第七单元 倍数与因数（知识清单）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学“倍数与因数”单元知识清单系统梳理了倍数与因数、2/5/3的倍数特征、最大公因数与最小公倍数、质数与合数等核心内容，构建了从概念定义到方法应用再到综合题型的递进式学习支架。 清单以“知识点解析+典型题型+易错提示”三维呈现知识体系，如明确标注“3的倍数特征需算数字和”等思维陷阱，结合“面包装袋判断奇偶”等生活实例培养应用意识。设计“质数筛选步骤”“公因数找法对比表”等工具，助力学生发展抽象能力与推理意识，教师可直接用于复习或分层教学，提升课堂效率。

第七单元 倍数与因数 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：倍数与因数： 1、倍数与因数的意义 倍数和因数不是独立存在的，它们描述的是两个非零自然数之间的一种相互关系。 定义来源： 基于整数乘法算式a×b=c （a,b,c 均为非零自然数）。 相互关系： c是a的倍数，也是b的倍数。 a是c的因数，b 也是c 的因数。 2、研究范围 限定条件：我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。 注意：小数和分数不谈倍数与因数关系（例如不能说 0.5 是 2 的因数，尽管0.5×4=2 ）。 3、找一个数的倍数的方法 一个数的倍数有无限个，通常通过乘法或除法来找。 乘法法： 用这个数分别乘 1, 2, 3, 4... 除法法（判断法）： 看哪些数除以这个数没有余数（整除）。 特征： 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身。 4、找一个数的因数的方法 找一个数的所有因数，需要有序思考，防止遗漏。 乘法配对法：想哪两个数相乘等于这个数。 除法试除法：用 1, 2, 3... 依次去除这个数，看能否整除。 特征： 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 5、易错点提示 表述规范：不能单独说“36 是倍数”或“4 是因数”，必须说“36 是 4 的倍数”或“4 是 36 的因数”。 包含自身：在找因数时，不要漏掉 1 和它本身。 知识点02：探索2、5倍数的特征： 1、5 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 判断方法： 只需要看这个数的最后一位（个位）。 如果个位是 0 或 5，则该数是 5 的倍数。 如果个位是其他数字（1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9），则不是 5 的倍数。 2、2 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数，都是 2 的倍数。 判断方法： 同样只看个位。只要个位是双数（0, 2, 4, 6, 8），这个数就能被 2 整除。 3、奇数与偶数 这是基于“是否是 2 的倍数”对自然数进行的分类。 偶数： 是 2 的倍数的数叫做偶数。 特征：个位是 0, 2, 4, 6, 8。 注意： 0 也是偶数。 奇数： 不是 2 的倍数的数叫做奇数。 特征：个位是 1, 3, 5, 7, 9。 生活应用： 题目中提到的“面包每 2 个装一袋能否正好装完”，实际上就是问面包总数是不是偶数。如果是偶数就能正好装完，如果是奇数就会多出一个。 4、既是 2 又是 5 的倍数特征 推导逻辑： 要满足是 2 的倍数，个位必须是 0, 2, 4, 6, 8。 要满足是 5 的倍数，个位必须是 0, 5。 取交集，个位只能是 0。 结论： 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 5、运算中的奇偶性规律（拓展） 教材最后的“做一做”部分，通过加法算式揭示了奇偶数运算的简单规律： 偶数 + 偶数 = 偶数 （例如：12+14=26 ） 奇数 + 奇数 = 偶数 （例如：15+11=26 ） 奇数 + 偶数 = 奇数 （例如：8+13=21 ） 知识点03：探索3倍数的特征： 1、3 的倍数特征 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 判断方法： 把这个数每一位上的数字加起来。 看加出来的和能不能被 3 整除。 如果能，原数就是 3 的倍数；如果不能，就不是。 2、思维陷阱与对比 误区： 认为“个位上是 3, 6, 9 的数是 3 的倍数”。 反例：13 （个位是3，但不是3的倍数），16 （个位是6，但不是3的倍数），19 （个位是9，但不是3的倍数）。 结论： 判断 3 的倍数不能只看个位，必须计算各位数字之和。 3、9 的倍数特征（拓展探究） 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数。 规律联系： 因为 9 本身就是 3 的倍数，所以 9 的倍数一定也是 3 的倍数。但 3 的倍数不一定是 9 的倍数（例如 12 是 3 的倍数，但1+2=3 不是 9 的倍数）。 百数表规律： 在百数表中，9 的倍数排列也在斜线上（如 9, 18, 27...），且每行错开一位。 4、综合应用：组数问题 题目示例： 用 0, 3, 4, 5 组成两位数。 解题策略： 是 3 的倍数： 找两个数字相加是 3 的倍数（如 3 和 0 组成 30；4 和 5 组成 45, 54）。 同时是 2 和 3 的倍数： 首先要是偶数（个位是 0 或 4），其次数字和是 3 的倍数。 个位是 0：30 (3+0=3, OK), 40 (4+0=4, No), 50 (5+0=5, No)。 个位是 4：34 (3+4=7, No), 54 (5+4=9, OK)。 结果：30, 54。 同时是 2, 3, 5 的倍数： 是 2 和 5 的倍数→ 个位必须是 0。 是 3 的倍数→ 十位数字必须是 3 的倍数（在给定卡片中选 3）。 结果：30。 知识点04：最大公因数和最小公倍数： 1、公因数与最大公因数 （1）公因数定义： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 （2）最大公因数定义： 公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 （3）表示方法（集合图）： 教材使用韦恩图（两个交叉的圆圈）来表示。 左边圆圈独有部分是 12 独有的因数（4, 12）。 右边圆圈独有部分是 18 独有的因数（9, 18）。 中间交叉部分是公有的因数（1, 2, 3, 6）。 2、公倍数与最小公倍数 （1）公倍数定义： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 （2）最小公倍数定义： 公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 （3）重要性质： 一个数的倍数是无限的，所以没有最大的公倍数，只有最小的。 找公倍数通常从最小公倍数开始，依次乘以 2, 3, 4... 3、寻找方法总结 （1）找最大公因数的方法 列举法： 分别列出两个数的所有因数，圈出相同的，找出最大的。 筛选法（优化）： 先写出较小那个数的所有因数，然后从大到小检查这些因数是否也是较大数的因数。第一个找到的就是最大公因数。 （2）找最小公倍数的方法 列举法： 分别列出两个数的倍数（通常列到出现第一个相同的为止），找出最小的相同数。 大数翻倍法（优化）： 从较大的那个数开始，依次乘 2, 3, 4...，看积是否是另一个数的倍数。第一个满足条件的积就是最小公倍数。（例如找 4 和 6：6×2=12，12 是 4 的倍数，所以是 12）。 4、短除法（拓展知识） （1）操作步骤： 用两个数公有的质因数去除这两个数。 一直除到所得的商互质（只有公因数 1）为止。 （2）计算结果： 最大公因数 = 所有除数的乘积（左侧边的数相乘）。 最小公倍数 = 所有除数和最后商的乘积（外围一圈的数相乘）。 知识点05：质数和合数： 1、质数与合数的定义 （1）质数（素数）： 一个数只有 1 和 它本身 两个因数，这个数叫作质数。 特征： 因数个数恰好为 2 个。 （2） 合数：一个数除了1和它本身还有别的因数，这个数叫作合数。特征：因数个数大于2个。 （3）特殊数 1： 1 既不是质数，也不是合数。 原因： 1 只有一个因数（就是 1 本身），不符合质数“两个因数”的定义，也不符合合数“超过两个因数”的定义。 2、几何直观理解（拼长方形） （1）只能拼成一种长方形： 说明该数只有 1 和它本身两个因数→质数。 （2）能拼成两种或两种以上长方形： 说明该数除了 1 和本身外还有其他因数→合数。 3、常见数的分类（2-12） 2-12 中的质数： 2, 3, 5, 7, 11。 2-12 中的合数： 4, 6, 8, 9, 10, 12。 注意： 2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 4、数的多重身份 按是否是 2 的倍数分： 奇数、偶数。 按因数的个数分： 1、质数、合数。 5、分解质因数（你知道吗） 虽然这是拓展内容，但揭示了合数的本质结构。 原理： 任何一个大于 1 的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。 应用： 将一个合数写成几个质数相乘的形式（例如12=2×2×3 ），这在密码技术和网络安全中有重要应用。 知识点06：寻找质数： 1、寻找质数的方法：筛选法 具体步骤 划去1： 因为1既不是质数也不是合数，首先将其排除。 划去2的倍数： 在表中划去所有2的倍数（4, 6, 8...），但保留2本身（因为2是质数）。 划去3的倍数： 接着划去所有3的倍数（9, 15, 21...），但保留3本身。 划去5的倍数： 划去所有5的倍数（25, 35, 55...），但保留5本身。 划去7的倍数： 划去所有7的倍数（49, 77, 91...），但保留7本身。 结束标志 对于100以内的数，只需要划到7的倍数即可停止。剩下的未被划去的数，就是100以内的所有质数。 2、为什么只划到7？（原理简述） 要找出N 以内的所有质数，只需要用小于等于的质数去筛选即可。 因为10×10=100 ，所以只要用10以内的质数（2, 3, 5, 7）进行筛选，就能把100以内的合数全部排除掉。例如，下一个质数是11，而11×11=121 ，已经超过了100，所以在100以内不需要再划去11的倍数了（除了11本身）。 3、100以内的质数表（需记忆或熟练查找） 20以内： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 易错点提醒： 51 (3×17 , 合数) 57 (3×19 , 合数) 87 (3×29 , 合数) 91 (7×13 , 合数，这是最容易误判为质数的合数) 27, 81 (容易被误认为质数，其实是3的倍数) 4、数学文化：埃拉托斯特尼筛法 发明者： 古希腊数学家埃拉托斯特尼。 形象比喻： 这种方法就像用一个筛子，先把1筛掉，再把合数筛掉，最后剩下的“漏网之鱼”就是质数。因此，这个方法也被称为“筛法”。 题型1：倍数与因数 【例1】18的因数有( )。 【例2】爸爸今年35岁，淘气和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是淘气的10倍。淘气今年( )岁，爷爷今年( )岁。 【例3】一个数既是3的倍数。又是18的因数，这个数可能是( )（写出一种即可）。 【例4】既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是( )或( )。 【例5】一个自然数共有6个因数，这些因数按从小到大的顺序排序，分别是a，b，c，d，e，f，已知，那么( )，( )。 【例6】一个数的最大因数是16，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 题型2：探索2、5的倍数特征 【例7】从5，2，7，0四个数字中选出三个数字组成三位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个三位数最大是( )。 【例8】从0、1、2、3这四个数字任意选出三个数字组成的三位数中，是5的倍数的数有( )个。 题型3：探索3的倍数特征 【例9】能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【例10】283至少增加( )是3的倍数，至少减少( )既是2的倍数也是5的倍数。 【例11】《西游记》是我国四大名著之一，唐僧师徒历经81难才取得真经。81的最大因数是( )；比81小且同时是2，3，5的倍数有( )。 【例12】乐乐行李箱的密码是一个三位数，百位是最小的合数，十位是最小的质数，并且这个三位数既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数。乐乐行李箱的密码是( )。 【例13】从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 题型4：最大公因数和最小公倍数 【例14】A＝2×3×5，B＝2×3×2，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【例15】为促进信息化教学，实验小学购买了一批学练机，这些学练机4台4台地数，5台5台地数都正好数完，实验小学最少购买了( )台学练机。 【例16】a，b是两个非零自然数。如果a÷3＝b，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a－b＝1，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【例17】有长度分别为48分米和60分米的两根木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每小段长度都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长是( )。 【例18】李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。12月1日李阿姨给两种花同时浇了水，下一次同时浇水是12月( )日。 【例19】妈妈买回来一些玻璃球，小军6个6个地数，剩1个；5个5个地数，还是剩1个。这些玻璃球至少有( )个。 【例20】一堆桃子，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩1个，5个5个地数剩1个。这堆桃子至少有( )个。 题型5：质数和合数 【例21】一个五位数，万位上是最小的合数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是10以内最大的质数，其他数位上都是0，这个数是( )。 【例22】在1、2、4、9、13、18、23、56、91、99中，( )是奇数，( )是偶数，( )是质数，( )是合数。 【例23】一个四位数，同时是2、3、5的倍数，它的千位是最小质数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位上既不是质数，也不是合数，这个数的最小倍数是( )。 【例24】酥梨合作社包装礼盒，礼盒编号是一个三位数。百位上是最小的合数，十位上是最小的偶数，这个数既有因数2，又有因数3，这个数最小是( )，把这个数分解质因数是( )。 【例25】某快递站要将16个包裹分别派送至A、B两个小区，快递员分拣后发现A区包裹数量比B区多，且A、B两个小区的包裹数量都是质数，那么派送至A区、B区的包裹数量分别是( )个和( )个。 【例26】妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 【例27】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最大的一位数，个位上是10以内最大的质数，这个数是( )。 一、选择题 1．要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，在□里可以填（    ）。 A．2、4、6、8 B．0 C．0、2、5 D．0、5 2．如果N（N不为0）表示一个自然数，那么N（N＋1）是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．不确定 3．张老师买了3个同样的文具大礼包作为奖励，每个大礼包的价格都是相同的整数，且没有任何优惠，张老师可能花了（    ）。 A．110元 B．112元 C．114元 D．118元 4．我国芯片研发取得重大突破，芯片的核心组件离不开质数与合数，一个质数与一个合数的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 5．因为（A，B都是不为0的自然数），所以36是A和B的（    ）。 A．公倍数 B．最小公倍数 C．公因数 D．最大公因数 6．（、均为非零自然数），、的最小公倍数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．质数 7．花店进购了一批百合花，每5枝扎一束，还多3枝；每7枝扎一束，也多3枝。这批百合花至少有（    ）。 A．35枝 B．38枝 C．40枝 D．43枝 8．如果m＝5n（m和n都是不为0的自然数），那么，m和n的最大公因数是（    ）。 A．m B．n C．1 D．5 9．数学上把相差2的两个质数叫“孪（luán）生质数”，如3和5都是质数，且相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．1和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 10．下面四组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．9和4 B．15和0.5 C．20和4 D．3.6和6 11．端午节是中国的传统节日。欢欢做了一些粽子准备送到敬老院献爱心，她把粽子每5个装一盒，余4个，每6个装一盒，还余4个。欢欢可能做了（    ）个粽子。 A．63 B．64 C．65 D．66 12．已知a、b是大于0的自然数，且a−b＝1，则下面说法错误的是（    ）。 A．a和b中只有一个奇数 B．a与b只有公因数1 C．a与b的和是偶数 D．a与b的积是偶数 13．如果是奇数，是偶数，且＞，那么下面的算式中，计算结果一定是偶数的是（    ）。 A． B． C． D． 14．王老师买了一些笔记本，准备分给参加比赛的同学，平均分给3个人或5个人，都剩下1本，老师买的笔记本最少有（    ）。 A．7本 B．16本 C．21本 D．31本 15．中国传统节日形式多样，承载着丰富的历史文化底蕴。2026年中国传统文化节日的日期里两个数都是质数的是（    ）。 A．春节（2月17日） B．清明节（4月5日） C．端午节（6月19日） D．重阳节（10月18日） 16．某市G1路公交车每12分钟发一次车，G4路公交车每18分钟发一次车。两路公交车同时在总站发车后，至少再过（    ）分钟才能再次同时发车。 A．24 B．36 C．48 D．72 17．下面说法中，不正确的是（    ）。 A．因为12÷4＝3，所以12是倍数。 B．奇数＋奇数＝偶数。 C．两个质数的积是合数。 D．两个连续自然数（0除外）的最大公因数是1。 18．而立之年指三十岁，不惑之年指四十岁。小优爸爸今年已过而立之年，但未到不惑之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3，则小优爸爸今年（    ）岁。 A．30 B．32 C．36 D．39 19．若一个自然数恰好等于除自身外所有因数的和，则该数称为完全数。已知数字6是经典的完全数，例如：6的因数有1，2，3，6，且。下列选项中，属于完全数的是（    ）。 A．28 B．18 C．16 D．14 20．下面说法正确的是（    ）。 A．1是最小的质数。 B．分数都比整数小。 C．全班有45名同学，其中女生人数是奇数，则男生人数一定是偶数。 D．已知（m和n为非0自然数），则m和n的最大公因数一定是4。 二、判断题 21．一个自然数个位上是3、6、9，这个数就是3的倍数。( ) 22．a＝4b（a、b为非0自然数），a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 23．因为a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），所以a和b都是c的倍数。( ) 24．将36名学生分成甲、乙两队，若甲队人数为奇数，则乙队人数为偶数。( ) 25．一个正方形的边长是奇数，这个正方形的周长一定是偶数。( ) 26．个位上是0或5的数，一定是5的倍数，也一定是2的倍数。( ) 27．如果□73是3的倍数，那么□里可能是3。( ) 28．要使三位数7□0同时是2、3、5的倍数，□里最小填3。( ) 29．一个数的最大因数和最小倍数相加等于36，这个数是12。( ) 30．用数字3、6、7组成的三位数一定是3的倍数。( ) 31．两个不同质数的乘积可能是奇数也可能是偶数。( ) 32．m是奇数，n是偶数，m＋n的和一定是奇数。( ) 33．8路公交车每6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路车在早上6：30同时发车，到早上6：54才能再次同时发车。( ) 34．把一个长18cm、宽12cm的长方形的硬纸板，要剪成同样大小的正方形，边长为整厘米数且没有剩余，小正方形的边长有3种不同的取值。( ) 35．相邻两个非零自然数的和一定是奇数，积一定是合数。( ) 三、填空题 36．丰巢取件，快捷方便，取件码一般是六位数字。刘阿姨这样描述她的取件码：左起第一位是最小的质数，第二位是6和9的最大公因数，第三位是最大的一位数，第四位既不是质数也不是合数，第五位是最小的奇数，最后一位是0。这个取件码是( )。 37．若a÷b＝5（a和b都是非0自然数），则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 38．m＝n＋1（m和n都是不为0的自然数），则m和n的最大公因数是( )，m和n的最小公倍数是( )。 39．一农家小院长7.2米，宽4.5米。想用同样大小的正方形地砖整块铺满地面，不切割地砖，也没有剩余空隙，正方形地砖的边长最大是( )米。 40．王阿姨的一个快递被寄存到了快递驿站，取件码是ABCDE，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的奇数。王阿姨的取件码是( )。 41．天门市博物馆是一座地方综合性博物馆，馆藏文物见证了五千余年的人类文明。某日，博物馆的参观人数总计为8□9□人次，且这个数同时是2、3、4的倍数。此时，这个数个位上的数字可能有( )种情况；当这个数取到最大值时，可达到( )人次。 42．从0、3、4、9这四个数字中选出三个，组成一个同时是2、3、5倍数的三位数，这个三位数最大是( )。 43．a，b是两个非零自然数，若a是b的3倍，则a和b的最小公倍数是( )；若a－1＝b，则a和b的最大公因数是( )；若四位数4AA1能被3整除，则A最大是( )。 44．学校图书角新购进一批图书，其中故事书有72本，科技书有48本。图书管理员准备将这两种书分别捆成若干捆，每捆的本数相同，且正好捆完。每捆最多可以是( )本，这时故事书和科技书一共捆了( )捆。 45．一个两位数是3和5的公倍数，它的十位上是6，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )，它与45的最大公因数是( )。 46．制作一个三角形框架，已有长度分别是5cm和10cm的两根木条，如果第三根木条的长度是5的倍数，那么第三根木条长( )cm；如果第三根木条的长度是27的因数，那么第三根木条长( )cm。 47．太极拳被誉为“哲拳”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录。某运动会开幕式上，太极拳方阵表演队伍走转自如、刚柔相济。现有45名男生和36名女生参与表演，需按相同的性别分别站成若干排，要求每排人数相同且尽可能多，则每排最多有( )人。 48．月光宝盒有一个密码锁，密码是一个四位数。从左往右，第一位既是质数，又是偶数；第二位既不是质数，又不是合数；第三位是最小的合数；第四位是质数中最大的一位数，这个密码是( )。 49．一箱苹果，如果每8个装一盒，装一些盒后，还剩下6个；如果每12个装一盒，也剩余6个，这箱苹果至少有__________个。 50．三个小朋友的年龄是三个连续的奇数，已知他们的年龄和是33岁，则最小和最大的小朋友年龄分别是( )岁和( )岁。 51．在1、2、9、13、30、50这些数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )；3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 52．已知两个非0自然数M＝2×3×5×a，N＝2×3×7×a（a为质数），若M、N的最大公因数是30，则a＝( )，M、N的最小公倍数是( )。 四、解答题 53．本次生态共建实践活动结束后，为向全校师生普及水源地保护、垃圾分类等环境保护知识，学校美术社团筹备制作环保宣传海报。该社团人数比20多且比30少，社长拿了48张卡纸平均分给社团成员，正好分完。一共有多少个社团成员？ 54．男生24人，女生36人分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 55．把两根长度分别为48厘米和30厘米的彩带剪成同样长的小段，每段最长多少厘米？一共能剪成这样的多少段？ 56．非遗工坊制作传统木梳，制作总数在85–95之间。每5个装一盒或每6个装一盒，都能正好装完。工坊一共制作了多少把木梳？ 57．刘老师家装修，买来一批长30厘米、宽20厘米的长方形地砖。她想用这些地砖在客厅地面拼出一个正方形图案，要求地砖不能切割，并且恰好铺满。拼成这个正方形最少需要多少块地砖？ 58．新疆塔克拉玛干沙漠种出3.1万亩高产小麦，亩产达450公斤，成为全球沙漠农业的标杆，也实现了袁隆平爷爷“向沙漠要粮”的梦想。现有一块沙漠试验田，长64米，宽56米，把这块试验田划分成若干块大小相同的正方形试验田且没有剩余，最少可以划出多少块试验田？（边长为整米数。） 59．剪纸小组要把一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余。裁成的正方形边长最长是几厘米？一共可以裁成多少个小正方形？ 60．某社区有一块长方形空地，地面长36分米、宽27分米。如果用一种边长是整分米数的正方形防滑砖将空地铺满（用的砖必须都是整块的）。正方形防滑砖的边长最大是多少分米？ 61．学校一年级开展“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动，老师一共拿来48件上衣和72条长裤，为了比赛公平，每人分得的衣服相同。最多可以有多少名学生同时参赛？每人分得上衣和长裤的数量分别是多少？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：倍数与因数： 1、倍数与因数的意义 倍数和因数不是独立存在的，它们描述的是两个非零自然数之间的一种相互关系。 定义来源： 基于整数乘法算式a×b=c （a,b,c 均为非零自然数）。 相互关系： c是a的倍数，也是b的倍数。 a是c的因数，b 也是c 的因数。 2、研究范围 限定条件：我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。 注意：小数和分数不谈倍数与因数关系（例如不能说 0.5 是 2 的因数，尽管0.5×4=2 ）。 3、找一个数的倍数的方法 一个数的倍数有无限个，通常通过乘法或除法来找。 乘法法： 用这个数分别乘 1, 2, 3, 4... 除法法（判断法）： 看哪些数除以这个数没有余数（整除）。 特征： 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身。 4、找一个数的因数的方法 找一个数的所有因数，需要有序思考，防止遗漏。 乘法配对法：想哪两个数相乘等于这个数。 除法试除法：用 1, 2, 3... 依次去除这个数，看能否整除。 特征： 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 5、易错点提示 表述规范：不能单独说“36 是倍数”或“4 是因数”，必须说“36 是 4 的倍数”或“4 是 36 的因数”。 包含自身：在找因数时，不要漏掉 1 和它本身。 知识点02：探索2、5倍数的特征： 1、5 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 判断方法： 只需要看这个数的最后一位（个位）。 如果个位是 0 或 5，则该数是 5 的倍数。 如果个位是其他数字（1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9），则不是 5 的倍数。 2、2 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数，都是 2 的倍数。 判断方法： 同样只看个位。只要个位是双数（0, 2, 4, 6, 8），这个数就能被 2 整除。 3、奇数与偶数 这是基于“是否是 2 的倍数”对自然数进行的分类。 偶数： 是 2 的倍数的数叫做偶数。 特征：个位是 0, 2, 4, 6, 8。 注意： 0 也是偶数。 奇数： 不是 2 的倍数的数叫做奇数。 特征：个位是 1, 3, 5, 7, 9。 生活应用： 题目中提到的“面包每 2 个装一袋能否正好装完”，实际上就是问面包总数是不是偶数。如果是偶数就能正好装完，如果是奇数就会多出一个。 4、既是 2 又是 5 的倍数特征 推导逻辑： 要满足是 2 的倍数，个位必须是 0, 2, 4, 6, 8。 要满足是 5 的倍数，个位必须是 0, 5。 取交集，个位只能是 0。 结论： 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 5、运算中的奇偶性规律（拓展） 教材最后的“做一做”部分，通过加法算式揭示了奇偶数运算的简单规律： 偶数 + 偶数 = 偶数 （例如：12+14=26 ） 奇数 + 奇数 = 偶数 （例如：15+11=26 ） 奇数 + 偶数 = 奇数 （例如：8+13=21 ） 知识点03：探索3倍数的特征： 1、3 的倍数特征 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 判断方法： 把这个数每一位上的数字加起来。 看加出来的和能不能被 3 整除。 如果能，原数就是 3 的倍数；如果不能，就不是。 2、思维陷阱与对比 误区： 认为“个位上是 3, 6, 9 的数是 3 的倍数”。 反例：13 （个位是3，但不是3的倍数），16 （个位是6，但不是3的倍数），19 （个位是9，但不是3的倍数）。 结论： 判断 3 的倍数不能只看个位，必须计算各位数字之和。 3、9 的倍数特征（拓展探究） 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数。 规律联系： 因为 9 本身就是 3 的倍数，所以 9 的倍数一定也是 3 的倍数。但 3 的倍数不一定是 9 的倍数（例如 12 是 3 的倍数，但1+2=3 不是 9 的倍数）。 百数表规律： 在百数表中，9 的倍数排列也在斜线上（如 9, 18, 27...），且每行错开一位。 4、综合应用：组数问题 题目示例： 用 0, 3, 4, 5 组成两位数。 解题策略： 是 3 的倍数： 找两个数字相加是 3 的倍数（如 3 和 0 组成 30；4 和 5 组成 45, 54）。 同时是 2 和 3 的倍数： 首先要是偶数（个位是 0 或 4），其次数字和是 3 的倍数。 个位是 0：30 (3+0=3, OK), 40 (4+0=4, No), 50 (5+0=5, No)。 个位是 4：34 (3+4=7, No), 54 (5+4=9, OK)。 结果：30, 54。 同时是 2, 3, 5 的倍数： 是 2 和 5 的倍数→ 个位必须是 0。 是 3 的倍数→ 十位数字必须是 3 的倍数（在给定卡片中选 3）。 结果：30。 知识点04：最大公因数和最小公倍数： 1、公因数与最大公因数 （1）公因数定义： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 （2）最大公因数定义： 公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 （3）表示方法（集合图）： 教材使用韦恩图（两个交叉的圆圈）来表示。 左边圆圈独有部分是 12 独有的因数（4, 12）。 右边圆圈独有部分是 18 独有的因数（9, 18）。 中间交叉部分是公有的因数（1, 2, 3, 6）。 2、公倍数与最小公倍数 （1）公倍数定义： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 （2）最小公倍数定义： 公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 （3）重要性质： 一个数的倍数是无限的，所以没有最大的公倍数，只有最小的。 找公倍数通常从最小公倍数开始，依次乘以 2, 3, 4... 3、寻找方法总结 （1）找最大公因数的方法 列举法： 分别列出两个数的所有因数，圈出相同的，找出最大的。 筛选法（优化）： 先写出较小那个数的所有因数，然后从大到小检查这些因数是否也是较大数的因数。第一个找到的就是最大公因数。 （2）找最小公倍数的方法 列举法： 分别列出两个数的倍数（通常列到出现第一个相同的为止），找出最小的相同数。 大数翻倍法（优化）： 从较大的那个数开始，依次乘 2, 3, 4...，看积是否是另一个数的倍数。第一个满足条件的积就是最小公倍数。（例如找 4 和 6：6×2=12，12 是 4 的倍数，所以是 12）。 4、短除法（拓展知识） （1）操作步骤： 用两个数公有的质因数去除这两个数。 一直除到所得的商互质（只有公因数 1）为止。 （2）计算结果： 最大公因数 = 所有除数的乘积（左侧边的数相乘）。 最小公倍数 = 所有除数和最后商的乘积（外围一圈的数相乘）。 知识点05：质数和合数： 1、质数与合数的定义 （1）质数（素数）： 一个数只有 1 和 它本身 两个因数，这个数叫作质数。 特征： 因数个数恰好为 2 个。 （2） 合数：一个数除了1和它本身还有别的因数，这个数叫作合数。特征：因数个数大于2个。 （3）特殊数 1： 1 既不是质数，也不是合数。 原因： 1 只有一个因数（就是 1 本身），不符合质数“两个因数”的定义，也不符合合数“超过两个因数”的定义。 2、几何直观理解（拼长方形） （1）只能拼成一种长方形： 说明该数只有 1 和它本身两个因数→质数。 （2）能拼成两种或两种以上长方形： 说明该数除了 1 和本身外还有其他因数→合数。 3、常见数的分类（2-12） 2-12 中的质数： 2, 3, 5, 7, 11。 2-12 中的合数： 4, 6, 8, 9, 10, 12。 注意： 2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 4、数的多重身份 按是否是 2 的倍数分： 奇数、偶数。 按因数的个数分： 1、质数、合数。 5、分解质因数（你知道吗） 虽然这是拓展内容，但揭示了合数的本质结构。 原理： 任何一个大于 1 的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。 应用： 将一个合数写成几个质数相乘的形式（例如12=2×2×3 ），这在密码技术和网络安全中有重要应用。 知识点06：寻找质数： 1、寻找质数的方法：筛选法 具体步骤 划去1： 因为1既不是质数也不是合数，首先将其排除。 划去2的倍数： 在表中划去所有2的倍数（4, 6, 8...），但保留2本身（因为2是质数）。 划去3的倍数： 接着划去所有3的倍数（9, 15, 21...），但保留3本身。 划去5的倍数： 划去所有5的倍数（25, 35, 55...），但保留5本身。 划去7的倍数： 划去所有7的倍数（49, 77, 91...），但保留7本身。 结束标志 对于100以内的数，只需要划到7的倍数即可停止。剩下的未被划去的数，就是100以内的所有质数。 2、为什么只划到7？（原理简述） 要找出N 以内的所有质数，只需要用小于等于的质数去筛选即可。 因为10×10=100 ，所以只要用10以内的质数（2, 3, 5, 7）进行筛选，就能把100以内的合数全部排除掉。例如，下一个质数是11，而11×11=121 ，已经超过了100，所以在100以内不需要再划去11的倍数了（除了11本身）。 3、100以内的质数表（需记忆或熟练查找） 20以内： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 易错点提醒： 51 (3×17 , 合数) 57 (3×19 , 合数) 87 (3×29 , 合数) 91 (7×13 , 合数，这是最容易误判为质数的合数) 27, 81 (容易被误认为质数，其实是3的倍数) 4、数学文化：埃拉托斯特尼筛法 发明者： 古希腊数学家埃拉托斯特尼。 形象比喻： 这种方法就像用一个筛子，先把1筛掉，再把合数筛掉，最后剩下的“漏网之鱼”就是质数。因此，这个方法也被称为“筛法”。 题型1：倍数与因数 【例1】18的因数有( )。 【答案】1，2，3，6，9，18 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个。 【详解】18÷1＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 18的因数有1，2，3，6，9，18。 【例2】爸爸今年35岁，淘气和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是淘气的10倍。淘气今年( )岁，爷爷今年( )岁。 【答案】 7 70 【分析】淘气年龄是爸爸35岁的因数，先找出35的所有因数，分别计算对应的爷爷年龄（10倍），并验证是否为35的倍数，同时考虑年龄合理性，排除不合理岁数。 【详解】35的因数有：1、5、7、35。 淘气年龄可能是1岁、5岁、7岁或35岁。 爷爷年龄是淘气年龄的10倍，所以对应爷爷年龄分别为10岁、50岁、70岁、350岁。 爷爷年龄必须是35的倍数：10不是35的倍数；50不是35的倍数；70是35的倍数（35×2＝70）；350是35的倍数，但350岁不合理，排除。 因此，淘气年龄为7岁，爷爷年龄为70岁。 【例3】一个数既是3的倍数。又是18的因数，这个数可能是( )（写出一种即可）。 【答案】3 【分析】先找出18的所有因数：能整除18的整数就是18的因数；再从18的因数中筛选出3的倍数：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数。 【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18。其中是3的倍数的有：3、6、9、18。因此，这个数可能是3（或6、9、18）。 【例4】既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 15 75 【分析】通过乘法算式法找出75的所有因数，75的最小的因数是1，最大的因数是其本身75。通过乘法算式法找出小于等于75的所有15的倍数，找出相同的数既是75的因数，又是15的倍数的数，据此解答。 【详解】75＝1×75，75＝3×25，75＝5×15，75的因数有1、3、5、15、25、75。 15×1＝15，15×2＝30，15×3＝45，15×4＝60，15×5＝75，小于等于75且是15倍数的数有15、30、45、60、75。 故既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是15或75。 【例5】一个自然数共有6个因数，这些因数按从小到大的顺序排序，分别是a，b，c，d，e，f，已知，那么( )，( )。 【答案】 18 14 【分析】一个自然数有6个因数，且最小因数a与最大因数f之和为46。因a总是1，f是数本身，故1＋f = 46，得f = 45，即该数为45。45的因数从小到大为1、3、5、9、15、45，因此a＝1，b＝3，c＝5，d＝9，e＝15，f＝45。需要求b＋e和c＋d的值。 【详解】该自然数的因数有6个，且a＋f＝46。 由于a是最小因数，必为1，因此1＋f ＝46，解得f＝45，即该数为45。 45的因数从小到大依次为：1、3、5、9、15、45。 所以： a＝1，b＝3，c＝5，d＝9，e＝15，f＝45 则b＋e＝3＋15＝18 c＋d＝5＋9＝14 因此，b＋e＝18，c＋d＝14。 【例6】一个数的最大因数是16，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 16 1，2，4，8，16 【分析】一个数（0除外）的最大因数和最小倍数都是它本身；找一个数的因数，从1开始按顺序成对列举，直到重复为止。 【详解】一个数的最大因数是16，最小倍数是16； 1×16＝16，1和16是16的因数； 2×8＝16，2和8是16的因数； 4×4＝16，4是16的因数； 一个数的最大因数是16，这个数的最小倍数是16，它的因数有1，2，4，8，16。 题型2：探索2、5的倍数特征 【例7】从5，2，7，0四个数字中选出三个数字组成三位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个三位数最大是( )。 【答案】 750 【分析】2 的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5。找最大的三位数，保证高位上的数尽可能的大。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数，个位数字必须是0。因此，从5、2、7、0中选出三个数字时，必须包含0，且0放在个位。百位不能为0，所以百位和十位从5、2、7中选择。 要使三位数最大，百位应取最大的数字7，十位取次大的数字5，个位为0，组成750。 因此，这个三位数最大是750。 【例8】从0、1、2、3这四个数字任意选出三个数字组成的三位数中，是5的倍数的数有( )个。 【答案】6 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。依据题意，组成的三位数个位只能是0。 确定个位为0，从剩下的1、2、3中选两个数字放在百位和十位，分别列举出满足条件的数即可。 【详解】确定5的倍数特征：个位必须是0。 排列百位和十位：从1、2、3中选两个数字排列，有： 百位是1：120、130，共2个数 百位是2：210、230，共2个数 百位是3：310、320，共2个数 共3×2＝6个符合条件的三位数。 因此，是5的倍数的数共有6个。 【点睛】利用5的倍数特征确定个位数字，再通过排列组合计算符合条件的三位数个数。 题型3：探索3的倍数特征 【例9】能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】 90 120 【分析】一个两位数要满足同时被2，3，5整除，只要个位是0，十位是3的倍数即可，最小是30，最大的是90；一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最小，只要个位是0，百位是1，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最小三位数是120；据此解答。 【详解】由分析可得：能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，最小三位数是120。 【例10】283至少增加( )是3的倍数，至少减少( )既是2的倍数也是5的倍数。 【答案】 2 3 【分析】2的倍数的特征：偶数；3的倍数的特征：每一位上数字之和能被3整除；5的倍数的特征：个位上是0或5的数，由此解答即可。 【详解】 283至少增加是3的倍数，至少减少既是2的倍数也是5的倍数。 【例11】《西游记》是我国四大名著之一，唐僧师徒历经81难才取得真经。81的最大因数是( )；比81小且同时是2，3，5的倍数有( )。 【答案】 81 30和60 【分析】根据题意，一个数的最大因数是它本身，据此确定81的最大因数；同时是2、3、5的倍数的数，需满足个位是0，且各个数位上数字的和是3的倍数，再筛选出比81小的符合条件的数，据此解答。 【详解】求81的最大因数：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，因此81的最大因数是81。 求比81小且同时是2、3、5的倍数的数： 同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；是3的倍数的数，各位数字之和能被3整除。 比81小且个位是0的数有：10、20、30、40、50、60、70、80。 其中满足数字和是3的倍数的数为：30、60。 【例12】乐乐行李箱的密码是一个三位数，百位是最小的合数，十位是最小的质数，并且这个三位数既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数。乐乐行李箱的密码是( )。 【答案】420 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】最小的合数是4，百位是4，最小的质数是2，十位是2，4＋2＋0＝6，4＋2＋5＝11，个位数一定是0，乐乐行李箱的密码是420。 【例13】从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【分析】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【详解】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【点睛】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 题型4：最大公因数和最小公倍数 【例14】A＝2×3×5，B＝2×3×2，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 60 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】A＝2×3×5 B＝2×3×2 A和B的最大公因数是：2×3＝6 A和B的最小公倍数是：2×3×2×5＝60 【例15】为促进信息化教学，实验小学购买了一批学练机，这些学练机4台4台地数，5台5台地数都正好数完，实验小学最少购买了( )台学练机。 【答案】20 【分析】4台4台地数，5台5台地数都正好数完，说明学练机的数量既是4的倍数，也是5的倍数，求最少购买了几台，就是求4和5的最小公倍数，可以用分解质因数的方法找到最小公倍数。 【详解】4＝2×2 5＝1×5 2×2×1×5＝20 最小公倍数是20 所以实验小学最少购买了20台学练机。 【例16】a，b是两个非零自然数。如果a÷3＝b，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a－b＝1，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 1 ab 【分析】如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】分析可知，a、b是两个非零自然数，如果a÷3＝b，那么a是b的倍数，b是a的因数，a＞b，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a；如果a－b＝1，那么a和b是相邻的自然数，a和b是互质数，a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【例17】有长度分别为48分米和60分米的两根木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每小段长度都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长是( )。 【答案】12分米/12dm 【分析】根据题意，要把两根不同长度的木条锯成同样长的整分米小段，且没有剩余，每小段的长度必须是48和60的公因数，要求每小段的最长长度，就是求48和60的最大公因数，据此解答。 【详解】分解质因数： 48＝2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 48和60的最大公因数：2×2×3＝12 所以，每小段最长是12分米。 【例18】李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。12月1日李阿姨给两种花同时浇了水，下一次同时浇水是12月( )日。 【答案】13 【分析】根据题意可知，到下一次再给这两种花同时浇水的日期，间隔的天数是4和6的最小公倍数。先求出两种花间隔天数的最小公倍数，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时浇水日期。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12月1日＋12日＝12月13日 所以，下一次同时浇水是12月13日。 【例19】妈妈买回来一些玻璃球，小军6个6个地数，剩1个；5个5个地数，还是剩1个。这些玻璃球至少有( )个。 【答案】31 【分析】6个6个地数，剩1个；5个5个地数，还是剩1个，说明玻璃球的数量至少比5和6的最小公倍数多1，求出5和6的最小公倍数，加1即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】6×5＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 这些玻璃球至少有31个。 【例20】一堆桃子，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩1个，5个5个地数剩1个。这堆桃子至少有( )个。 【答案】31 【分析】一堆桃子，无论是2个2个地数，3个3个地数还是5个5个地数，都正好剩1个，说明桃子的个数比2、3、5的公倍数多1。那么这批桃子的最少个数就比2、3、5的最小公倍数多1，据此解答。 【详解】2、3和5两两互质，它们的最小公倍数是2×3×5＝30 30＋1＝31（个） 这堆桃子至少有31个。 题型5：质数和合数 【例21】一个五位数，万位上是最小的合数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是10以内最大的质数，其他数位上都是0，这个数是( )。 【答案】40170 【分析】合数是指除了能被1和本身整除以外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 据此找出最小的合数、既不是质数也不是合数的数，还有10以内最大的质数，并结合数位顺序表写出这个五位数。 【详解】最小的合数是4，所以这个五位数万位上的数字是4。 1既不是质数也不是合数，所以这个五位数百位上的数字是1。 10以内的质数有2、3、5、7，其中最大的质数是7，所以这个五位数十位上的数字是7。 其他数位上都是0，即千位和个位上都是0。 按照从右往左依次为个位、十位、百位、千位、万位，将各个数位上的数字组合起来，得到这个数是40170。 【例22】在1、2、4、9、13、18、23、56、91、99中，( )是奇数，( )是偶数，( )是质数，( )是合数。 【答案】 1，9，13，23，91，99 2，4，18，56 2，13，23 4，9，18，56，91，99 【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】奇数有：1，9，13，23，91，99 偶数有：2，4，18，56 质数有：2，13，23 合数有：4，9，18，56，91，99 【例23】一个四位数，同时是2、3、5的倍数，它的千位是最小质数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位上既不是质数，也不是合数，这个数的最小倍数是( )。 【答案】2910 【分析】同时是2、3、5的倍数，这个数的个位数字是0；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；不能被2整除的数叫做奇数；一个数最小倍数是它本身；据此解答。 【详解】最小的质数是2，千位上的数字是2。 10以内最大的奇数是9，百位上的数字是9。 1既不是质数，也不是合数，十位上的数字是1。 同时是2、3、5的倍数，个位数字是0。 这个数是2910，这个数的最小倍数是2910。 【例24】酥梨合作社包装礼盒，礼盒编号是一个三位数。百位上是最小的合数，十位上是最小的偶数，这个数既有因数2，又有因数3，这个数最小是( )，把这个数分解质因数是( )。 【答案】 402 402＝2×3×67 【分析】最小的合数是4，因此百位上是4；最小的偶数是0，因此十位上是0。 同时是2和3的倍数的特征：个位是偶数，且各位上数字之和是3的倍数。 要使这个三位数最小，个位应取满足条件的最小数字，因此个位是2，这个数最小是402。 分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，可用短除法进行分解。 【详解】百位上是最小的合数4，十位上是最小的偶数0，个位上要满足同时是2和3的倍数且最小，是2，这个数最小是402。 把这个数分解质因数是402＝2×3×67。 【例25】某快递站要将16个包裹分别派送至A、B两个小区，快递员分拣后发现A区包裹数量比B区多，且A、B两个小区的包裹数量都是质数，那么派送至A区、B区的包裹数量分别是( )个和( )个。 【答案】 13 3 【分析】解答这道题的关键是明确：一个数只有1和它本身两个因数叫质数，一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数叫合数。1既不是质数也不是合数。可以将16分解成两个数的和，再判断两个数是不是质数，还需注意，A区包裹数量比B区多。用列表的方法解答。 【详解】 包裹数总数（个） A区（个） B区（个） 16 15 1 16 14 2 16 13 3 16 12 4 16 11 5 16 10 6 16 9 7 所以： 16＝15＋1，15是合数，1既不是质数，也不是合数，不符合。 16＝14＋2，14是合数，2是质数，不符合。 16＝13＋3，13是质数，3是质数，符合。 16＝12＋4，12是合数，4是合数，不符合。 16＝11＋5，11是质数，5是质数，符合。 16＝10＋6，10是合数，6是合数，不符合。 16＝9＋7，9是合数，7是质数，不符合。 所以，派送至A区、B区的包裹数量分别是13个和3个或11个和5个。（答案不唯一） 【例26】妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 【答案】7241 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】10以内最大的质数是7； 最小的质数是2； 最小的合数是4； 1既不是质数，也不是合数。 取件码是7241。 【例27】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最大的一位数，个位上是10以内最大的质数，这个数是( )。 【答案】1497 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，即1； 百位上是最小的合数，即4； 十位上是最大的一位数，即9； 个位上是10以内最大的质数，即7； 这个数是1497。 一、选择题 1．要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，在□里可以填（    ）。 A．2、4、6、8 B．0 C．0、2、5 D．0、5 【答案】B 【分析】要使9□既是2的倍数又是5的倍数，需同时满足：2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位数字是0或5；据此求出□中的数。 【详解】9□是2的倍数，则这个数可以是90、92、94、96、98 9□是5的倍数，则这个数可以是90、95 所以要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，这个数只能是90。 所以在□里可以填0。 2．如果N（N不为0）表示一个自然数，那么N（N＋1）是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．不确定 【答案】B 【分析】相邻的两个非零自然数中必有一个是偶数，偶数与任意自然数相乘的积都是偶数。 【详解】因为（不为）表示一个自然数， 所以和是相邻的自然数，二者中一定有一个是偶数， 偶数乘任意自然数的结果都是偶数，因此是偶数，而不是奇数； 当N＝1时，N（N＋1）＝1×2＝2，2是质数； 当N＞1时，N（N＋1），N（N＋1）的因数最少有1，N，N＋1，N（N＋1），N（N＋1）是合数； 所以N（N＋1）不一定是质数。 综上如果（不为）表示一个自然数，那么是偶数。 3．张老师买了3个同样的文具大礼包作为奖励，每个大礼包的价格都是相同的整数，且没有任何优惠，张老师可能花了（    ）。 A．110元 B．112元 C．114元 D．118元 【答案】C 【分析】买3个价格为整数且相同的大礼包，总花费一定是3的倍数，根据3的倍数的特征判断即可。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．1＋1＋0＝2，2不是3的倍数，110不是3的倍数，不符合； B．1＋1＋2＝4，4不是3的倍数，112不是3的倍数，不符合； C．1＋1＋4＝6，6是3的倍数，114÷3＝38，符合要求； D．1＋1＋8＝10，10不是3的倍数，118不是3的倍数，不符合。 4．我国芯片研发取得重大突破，芯片的核心组件离不开质数与合数，一个质数与一个合数的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】可以根据质数、合数的定义（即只有和它本身两个因数的数叫做质数，除了和它本身两个因数还有别的因数的数叫做合数）进行判断。 【详解】 质数与合数的乘积，除了和它本身外，还有作为乘数的质数、合数两个因数，符合合数的定义，因此积一定是合数。 5．因为（A，B都是不为0的自然数），所以36是A和B的（    ）。 A．公倍数 B．最小公倍数 C．公因数 D．最大公因数 【答案】A 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中。最大的公因数是它们的最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中。最小的公倍数是它们的最小公倍数。 【详解】因为（A，B都是不为0的自然数），所以36是A和B的公倍数。 6．（、均为非零自然数），、的最小公倍数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．质数 【答案】B 【分析】先根据a＝b＋1判断出a、b是相邻的非零自然数，二者互质，最小公倍数是它们的乘积，再结合相邻自然数一奇一偶的性质判断乘积的奇偶性即可。 【详解】因为a、b均为非零自然数，且a＝b＋1，所以a和b是相邻的非零自然数，二者互质，最小公倍数为a×b。 相邻的两个非零自然数中一定有一个是偶数，奇数乘偶数的积是偶数，因此a×b是偶数，即a和b的最小公倍数是偶数。 7．花店进购了一批百合花，每5枝扎一束，还多3枝；每7枝扎一束，也多3枝。这批百合花至少有（    ）。 A．35枝 B．38枝 C．40枝 D．43枝 【答案】B 【分析】先去掉两种扎法都多出的3枝，剩余的枝数必须正好扎成整束，所以它既是5的倍数，也是7的倍数。要求这批百合花至少有多少枝，就求5和7的最小公倍数，再加上多出的3枝。 【详解】5和7是互质数，它们的最小公倍数是： 5×7＝35（枝） 35＋3＝38（枝） 所以这批百合花至少有38枝。 8．如果m＝5n（m和n都是不为0的自然数），那么，m和n的最大公因数是（    ）。 A．m B．n C．1 D．5 【答案】B 【分析】两个不为0的自然数如果是倍数关系，最大公因数是其中较小的数，本题中m是n的5倍，符合倍数关系的特征。 【详解】已知m和n都是不为0的自然数，m＝5n，说明m是n的5倍，m和n成倍数关系。成倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，m和n中n更小，因此m和n的最大公因数是n。 9．数学上把相差2的两个质数叫“孪（luán）生质数”，如3和5都是质数，且相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．1和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【分析】质数是在指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。孪生质数需要满足两个数都是质数，且相差2，据此逐一判断各选项即可。 【详解】A．1不是质数，此项不符合要求； B．9除了1和本身外还有因数3，是合数，此项不符合要求； C．11和13都是质数，，此项符合孪生质数的定义； D．15除了1和本身外还有因数3、5，是合数，此项不符合要求。 10．下面四组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．9和4 B．15和0.5 C．20和4 D．3.6和6 【答案】C 【分析】因数和倍数的研究对象是非0自然数，且两个数中较大数除以较小数的商是整数且没有余数时，二者才有因数和倍数关系。 【详解】A．9÷4＝2……1，没有因数和倍数关系； B．0.5是小数，不符合条件； C．20÷4＝5，20和4都是自然数且商是整数没有余数，有因数和倍数关系； D．3.6是小数，不符合条件； 11．端午节是中国的传统节日。欢欢做了一些粽子准备送到敬老院献爱心，她把粽子每5个装一盒，余4个，每6个装一盒，还余4个。欢欢可能做了（    ）个粽子。 A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】B 【分析】粽子总数除以5余4，除以6也余4，说明粽子总数减去4后，既是5的倍数，也是6的倍数，即粽子总数减去4是5和6的公倍数。先求出5和6的最小公倍数，确定粽子总数的特征，再结合选项逐一验证。 【详解】A．63－4＝59，59不能被5、6整除，即59不是5和6的公倍数，不符合题意； B．64－4＝60，60÷5＝12，60÷6＝10，60是5和6的公倍数，符合题意； C．65－4＝61，61不能被5、6整除，即61不是5和6的公倍数，不符合题意； D．66－4＝62，62不能被5、6整除，即62不是5和6的公倍数，不符合题意。 12．已知a、b是大于0的自然数，且a−b＝1，则下面说法错误的是（    ）。 A．a和b中只有一个奇数 B．a与b只有公因数1 C．a与b的和是偶数 D．a与b的积是偶数 【答案】C 【分析】a和b是相邻的大于0的自然数，相邻自然数为一奇一偶且互质，以此判断各选项正误。 【详解】由题意得a－b＝1，可知a、b是相邻的大于0的自然数： A．相邻自然数一个为奇数、一个为偶数，说法正确； B．相邻两个自然数互质，公因数只有1，说法正确； C．奇数加偶数的和是奇数，即a＋b是奇数，说法错误； D．奇数乘偶数的积是偶数，即a×b是偶数，说法正确。 13．如果是奇数，是偶数，且＞，那么下面的算式中，计算结果一定是偶数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知是奇数，是偶数，且。奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±奇数＝奇数，偶数±偶数＝偶数，据此分析各选项 【详解】A．3是奇数，是奇数，所以是奇数，是偶数，所以是奇数，此选项错误； B．3是奇数，是偶数，所以是偶数，是奇数，所以是奇数，此选项错误； C．2是偶数，是偶数，所以是偶数，是奇数，所以是奇数，此选项错误； D．2是偶数，是奇数，所以是偶数，是偶数，所以是偶数，此选项正确。 14．王老师买了一些笔记本，准备分给参加比赛的同学，平均分给3个人或5个人，都剩下1本，老师买的笔记本最少有（    ）。 A．7本 B．16本 C．21本 D．31本 【答案】B 【分析】要得到最少的笔记本数量，先求3和5的最小公倍数，再加剩下的1本即可。 【详解】3和5的最小公倍数为：3×5＝15 15＋1＝16（本） 老师买的笔记本最少有16本。 15．中国传统节日形式多样，承载着丰富的历史文化底蕴。2026年中国传统文化节日的日期里两个数都是质数的是（    ）。 A．春节（2月17日） B．清明节（4月5日） C．端午节（6月19日） D．重阳节（10月18日） 【答案】A 【分析】质数是指只有和它本身两个因数的自然数（大于）。据此解答。 【详解】A．月份是，的因数只有和，是质数；日期是，的因数只有和，是质数。两个数都是质数，此选项正确。 B．月份是，的因数有、、，是合数；日期是，是质数。不满足两个数都是质数，此选项错误。 C．月份是，的因数有、、、，是合数；日期是，是质数。不满足两个数都是质数，此选项错误。 D．月份是，的因数有、、、，是合数；日期是，的因数有、、、、、，是合数。不满足两个数都是质数，此选项错误。 16．某市G1路公交车每12分钟发一次车，G4路公交车每18分钟发一次车。两路公交车同时在总站发车后，至少再过（    ）分钟才能再次同时发车。 A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】要求两路公交车至少再过多久再次同时发车，本质是求12和18的最小公倍数。 【详解】 2×3×2×3＝6×2×3＝12×3＝36（分钟） 即两路公交车同时在总站发车后，至少再过（36）分钟才能再次同时发车。 17．下面说法中，不正确的是（    ）。 A．因为12÷4＝3，所以12是倍数。 B．奇数＋奇数＝偶数。 C．两个质数的积是合数。 D．两个连续自然数（0除外）的最大公因数是1。 【答案】A 【分析】逐项根据概念和性质判断：对于A选项，因数与倍数必须在两个数之间说明；对于B选项，奇数加奇数的和是偶数；对于C选项，质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身以外还有其他因数；对于D选项，两个连续非0自然数相差1，据此判断它们的最大公因数。 【详解】A．12÷4＝3，只能说明12是4的倍数、4是12的因数，不能脱离另一个数单独说“12是倍数”，该说法错误。 B．两个奇数相加，和是偶数，该说法正确。 C．两个质数的积除了1和它本身外，至少还有相乘的质数作因数，因此这个积是合数，该说法正确。 D．两个连续非0自然数相差1，它们的公因数只有1，所以最大公因数是1，该说法正确。 18．而立之年指三十岁，不惑之年指四十岁。小优爸爸今年已过而立之年，但未到不惑之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3，则小优爸爸今年（    ）岁。 A．30 B．32 C．36 D．39 【答案】C 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，也就是含有因数3。由题可知小优爸爸的年龄在30岁到40岁之间（不含30和40），找出该范围内同时是2和3的倍数的数即可。 【详解】30到40之间2的倍数有32、34、36、38。 32：3＋2＝5，5不是3的倍数，所以32不是3的倍数，不符合； 34：3＋4＝7，7不是3的倍数，所以34不是3的倍数，不符合； 36：3＋6＝9，9是3的倍数，所以36是6的倍数，符合； 38：3＋8＝11，11不是3的倍数，所以38不是3的倍数，不符合。 因此，小优爸爸今年36岁。 19．若一个自然数恰好等于除自身外所有因数的和，则该数称为完全数。已知数字6是经典的完全数，例如：6的因数有1，2，3，6，且。下列选项中，属于完全数的是（    ）。 A．28 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】根据完全数的定义，找出每个选项数字除自身外的所有因数，计算因数和，判断和是否等于该数字即可。 【详解】A．28除自身外的因数有1、2、4、7、14，，符合完全数定义。 B．18除自身外的因数有1、2、3、6、9，，，不符合。 C．16除自身外的因数有1、2、4、8，，，不符合。 D．14除自身外的因数有1、2、7，，，不符合。 20．下面说法正确的是（    ）。 A．1是最小的质数。 B．分数都比整数小。 C．全班有45名同学，其中女生人数是奇数，则男生人数一定是偶数。 D．已知（m和n为非0自然数），则m和n的最大公因数一定是4。 【答案】C 【分析】结合质数定义、分数与整数的大小关系、奇偶性运算规律、最大公因数的性质，逐个判断选项正误。 【详解】A．最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，A错误； B．例如分数大于整数1，分数不一定比整数小，B错误； C．总人数45是奇数，，根据奇偶性运算规律，奇数减奇数的结果为偶数，已知女生人数是奇数，因此男生人数一定是偶数，C正确； D．举例，令，，满足，此时8和2的最大公因数是2，不是4，D错误。 二、判断题 21．一个自然数个位上是3、6、9，这个数就是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】判断一个数是否为3的倍数，要看这个数各数位上的数字之和能否被3整除，不能仅通过个位数字判断。 【详解】3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，不能只看个位上的数字。如，13的个位是3，各数位上的数字之和为1＋3＝4，4不是3的倍数，因此13不是3的倍数。 故答案为：× 22．a＝4b（a、b为非0自然数），a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 【答案】√ 【分析】两个非0自然数若成倍数关系，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】已知，、为非0自然数，可得是的4倍，二者成倍数关系，且，因此和的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：√。 23．因为a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），所以a和b都是c的倍数。( ) 【答案】× 【分析】在非0自然数的整数乘法算式中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。 【详解】根据因数与倍数的意义：在（、、均是不为0的自然数）中，和是的因数，是和的倍数。 故答案为：× 24．将36名学生分成甲、乙两队，若甲队人数为奇数，则乙队人数为偶数。( ) 【答案】× 【分析】偶数－奇数＝奇数，偶数－偶数＝偶数，据此根据奇数和偶数的运算性质，进行分析。 【详解】甲乙两队人数和为36（偶数），甲队人数为奇数，乙队人数＝36－奇数，因为偶数－奇数＝奇数，所以乙队人数是奇数，不是偶数。 故答案为：× 25．一个正方形的边长是奇数，这个正方形的周长一定是偶数。( ) 【答案】 【分析】正方形周长等于边长乘，是偶数，奇数乘偶数的积是偶数，可直接判断该说法正确。 【详解】正方形周长计算公式： 已知边长是奇数，是偶数，根据奇数和偶数的运算性质，奇数乘偶数的积是偶数， 比如：奇数是，偶数是，积，是偶数。 因此这个正方形的周长一定是偶数。 故答案为： 26．个位上是0或5的数，一定是5的倍数，也一定是2的倍数。( ) 【答案】 × 【分析】个位上是0和5的数是5的倍数，个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是5的数不是2的倍数，据此解答。 【详解】个位上是0和5的数是5的倍数，个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如15，个位是5，是5的倍数，但不是2的倍数。原题说法错误。 故答案为：× 27．如果□73是3的倍数，那么□里可能是3。( ) 【答案】× 【分析】一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；计算□填3时的数位和即可判断对错。 【详解】，13不是3的倍数，因此□填3时□73不是3的倍数，题目说法错误。 故答案为：× 28．要使三位数7□0同时是2、3、5的倍数，□里最小填3。( ) 【答案】× 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8。3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。5的倍数特征：个位数字是0或5。根据以上特征，从0到3依次代入检验，找出符合条件的数字是否是3。 【详解】解：这个三位数的个位数字是0，既是2的倍数也是5的倍数。 7＋0＋0＝7，7不是3的倍数，所以700不是3的倍数，数字0不符合条件； 7＋0＋1＝8，8不是3的倍数，所以710不是3的倍数，数字1不符合条件； 7＋0＋2＝9，9是3的倍数，所以720是3的倍数，数字2符合条件； 7＋0＋3＝10，10不是3的倍数，所以730不是3的倍数，数字3不符合条件。 故答案为：×。 29．一个数的最大因数和最小倍数相加等于36，这个数是12。( ) 【答案】× 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，二者的和等于这个数的2倍。 【详解】36÷2＝18 求得这个数是18，不等于12，原题说法错误。 故答案为：× 30．用数字3、6、7组成的三位数一定是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】，16不是3的倍数； 因此用3、6、7组成的三位数都不是3的倍数，原说法错误。 故答案为：× 31．两个不同质数的乘积可能是奇数也可能是偶数。( ) 【答案】√ 【分析】质数中只有2是偶数，其余质数都是奇数；奇数×奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数。 【详解】当两个质数一个是奇数，另一个是偶数时，如2和3是不同的质数，2×3＝6，6是偶数； 当两个质数都是奇数时，如3和5是不同的质数，3×5＝15，15是奇数。 所以两个不同质数的乘积可能是奇数也可能是偶数。 故答案为：√ 32．m是奇数，n是偶数，m＋n的和一定是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】根据运算性质“奇数＋偶数＝奇数”判断。 【详解】m是奇数，n是偶数，m＋n的和一定是奇数。原题干说法正确。 故答案为：√。 33．8路公交车每6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路车在早上6：30同时发车，到早上6：54才能再次同时发车。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，再次同时发车的时间间隔是6和8的公倍数，再次同时发车的最短时间间隔是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】6的倍数有：6，12，18，24，30…… 8的倍数有：8，16，24，32…… 6和8的最小公倍数是24； 6时30分＋24分＝6时54分 故答案为：√ 34．把一个长18cm、宽12cm的长方形的硬纸板，要剪成同样大小的正方形，边长为整厘米数且没有剩余，小正方形的边长有3种不同的取值。( ) 【答案】× 【分析】要使剪成的正方形边长为整厘米且无剩余，小正方形的边长必须是18和12的公因数，求出二者的公因数个数即可判断。 【详解】18的因数有：1，2，3，6，9，18，12的因数有：1，2，3，4，6，12，18和12的公因数有1、2、3、6，共4种不同的取值，与题干描述不符，原题说法错误。 故答案为：× 35．相邻两个非零自然数的和一定是奇数，积一定是合数。( ) 【答案】 × 【分析】相邻两个非零自然数中，必定一个是奇数（不是2的倍数的数）一个是偶数（是2的倍数的数），奇数＋偶数＝奇数；奇数×偶数＝偶数，但不一定是合数（除了1和它本身外还有其他因数的数）。 【详解】相邻两个非零自然数的和一定是奇数，例如1＋2＝3；但积不一定是合数，例如1×2＝2，2是质数。原题说法错误。 故答案为：× 三、填空题 36．丰巢取件，快捷方便，取件码一般是六位数字。刘阿姨这样描述她的取件码：左起第一位是最小的质数，第二位是6和9的最大公因数，第三位是最大的一位数，第四位既不是质数也不是合数，第五位是最小的奇数，最后一位是0。这个取件码是( )。 【答案】239110 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最大的一位数是9，1既不是质数也不是合数；奇数指不能被2整除的整数，再判断取件码。 【详解】最小的质数是2，所以取件码从左边起第一位数字是2。 6的因数有1、2、3、6，9的因数有1、3、9，所以6和9的最大公因数是3，所以取件码从左边起第二位数字是3。 最大的一位数是9，所以取件码从左边起第三位数字是9。 既不是质数也不是合数的数是1，所以取件码从左边起第四位数字是1。 最小的奇数是1，所以取件码从左边起第五位数字是1。 最后一位是0，所以取件码从左边起第六位数字是0。 综上，这个取件码是239110。 37．若a÷b＝5（a和b都是非0自然数），则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】两个非0自然数中，如果较大数是较小数的整数倍，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。根据除法算式判断a和b的倍数关系，再确定它们的最大公因数和最小公倍数。 【详解】因为a÷b＝5，所以a＝5×b，a是b的5倍，b是a的因数。 当两个非0自然数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数。 所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 38．m＝n＋1（m和n都是不为0的自然数），则m和n的最大公因数是( )，m和n的最小公倍数是( )。 【答案】 1 mn 【分析】求两个数的最大公因数、最小公倍数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1、最小公倍数是这两个数的乘积。据此求解。 【详解】m＝n＋1（m和n都是不为0的自然数），则m和n是两个相邻的自然数，互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积mn。 39．一农家小院长7.2米，宽4.5米。想用同样大小的正方形地砖整块铺满地面，不切割地砖，也没有剩余空隙，正方形地砖的边长最大是( )米。 【答案】 0.9 【分析】先根据“1米＝10分米”将长度单位换算成72分米、45分米；再将72和45分解质因数，求出72和45的最大公因数（公有质因数的乘积）就是正方形地砖的最大边长；最后将长度单位换算成米。 【详解】7.2米＝72分米 4.5米＝45分米 72＝2×2×2×3×3 45＝3×3×5 最大边长为：3×3＝9（分米） 9分米＝0.9米 40．王阿姨的一个快递被寄存到了快递驿站，取件码是ABCDE，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的奇数。王阿姨的取件码是( )。 【答案】93649 【分析】一位数是指0∼9的整数，其中最大的一位数是9，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2；同时是2和3的倍数，说明这个数是6的倍数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4；一位数中最大的奇数是9。据此解答。 【详解】A是最大的一位数，所以A是9； 最小的质数是2，2＋1＝3，所以B是3； C同时是2和3的倍数，C是2×3＝6的倍数，在一位数中，只有6是6的倍数，所以C＝6； 最小的合数是4，所以D＝4； 一位数中最大的奇数是9，所以E＝9。 所以王阿姨的取件码是93649。 41．天门市博物馆是一座地方综合性博物馆，馆藏文物见证了五千余年的人类文明。某日，博物馆的参观人数总计为8□9□人次，且这个数同时是2、3、4的倍数。此时，这个数个位上的数字可能有( )种情况；当这个数取到最大值时，可达到( )人次。 【答案】 2 8892 【分析】8□9□是2的倍数，说明个位上只能是0、2、4、6、8；是4的倍数，它的末两位必须被4整除（因为100是4的倍数，百位及以上的数不影响能否被4整除），个位代入0、2、4、6、8，发现只有92和96能被4整除，个位上的数字是2或6；是3的倍数，那么各个数位上的数字相加的和能被3整除，8□9□，设百位上是A（A是0~9的整数），个位上是2时，8＋A＋9＋2＝19＋A，要使（19＋A）能被3整除，A可以是2，5，8；个位上是6时， 8＋A＋9＋6＝23＋A，要使（23＋A）能被3整除，A可以是1，4，7；所以个位上的数字是2或6，8□9□都存在同时是2、3、4的倍数的情况，个位上的数字有2种情况；百位上可以取1，2，4，5，7，8，百位上取最大值8时，个位上是2，故最大数是8892。 【详解】根据2的倍数特征，个位上取0、2、4、6、8； 90÷4＝22.5，92÷4＝23，94÷4＝23.5，96÷4＝24，98÷4＝24.5， 根据4的倍数特征，个位取2或6； 设8□9□百位上是A（A是0~9的整数），则有8A92或8A96； 根据3的倍数特征， 8＋A＋9＋2＝19＋A，要使（19＋A）能被3整除，A可以是2，5，8； 8＋A＋9＋6＝23＋A，要使（23＋A）能被3整除，A可以是1，4，7； 所以个位上的数字有2种情况；当这个数取到最大值时，百位上取8，个位上取2， 可达到8892人次。 42．从0、3、4、9这四个数字中选出三个，组成一个同时是2、3、5倍数的三位数，这个三位数最大是( )。 【答案】930 【分析】同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；是3的倍数，各个数位上的数字之和必须是3的倍数。要使组成的三位数最大，应将较大的数字放在较高的数位上。 【详解】要使组成的三位数最大，应将最大的数字放在百位，次大的数字放在十位，最小的数字放在个位。所以，这个三位数最大是930。 43．a，b是两个非零自然数，若a是b的3倍，则a和b的最小公倍数是( )；若a－1＝b，则a和b的最大公因数是( )；若四位数4AA1能被3整除，则A最大是( )。 【答案】 【分析】（）根据两个数成倍数关系时，最小公倍数是较大数的规律进行判断。 （）根据相邻的两个非零自然数互质，最大公因数是的规律进行判断。 （）根据能被整除的数的特征（各位数字之和是的倍数），通过试算确定的最大值。 【详解】①因为是的倍，即和成倍数关系，且、为非零自然数，所以和的最小公倍数是较大数，即。 ②因为，且、为非零自然数，说明和是相邻的自然数。相邻的两个非零自然数互质，公因数只有，所以和的最大公因数是。 ③四位数能被整除，根据能被整除的数的特征，其各位数字之和必须是的倍数。 各位数字之和为：，为一位数字，取值范围是到。要使最大，从开始尝试： 当时，，不是的倍数； 当时，，是的倍数。所以最大是。 44．学校图书角新购进一批图书，其中故事书有72本，科技书有48本。图书管理员准备将这两种书分别捆成若干捆，每捆的本数相同，且正好捆完。每捆最多可以是( )本，这时故事书和科技书一共捆了( )捆。 【答案】 24 5 【分析】每捆本数相同，并且两种书都正好捆完，说明每捆本数既是故事书本数的因数，也是科技书本数的因数。要求每捆最多有多少本，就是求这两个数的最大公因数。求出每捆本数后，分别用两种书的本数除以每捆本数，再把所得捆数相加。 【详解】72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 72和48的最大公因数是24，所以每捆最多可以是24本。 72÷24＝3（捆） 48÷24＝2（捆） 3＋2＝5（捆） 所以这时故事书和科技书一共捆了5捆。 45．一个两位数是3和5的公倍数，它的十位上是6，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )，它与45的最大公因数是( )。 【答案】 60 15 【分析】①先明确3和5的公倍数的特征——能同时被3、5整除，再结合十位是6的两位数这个限定条件，先缩小候选数范围，再用整除规则筛选出最终结果。 ②明确分解质因数的要求是把数拆成若干个质数相乘的形式，从最小的质数开始尝试拆分即可。 ③可以借助已经得到的两个数的质因数分解结果，取出所有公共质因数相乘，就能得到最大公因数。 【详解】①首先十位是6的两位数范围是60~69； 根据5的倍数特征：个位只能是0或5，因此候选数只有60、65两个； 再根据3的倍数特征：各位数字之和能被3整除：60的数字和为，6能被3整除，符合要求；65的数字和为，11不能被3整除，排除。 因此这个两位数是60。 ②从最小的质数2开始拆分：60先除以2得到30，30再除以2得到15，15拆分出质数3后剩下质数5，最终整理为质数连乘的形式：。 ③先对45分解质因数得：； 对比60和45的质因数，两个数共有的质因数是3和5，取共有的质因数相乘：，因此二者的最大公因数是15。 46．制作一个三角形框架，已有长度分别是5cm和10cm的两根木条，如果第三根木条的长度是5的倍数，那么第三根木条长( )cm；如果第三根木条的长度是27的因数，那么第三根木条长( )cm。 【答案】 10 9 【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，确定第三根木条长度的取值范围。个位上是或者的整数，就是的倍数；再在该范围内分别找出符合“是的倍数”和“是的因数”条件的数。 【详解】两边之差：， 两边之和：， 所以，第三根木条的长度大于且小于， 因为第三根木条的长度是的倍数，的倍数有，，，，……， 在大于且小于的范围内，符合条件的数只有； 所以第三根木条长为； 的因数有，，，， 在大于且小于的范围内，符合条件的数只有。 所以第三根木条长为。 所以制作一个三角形框架，已有长度分别是和的两根木条，如果第三根木条的长度是的倍数，那么第三根木条长；如果第三根木条的长度是的因数，那么第三根木条长。 47．太极拳被誉为“哲拳”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录。某运动会开幕式上，太极拳方阵表演队伍走转自如、刚柔相济。现有45名男生和36名女生参与表演，需按相同的性别分别站成若干排，要求每排人数相同且尽可能多，则每排最多有( )人。 【答案】9 【分析】根据题意，男生和女生分别站成若干排，且每排人数相同，说明每排人数既是男生人数45的因数，也是女生人数36的因数，即每排人数是45和36的公因数。题目要求每排人数尽可能多，即求45和36的最大公因数。用分解质因数法求最大公因数。 【详解】45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 45和36的最大公因数：3×3＝9 即每排最多有9人。 48．月光宝盒有一个密码锁，密码是一个四位数。从左往右，第一位既是质数，又是偶数；第二位既不是质数，又不是合数；第三位是最小的合数；第四位是质数中最大的一位数，这个密码是( )。 【答案】2147 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 【详解】第一位数字既是质数，又是偶数是2，第二位数字既不是质数，又不是合数是1，第三位数字是最小的合数是4，第四位数字是质数中最大的一位数是7，所以这四个数字组成密码是2147。 49．一箱苹果，如果每8个装一盒，装一些盒后，还剩下6个；如果每12个装一盒，也剩余6个，这箱苹果至少有__________个。 【答案】30 【分析】这箱苹果每8个装一盒，还剩余6个，如果每12个装一盒，也剩余6个，说明苹果个数比8和12的公倍数多6，求出8和12的最小公倍数，再加上6即可。 【详解】 2×2×2×3＝4×2×3＝8×3＝24（个） 24＋6＝30（个） 即这箱苹果至少有30个。 50．三个小朋友的年龄是三个连续的奇数，已知他们的年龄和是33岁，则最小和最大的小朋友年龄分别是( )岁和( )岁。 【答案】 9 13 【分析】连续奇数是指相邻两个奇数相差2的整数序列。对于三个连续奇数，中间那个数等于这三个数的和除以3。求出中间数后，根据相邻奇数相差2的规律，分别减去2和加上2即可求出最小数和最大数。 【详解】中间小朋友的年龄：（岁） 最小的小朋友年龄：（岁） 最大的小朋友年龄：（岁） 51．在1、2、9、13、30、50这些数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )；3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 【答案】 、、 、、 、 、 、 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；一个数各位上的数字加起来能被3整除，这个数就是3的倍数；同时是2和5的倍数的数个位一定是0。据此解答。 【详解】1、9、13是奇数，2、30、50是偶数； 2的因数只有1和2，13的因数只有1和13，所以它们是质数；1既不是质数也不是合数，9、30、50还有其他因数，不是质数。 9的数字和是9，30的数字和是3，都能被3整除，所以9、30是3的倍数； 30和50的个位都是0，所以既是2的倍数又是5的倍数的数有30、50。 52．已知两个非0自然数M＝2×3×5×a，N＝2×3×7×a（a为质数），若M、N的最大公因数是30，则a＝( )，M、N的最小公倍数是( )。 【答案】 5 1050 【分析】根据最大公因数的定义，它是两个数公有质因数的乘积。观察M和N的表达式，找出公有的质因数，结合已知的最大公因数数值即可求出。再根据最小公倍数的定义，它是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积，代入的值进行计算即可。 【详解】由题意可知， M＝2×3×5×a，N＝2×3×7×a，则，M和N公有的质因数是2、3和a，所以M、N的最大公因数是：2×3×a＝6×a；6×a＝30，a＝30÷6＝5，5是质数，符合题意。 此时，M＝2×3×5×5，N＝2×3×5×7，则，M、N的最小公倍数是：2×3×5×5×7＝1050。 四、解答题 53．本次生态共建实践活动结束后，为向全校师生普及水源地保护、垃圾分类等环境保护知识，学校美术社团筹备制作环保宣传海报。该社团人数比20多且比30少，社长拿了48张卡纸平均分给社团成员，正好分完。一共有多少个社团成员？ 【答案】一共有24个社团成员。 【分析】卡纸平均分给社团成员且正好分完，说明社团人数是48的因数。先找出48的所有因数，再根据人数比20多且比30少进行筛选，即可确定社团人数。 【详解】。 48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 其中比20大且比30小的因数只有24，所以社团有24人。 （张），每人2张能正好分完。 答：一共有24个社团成员。 54．男生24人，女生36人分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 【答案】每排最多有12人；男生有2排，女生有3排 【分析】要使每排人数相同且最多，需先求出24和36的最大公因数，用分解质因数法求出最大公因数，即每排最多的人数；再用男、女生人数分别除以每排人数，求出各自的排数。 【详解】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是2×2×3＝12 所以每排最多有12人。 男生排数：24÷12＝2（排） 女生排数：36÷12＝3（排） 答：每排最多有12人；男生有2排，女生有3排。 55．把两根长度分别为48厘米和30厘米的彩带剪成同样长的小段，每段最长多少厘米？一共能剪成这样的多少段？ 【答案】 每段最长6厘米，一共能剪成这样的13段。 【分析】要使剪成的小段同样长且每段最长，每段的长度是48和30的最大公因数，分别计算两根彩带可剪的段数，相加得到总段数。 【详解】 30、48的公有质因数为2、3。 （厘米） （段） 答：每段最长6厘米，一共能剪成这样的13段。 56．非遗工坊制作传统木梳，制作总数在85–95之间。每5个装一盒或每6个装一盒，都能正好装完。工坊一共制作了多少把木梳？ 【答案】 工坊一共制作了90把木梳 【分析】每5个或每6个装都能正好装完，说明木梳总数是5和6的公倍数，先求5和6的最小公倍数，再找出85至95之间的公倍数即可。 【详解】5和6的最小公倍数：（把） （把），，不符合要求。 （把），，符合要求。 （把），，不符合要求。 答：工坊一共制作了90把木梳。 57．刘老师家装修，买来一批长30厘米、宽20厘米的长方形地砖。她想用这些地砖在客厅地面拼出一个正方形图案，要求地砖不能切割，并且恰好铺满。拼成这个正方形最少需要多少块地砖？ 【答案】6块 【分析】用长方形地砖拼无切割的正方形，边长需是地砖长和宽的公倍数；要地砖数量最少，边长取长和宽的最小公倍数，再计算两个方向的地砖块数相乘得总块数。 【详解】的倍数有、、⋯。 的倍数有、、⋯。 和的最小公倍数是。 所以正方形图案的边长是60厘米。 （60÷30）×（60÷20） ＝2×3 ＝6（块） 答：最少需要6块地砖。 58．新疆塔克拉玛干沙漠种出3.1万亩高产小麦，亩产达450公斤，成为全球沙漠农业的标杆，也实现了袁隆平爷爷“向沙漠要粮”的梦想。现有一块沙漠试验田，长64米，宽56米，把这块试验田划分成若干块大小相同的正方形试验田且没有剩余，最少可以划出多少块试验田？（边长为整米数。） 【答案】 56块 【分析】划分的正方形试验田无剩余且块数最少，需让正方形边长尽可能大，即边长为长方形长和宽的最大公因数。先求最大公因数，再分别计算长、宽方向的块数，相乘得到总块数。 【详解】64和56的最大公因数是8，即正方形试验田的最大边长为8米。 长方向可划分的块数： （块） 宽方向可划分的块数： （块） 总块数： （块） 答：最少可以划出56块试验田。 59．剪纸小组要把一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余。裁成的正方形边长最长是几厘米？一共可以裁成多少个小正方形？ 【答案】 6厘米；20个 【分析】要裁成同样大小且没有剩余的正方形，且边长最长，需先求出长和宽的最大公因数作为正方形边长；再分别计算长、宽方向能裁的正方形个数，相乘得到总个数。 【详解】分解质因数：， 和的最大公因数是，正方形边长最长为厘米； （个） （个） （个） 答：裁成的正方形边长最长是6厘米，一共可以裁成20个小正方形。 60．某社区有一块长方形空地，地面长36分米、宽27分米。如果用一种边长是整分米数的正方形防滑砖将空地铺满（用的砖必须都是整块的）。正方形防滑砖的边长最大是多少分米？ 【答案】 9分米 【分析】要用整块正方形砖铺满长方形空地，砖的边长必须同时是长方形长和宽的公因数，求最大边长就是求36与27的最大公因数。 【详解】用短除法求36和27的最大公因数： 36与27的最大公因数是：3×3=9 答：正方形防滑砖的边长最大是9分米。 61．学校一年级开展“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动，老师一共拿来48件上衣和72条长裤，为了比赛公平，每人分得的衣服相同。最多可以有多少名学生同时参赛？每人分得上衣和长裤的数量分别是多少？ 【答案】24名；2件；3条 【分析】每人分得的上衣、长裤数量相同，说明参赛人数是48和72的公因数，求最多参赛人数即求这两个数的最大公因数；再用上衣、长裤的总数量分别除以最大公因数，得到每人分得的数量。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 （名） 每人分得上衣：（件） 每人分得长裤：（条） 答：最多可以有24名学生同时参赛；每人分得上衣2件，长裤3条。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $