专题训练04 利用空间向量研究平行、垂直关系-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，构建“概念理解-关系判定-综合应用”的递进训练体系，强化空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方向向量与法向量|3题（如第3题正三棱柱求解）|概念辨析与基本运算|奠定向量工具基础，为平行垂直判定提供前提| |向量证平行|5题（如第7题四面体线面平行）|选择与证明题|应用向量共线、法向量平行等判定定理，实现几何问题代数化| |向量证垂直|4题（如第10题四棱锥线线垂直）|多选与证明题|运用向量垂直、法向量垂直等判定，强化逻辑推理| |存在性问题|2题（如第14题长方体探究）|综合解答题|整合平行垂直关系，提升空间想象与模型应用能力|

课后训一利用空间向量研究平行、垂直关系- 班主任： 日期：2026. 时长：50-60分钟/次 【题组一直线方向向量与平面法向量的概念与求解】 1.在空间直角坐标系O-z中，若直线l与平面xO少平行，则l的一个方向向量的坐标可能为 2.在空间直角坐标系中，己知点A1,0,0),B(2,1,0),C(1,-1,1),则平面ABC的一个法向量可以是 () A.(1,1,1) B.(L,-1,1) C.(1,1-1) D.(1,-1,-1) 3.如图，正三棱柱ABC-ABC的底面边长为4，侧棱长为4，M是棱AC的中点以棱AB的中点 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系求直线AM的方向向量与平面BOC的法向量： B 【题组二利用向量研究空间中的平行】 第1页 4.已知为直线1的方向向量，%，n2分别为平面，B的法向量(，B不重合)，有下列说 法： ①nm台a"p；②n⊥n台a1B;③l/m台1/a;④v⊥台lla. 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知i=(③，a+b,a-b(a,b∈R)是直线l的一个方向向量，i=(-l,2,3)是平面a的一个法向量.若 1∥a,则() A.5a-b=-3 B.5a-b=3 C.5a+b=3 D.5b-a=3 6.已知平面a的一个法向量是(2,3，-)，平面B的一个法向量是(4，元，-2)，若a11B,则元的值是 () A.9 B.6 c.6 6 D.3 7.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2V2,M是AD的中点， P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.证明：PQ∥平面BCD B 第2页 8.在正三棱柱ABC-ABC中，己知AB=2,AA=l,D,E,D,E分别是棱AC,BC,AC,BC的中点. 证明：平面CDE/I平面ABE,D, A Di C Bi D E B 【题组三利用向量研究空间中的垂直】 9.(多选)如图，正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别为BC,CD的中点，则() A.EF//AB B.EFII平面ABCD C.EF⊥CC D.EF⊥平面AAC 第3页 D B F E D 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=5,O,M分别是AD,AP中点，底面ABCD为菱 形，平面PAD⊥平面ABCD,OB⊥PD,OB=V5.证明：PA⊥OB: M D B 11.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=3V2,PA=35,M,N分别为PA,PC的中点， PE=2BE,平面EMN与PD交于G. 求证：PD⊥平面EMGN: 第4页 G .. 12.如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB,M,N分别是BC,AC的中点，BN⊥平面 AMP 证明：平面PAC⊥平面ABC: 【题组四平行、垂直有关的存在性问题】 13.如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD,平面ABFI平面CDE, AB=DE=2,AF=1. 第5页 (1)求证：AF/1DE: (2)求二面角F-BE-C的余弦值： (3)若直线BE上存在点P,使得PF⊥CE,求线段PE的长度. E 14.如图，在长方体ABCD-ABCD中，DD,=DA=1,AB=2,点E在棱AB上运动 (1)证明：BC⊥DE: CF (②)设E为棱4B的中点，在棱CC,上是否存在一点F,使得BF/平面DEC,若存在，求CC的 值，若不存在，说明理由 D C B D 第6页 课后训—利用空间向量研究平行、垂直关系- 班主任： 日期：2026. 时长：50-60分钟/次 【题组一 直线方向向量与平面法向量的概念与求解】 1．在空间直角坐标系中，若直线与平面平行，则的一个方向向量的坐标可能为________. 【答案】（答案不唯一，满足，不全为0，的都可以） 【分析】根据方向向量的定义进行解答即可. 【详解】因为直线与平面平行，所以的一个方向向量的坐标为0，不全为0， 所以的一个方向向量的坐标可能为. 故答案为：. 2．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 3．如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 【题组二 利用向量研究空间中的平行】 4．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用法向量的特征可得平面间的关系，利用直线方向向量和法向量的关系可得直线与平面的位置关系，进而可判断正误. 【详解】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确. 故选：B 5．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 6．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 7．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 8．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． 证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后面面平行的向量关系求解 【详解】 方法一：在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 方法二：以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以，∴ 故平面平面. 【题组三 利用向量研究空间中的垂直】 9．（多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．证明：； 【答案】 (2) 【分析】通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 【详解】 方法一：连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. 方法二： 由方法一得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 11．如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先建系得各点坐标，算出向量，由点积为证，，结合线面垂直判定定理得证； 【详解】证明：连接，设，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． 12．如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是，的中点，平面． 证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得线线垂直，根据面面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】 方法一： 平面，平面，， 平面，平面，， 又，BC，平面ABC，平面， 又平面，平面平面． 方法二： 平面，． 以B为原点，为x轴，为y轴，过点B且与平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，． 平面AMP，，即，解得， ，则， ，． 设平面APC的法向量为， 则即取， ∵平面ABC，∴平面ABC的一个法向量为． ∵=0 平面平面． 【题组四 平行、垂直有关的存在性问题】 13．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线上存在点，使得，求线段的长度．    【答案】(1) 因为平面平面，，，，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以. (2) (3) 【分析】（1）由面面平行的性质定理进行证明即可； （2）则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的夹角公式进行求解即可； （3）已知在上，令（），根据向量的线性运算可得，再根据求解的值，最后根据向量模长公式求解线段的长度即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，是正方形， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，    则，，， 得：，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，得：； 设平面的法向量为， 则， 令，得，，得：， 则. 由图可知二面角为钝角， 故二面角F－BE－C的余弦值为. （3）    如图，已知在上，令（）， 由， ，由于， 则，即，解得：. 可得：，则， 即线段的长度为. 14．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $