精品解析：贵州遵义市第二十一中学2025-2026学年高一下学期第二次学情质量检测数学试题

遵义市第二十一中学高一春季学期第二次学情质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 半径为，弧长为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形的边长为1，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，下列说法正确的有（ ）个 ①是偶函数 ②是周期为的函数 ③在区间上单调递减 ④的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设，，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则 C. 当时，的最小值是 D. 若：，，则：， 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 C. 若，则 D. 最大值为 11. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是__________． 13. 已知，则的值为______． 14. 已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并计算第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式，并画出函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域； （3）讨论方程解的个数. 17. 如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知向量，. （1）若，当时，求x的值； （2）若. （i）求的最小正周期； （ii）当时，可以取得2次最大值，求m的取值范围. 19. 如图，在菱形中，，，是的中点，，（）为与的交点． （1）当时，用，表示，； （2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十一中学高一春季学期第二次学情质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 半径为，弧长为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式可求扇形的面积. 【详解】扇形的面积为， 故选：A. 2. 甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设甲、乙投篮投中的事件分别为. 则两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，让这3个数和临界值比较，判断大小. 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 4. 已知菱形的边长为1，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将平方转化为数量积求解. 【详解】 . 所以. 故选：D 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简分母，再结合同角三角函数平方关系化简代数式，最后采用弦化切的方法，借助 “1” 的代换，将式子转化为只含正切的形式，代入已知tanα的值，计算得出最终结果即可. 【详解】因为， 所以 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数在上单调递增， 有，可得. 故选：A. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 8. 已知函数，下列说法正确的有（ ）个 ①是偶函数 ②是周期为的函数 ③在区间上单调递减 ④的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，①正确； 对于②，，所以周期为，②正确； 对于③，当时，，，所以， 由，得，由于在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，③正确； 对于④，令，则，，则， 令，则， 由，得，的最大值为， 所以的最大值为，④错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设，，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则 C. 当时，的最小值是 D. 若：，，则：， 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题分别结合充分必要条件判定、不等式性质、基本不等式求最值、特称命题的否定四个知识点，逐一分析选项即可得出结论. 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 C. 若，则 D. 最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由的值进行判断；对B，由投影向量的计算公式计算；对C，由向量数乘运算的性质判断；对D，计算的最大值. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：向量在向量上的投影向量为，B正确； 对于C：由，得，所以，即，解得，C错误； 对于D：设向量与向量的夹角为，则， 当时，取得最大值，此时取得最大值，D正确； 故选：BD. 11. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据图象交点距离关系求出函数的周期和的值，确定函数解析式.然后分别利用三角函数的性质（对称性、单调性）以及图象变换规则对各个选项进行验证. 【详解】由题意，是函数图象与直线的三个相邻交点. 因，则，. 根据正弦函数图象的对称性及周期性，点与点是相邻的两个同相位点， 所以等于一个周期，即周期. 又因，则，所以. 对于A，两点关于函数图象的某条对称轴（波峰所在直线）对称. 由，，取，得对称轴. 因为，所以. 代入函数解析式，可得，故A错误. 对于B，令，解得. 当时，，即直线是图象的一条对称轴，故B正确. 对于C，令，解得. 所以的单调递增区间为，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，得到. 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 令，即，则，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集. 【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是. 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解. 【详解】因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性，利用符号法求不等式的解集. 【详解】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并计算第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1），第80百分位数为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点，列出关系式可求得；根据百分位数的计算方法可求出第80百分位数. （2）先根据分层抽样的方法确定每组抽取的人数，再利用列举法求出所有可能的抽取结果以及满足条件的情况，最后根据古典概型的概率公式即可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：各组频率依次为，，，，. 因为各组的频率和为， 所以，解得：. 因为前三组的频率和为，前四组的频率和为，， 所以第80百分位数在. 设第80百分位数为, 则，解得：. 综上可得：，第80百分位数为. 【小问2详解】 由（1）可知：成绩在，内的频率依次为，， 则两组的频率之比为 因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人， 所以成绩在内的教职工有人，记为A，B；成绩在内的教职工有人，记为C，D，E，F. 从这6人中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种. 其中恰有1人的竞赛成绩在内的情况有：，，，，，，，，共8种， 根据古典概型的概率公式可得：恰有1人的竞赛成绩在内的概率为. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式，并画出函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域； （3）讨论方程解的个数. 【答案】（1），图象答案见解析；（2）单调递减区间为､，函数的值域为；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义即可求得时的函数f(x)的解析式，进而得到解； （2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间； （3）函数的图象与直线的交点个数，数形结合即可得解. 【详解】解：（1）因为时，，设，则， ， 又函数为偶函数，， 故函数的解析式为. 函数图像如图： （2）由函数的图象可知， 函数的单调递减区间为､， 函数的值域为. （3）方程的实数根的个数就是函数的图象与直线的交点个数， 由函数的图象可知， 当时，方程的解的个数为0； 当，或时，方程的解的个数为2； 当时，方程的解的个数为3； 当时，方程的解的个数为4. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式的问题，考查了利用数形结合求单调区间以及值域问题.属于中档题.注意方程的根的个数常常转化为一个确定的函数的图象和一条变动的直线的交点个数问题. 17. 如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件根据同角关系求，利用诱导公式求，，再结合商的关系求结论； （2）利用诱导公式化简，利用齐次化处理方法结合（1）的结论求值. 【小问1详解】 角为锐角，， 则， 所以， ， . 【小问2详解】 . 18. 已知向量，. （1）若，当时，求x的值； （2）若. （i）求的最小正周期； （ii）当时，可以取得2次最大值，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，应用倍角正余弦公式、辅助角公式可得，结合角的范围求x的值； （2）由向量数量积坐标表示，应用倍角正余弦、辅助角公式可得， （i）由周期公式求最小正周期；（ii）由题设，根据正弦函数性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，故， 由，故或，则或. 【小问2详解】 由， （i）的最小正周期； （ii）由题设，可以取得2次最大值， 所以，故. 19. 如图，在菱形中，，，是的中点，，（）为与的交点． （1）当时，用，表示，； （2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）求的取值范围． 【答案】（1）， （2）不存在，理由如下： 由题意知， ， 若，则， 因为，， 所以 ， 令，解得， 因为，所以不符合题意，舍去， 综上，不存在满足条件的. （3） 【解析】 【分析】（1）由向量加减数乘的几何意义用，表示，； （2）由向量加减数乘的几何意义，及向量垂直、数量积的运算律得，结合已知求参数，即可得结论； （3）设，，结合平面向量的基本定理列方程得，再由向量数量积的运算律求范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为与的交点，设，， 则， 因为在上，设， 则， 综上，，得，化简， 又， 因为，由（2）知， 所以 ， 所以， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $