (1)求直线的解析式； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，求证：四边形是正方形； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：∵轴于点，轴于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先证明四边形是矩形，再证明，得到，即可得证； （3）根据（2）中结论，得到，进而求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴交于两点， ∴设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为. （2）略 （3）解：由（2）可知：，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 36．如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故选：D. 【根据正方形的性质与判定求角度】 37．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 38．如图1，在等腰直角三角形中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图像如图2所示．则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】 根据题意，动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，故第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，证明四边形是正方形，进而解得，再证明为等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】解：∵动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动， ∴第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，如下图， ∵图2中拐点的纵坐标为4， ∴此时四边形的面积为4， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵此时正方形的面积为4， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 39．正方形中，，是直线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰直角，连接． (1)如图1，E是的中点时，与的数量关系是_________，的度数是_________． (2)如图2，若是线段上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)；； (2)成立．证明如下： 过点F作，交延长线于点H，如图， ， 四边形是正方形， ，， ， 在中，，， ， ， ， 在与中, ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，． (3)或 【分析】（1）添加辅助线，过点F作，交延长线于点G，证明与全等，结合边与角的关系，由此可得． （2）添加辅助线，过点F作，交延长线于点H，证明与全等，结合边与角的关系，由此可得． （3）分类讨论在正方形外部时，与在正方形内部时，结合解直角三角形，以及勾股定理求解的长度，再由与的数量关系求解的长即可． 【详解】（1）解：过点F作，交延长线于点G，如图， 即， ∴， 四边形是正方形， ，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：当在正方形外部时， 过点D作交的延长线于点M，如图， ∵，即 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， 可得（负值舍）， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， 在中，， 即，可得， 解得（负值舍）， ∴， ∴， ∵． ∴； 当在正方形内部时， 过点D作交的延长线于点N，如图， ∵，即 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， 可得（负值舍）， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵． ∴； 综上，的长为或． 【根据正方形的性质与判定求线段长】 40．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为20，设长为，菱形的面积为． ①求关于的表达式，以及自变量的取值范围； ②当时，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：为的中点， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． ． 平行四边形是菱形 (2)①关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为．② 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）①先利用矩形的性质得到，是的中位线，进而可得到，再利用进而可求解；②当时，四边形是正方形，进而求出，然后代入的表达式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①四边形是矩形，矩形的周长为20，设长为， 是的中点， 是的中点， 是的中位线． ． 四边形是菱形， ． ． ． ， ， 关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为． ②当时，四边形是正方形， 四边形的周长为20， ， 将代入得： 此时，菱形的面积为． 41．如图①，长方形纸片的长与宽的比值为（）． (1)如图②，若，分别是长边，的中点，将纸片沿直线对折，得到的长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． (2)若按图③所示的方式折叠纸片，长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． 【答案】(1)解：长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”，理由如下： 设，根据题意，得， ，分别是长边，的中点， ， ， 故长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”； (2)解：长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”，理由如下： 设，根据题意，得，， ， 根据折叠的性质，得， ， 根据折叠的性质，得， ， 故长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”； 【分析】（1）设，根据题意，得，根据折叠的性质和定义，解答即可． （2）根据折叠的性质，正方形的判定和性质，分母有理化，解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 42．如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质证明四边形是正方形，，再证明可得，由此即可求出两个正方形的面积比． 【详解】解：设，则，， 连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴四边形是正方形， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 【根据正方形的性质与判定求面积】 43．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】100平方厘米 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于正方形的面积． 过作于，求出四边形是矩形，求出，根据证，得出的面积等于的面积，，求出四边形的面积等于正方形的面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ∴的面积等于的面积，， ∴矩形是正方形， ∴四边形的面积． 44．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 45．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【中点四边形】 46．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 47．某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪，，，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各中点得到的四边形，将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由矩形的性质得，，，再由中点的定义及勾股定理求四边形的边长，即可得四边形花坛的周长． 【详解】解：∵矩形草坪，，， ∴，，， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，， 由勾股定理得， ∴四边形花坛的周长为． 48．综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 【答案】(1) (2)平行四边形；菱形；矩形；正方形 (3)②；，但与不垂直；菱形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，但与不垂直， ， 四边形是菱形． ③；，；矩形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，即， 四边形是矩形． ④；，；正方形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，，， ，即， ， ， 四边形是正方形． 【分析】（1）由刻度尺量出中点，依次连接即可； （2）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质求解即可； （3）选②，由中位线得且，四边形为平行四边形，又，且，故，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 选③，同理得四边形为平行四边形，由且得，又，故，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 选④，同理得四边形为平行四边形，由得，故为矩形；又，得，邻边相等，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【四边形其他综合问题】 49．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，． (1)如图，若，求的长； (2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，勾股定理． （1）连接，易证，所以，在，，利用勾股定理得到，即； （2）证明，得到，证明平行四边形是矩形，再证明平行四边形是菱形，根据条件即可证出平行四边形是正方形． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵ ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴； （2）证明：∵P是中点， ∴ 又∵ ， ∴． ∴． ∴ ． ∴ ． ∴平行四边形是矩形． ∵ 点P是中点，，点F是的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴平行四边形是菱形． ∴平行四边形是正方形． 50．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．    如图，在正方形中，，求证：．请结合图①（设、交于点G），写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在正方形中，，连接、，若正方形的边长为3，四边形的面积为8，则的长为_________； （2）如图③，在正方形中，． ①四边形与的面积关系为：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”） ②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，则的周长为___________． 【答案】【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）；（2）①=；②． 【教材呈现】根据四边形是正方形，利用证明，即得； 【结论应用】（1）由【教材呈现】知，设，根据四边形的面积为8，得，解得，即得； （2）①由，得，即可得； ②由正方形的边长为5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，可得，即，，在中，，可得，从而，即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 解：（1）由【教材呈现】知，当时，， 设， ∵四边形的面积为8， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴ 故答案为：； （2）①由【教材呈现】知，当时，， ∴， ∴ 即， 故答案为：＝； ②∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积为25， ∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5， ∴图中阴影部分的面积为， ∴ 由①知， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，即△CDG的周长为， 故答案为：． 51．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． 【答案】(1)一定 (2)四边形是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形的周长最小值为 (3)或或14 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴    ，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是等邻四边形， ∴， ∵， ∴的值最小时，四边形的周长最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时，， ∴四边形的周长的最小值为． （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． ③当时，点与重合，此时． ． 综上：四边形的面积为或或14． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊的平行四边形 题型1 证明四边形是菱形 题型2 根据菱形的性质与判定求角度 题型3 根据菱形的性质与判定求线段长 题型4 根据菱形的性质与判定求面积 题型5 矩形与折叠问题 题型6 斜边的中线等于斜边的一半 题型7 证明四边形是矩形 题型8 根据矩形的性质与判定求角度 题型9 根据矩形的性质与判定求线段长 题型10 根据矩形的性质与判定求面积 题型11 正方形折叠问题 题型12 证明四边形是正方形 题型13 根据正方形的性质与判定求角度 题型14 根据正方形的性质与判定求线段长 题型15 根据正方形的性质与判定求面积 题型16 中点四边形 题型17 四边形其他综合问题 【证明四边形是菱形】 1．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，作的角平分线交的延长线于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 2．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 3．如图，将一张矩形纸片依次按照图（1）和图（2）的方式对折，并沿图（3）中的虚线剪开，将剪下的I这部分展开，平铺在桌面上，我们得到的图形一定是（     ） A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【根据菱形的性质与判定求角度】 4．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 6．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【根据菱形的性质与判定求线段长】 7．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 8．如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 【】 10．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为36，，求的长． 11．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求四边形的面积． 12．如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【矩形与折叠问题】 13．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使点落在对角线上的点处，折痕为，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，在矩形中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________．（写出个即可） 【斜边的中线等于斜边的一半】 16．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 17．如图，是矩形的对角线的中点．若，则线段的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 18．如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【证明四边形是矩形】 19．如图，的对角线，交于点，于点，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 20．如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 21．在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． (2)【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 【根据矩形的性质与判定求角度】 22．如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若的长为，，求的长． 23．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 24．如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 【根据矩形的性质与判定求线段长】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________． 26．如图，有一架秋千．当它静止在所处的位置时，踏板离地的垂直高度为．将秋千（始终保持拉直的状态）往前推送至位置，此时，推送的水平距离为，秋千踏板离地的垂直高度为． (1)求的长度． (2)求秋千的长度． 27．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． (1)【定理证明】根据教材的提示，结合图①完成直角三角形的性质 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 证明：如图①，延长至点，使，连结和． (2)【定理应用】如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，若，则为 ． 【根据矩形的性质与判定求面积】 28．如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 29．如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 30．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【正方形折叠问题】 31．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 32．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 33．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【证明四边形是正方形】 34．如图，已知：在中，，、的平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、． (1)求证：四边形是正方形； (2)如果的长为2，的面积为24，求的面积． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．点为直角顶点，连接． (1)求直线的解析式； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，求证：四边形是正方形； (3)求点的坐标． 36．如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【根据正方形的性质与判定求角度】 37．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 38．如图1，在等腰直角三角形中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图像如图2所示．则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 39．正方形中，，是直线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰直角，连接． (1)如图1，E是的中点时，与的数量关系是_________，的度数是_________． (2)如图2，若是线段上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)连接，若，直接写出的长． 【根据正方形的性质与判定求线段长】 40．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为20，设长为，菱形的面积为． ①求关于的表达式，以及自变量的取值范围； ②当时，求菱形的面积． 41．如图①，长方形纸片的长与宽的比值为（）． (1)如图②，若，分别是长边，的中点，将纸片沿直线对折，得到的长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． (2)若按图③所示的方式折叠纸片，长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． 42．如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【根据正方形的性质与判定求面积】 43．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 44．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 45．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【中点四边形】 46．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 47．某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪，，，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各中点得到的四边形，将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛的周长为（     ） A． B． C． D． 48．综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 【四边形其他综合问题】 49．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，． (1)如图，若，求的长； (2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形． 50．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．    如图，在正方形中，，求证：．请结合图①（设、交于点G），写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在正方形中，，连接、，若正方形的边长为3，四边形的面积为8，则的长为_________； （2）如图③，在正方形中，． ①四边形与的面积关系为：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”） ②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，则的周长为___________． 51．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $