第七单元 倍数与因数（解决问题讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理了“倍数与因数”单元的核心内容，涵盖倍数与因数的意义、2/5/3的倍数特征、质数与合数、最大公因数及最小公倍数五大知识点，按“概念理解-特征应用-实际问题解决”的逻辑呈现知识脉络，突出各要点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与问题解决导向，A夯实基础、B培优拔高、C思维拓展三级题目适配不同学生，如“分糖果求因数”“截铁丝算最大公因数”等典型例题结合变式训练，培养抽象能力与模型意识，助力学生掌握解题方法，也为教师实施精准复习提供清晰路径。

第七单元 倍数与因数 1.倍数与因数的意义与基础应用： ---- 在非零自然数范围内研究倍数与因数：若（均为非 0 自然数），则是的因数，是的倍数。一个数的因数个数有限，最小因数是 1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。可通过列举法找一个数的因数与倍数，解决平均分、分组等实际问题。 2.2、5、3 的倍数特征应用： ---- 2 的倍数：个位是 0、2、4、6、8；5 的倍数：个位是 0 或 5；3 的倍数：各位上数字之和是 3 的倍数。同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0。利用倍数特征可快速判断数的属性，解决分组、分配、排列数字类问题。 3.质数与合数的实际应用： ---- 质数：只有 1 和它本身两个因数；合数：除了 1 和它本身还有其他因数；1 既不是质数也不是合数。解决实际问题时，可通过分解因数、列举质数的方法，结合和差关系找到符合条件的质数，常用于图形边长、数字拆分等场景。 4.最大公因数的实际应用： ---- 几个数公有的因数叫公因数，其中最大的叫最大公因数。当题目出现 “最多分几份”“最长 / 最大是多少”“没有剩余” 等关键词时，通常是求几个数的最大公因数，常见于分物品、裁剪图形、分组等场景。 5.最小公倍数的实际应用： ---- 几个数公有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。当题目出现 “再次同时”“至少再过多久”“最少有多少” 等关键词时，通常是求几个数的最小公倍数，常见于行程相遇、周期重复、排队集合等场景。 类型 1 因数与倍数基础应用 典型例题 1：有 48 块糖果，平均分给若干个小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？（人数大于 1） 【分析】正好分完说明小朋友的人数是 48 的因数，找出 48 所有大于 1 的因数即可。 【答案】2 人、3 人、4 人、6 人、8 人、12 人、16 人、24 人、48 人 【详解】 48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 人数大于 1，所以可能是 2、3、4、6、8、12、16、24、48 人 答：小朋友的人数可能是 2 人、3 人、4 人、6 人、8 人、12 人、16 人、24 人、48 人。 【变式训练】一个数既是 12 的倍数，又是 36 的因数，这个数最大是多少？最小是多少？ 【答案】最大 36，最小 12 【详解】 36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 其中是 12 的倍数的有：12、36 最大是 36，最小是 12 答：这个数最大是 36，最小是 12。 类型 2 2、5、3 的倍数特征应用 典型例题 2：水果店运来一批苹果，每 2 个装一袋、每 3 个装一袋、每 5 个装一袋都正好装完。这批苹果最少有多少个？ 【分析】同时是 2、3、5 的倍数，就是求这三个数的最小公倍数，个位是 0 且各位和是 3 的倍数，最小的数就是它们的最小公倍数。 【答案】30 个 【详解】 同时是 2、5 的倍数，个位一定是 0；又是 3 的倍数，十位最小是 3 2、3、5 的最小公倍数： 答：这批苹果最少有 30 个。 【变式训练】从 0、4、5、7 四个数字中选三个组成三位数，同时是 2、3、5 的倍数，这样的三位数有哪些？ 【答案】450、540、570、750 【详解】 同时是 2 和 5 的倍数，个位必须是 0；剩下两位数字和是 3 的倍数 ，，都是 3 的倍数 可组成：450、540、570、750 答：这样的三位数有 450、540、570、750。 类型 3 质数与合数的应用 典型例题 3：两个质数的和是 20，积是 91。这两个质数分别是多少？ 【分析】先把 91 分解成两个数相乘的形式，再判断哪组因数都是质数，且和为 20。 【答案】7 和 13 【详解】 91 的因数：1、7、13、91 其中两个质数相乘： 和：，符合条件 答：这两个质数分别是 7 和 13。 【变式训练】一个长方形的长和宽都是质数，周长是 40 厘米。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】91 平方厘米 【详解】 长 + 宽：（厘米） 两个质数相加等于 20 的组合：3+17、7+13 面积分别是：平方厘米，平方厘米 ，最大是 91 平方厘米 答：面积最大是 91 平方厘米。 类型 4 最大公因数的实际应用 典型例题 4：有两根铁丝，一根长 42 厘米，一根长 56 厘米。把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？ 【分析】截成同样长且无剩余，求最长长度就是求 42 和 56 的最大公因数；再分别算两根截的段数，相加得总段数。 【答案】最长 14 厘米，一共 7 段 【详解】 42 的因数：1、2、3、6、7、14、21、42 56 的因数：1、2、4、7、8、14、28、56 最大公因数是 14，即每小段最长 14 厘米 （段），（段） 总段数：（段） 答：每小段最长 14 厘米，一共可以截成 7 段。 【变式训练】用长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少块瓷砖？ 【答案】边长最小 90 厘米，至少 6 块 【详解】 铺成最小的正方形，边长是 45 和 30 的最小公倍数 45 和 30 的最小公倍数是 90，即边长最小 90 厘米 长需要：（块），宽需要：（块） 总块数：（块） 答：正方形边长最小 90 厘米，至少需要 6 块瓷砖。 类型 5 最小公倍数的实际应用 典型例题 5：甲、乙两人到图书馆借书，甲每 6 天去一次，乙每 9 天去一次。如果 3 月 5 日他们同时去了图书馆，下次两人同时去图书馆是几月几日？ 【分析】先求 6 和 9 的最小公倍数，得到间隔天数，再从 3 月 5 日往后推算日期。 【答案】3 月 23 日 【详解】 6 和 9 的最小公倍数是 18，即再过 18 天两人同时去 3 月 5 日 + 18 天 = 3 月 23 日 答：下次两人同时去图书馆是 3 月 23 日。 【变式训练】幼儿园小朋友做游戏，分成 6 人一组或 8 人一组都正好分完。如果总人数在 50 人以内，最多有多少个小朋友？ 【答案】48 个 【详解】 人数是 6 和 8 的公倍数，6 和 8 的最小公倍数是 24 50 以内的公倍数：24、48 最大是 48 答：最多有 48 个小朋友。 A夯实基础 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（ ）。 A．8 和 2 B．4 和 0.5 C．2 和 12 D．3 和 7 【答案】A 【分析】在非零自然数范围内研究倍数，大数是小数的倍数，8÷2=4，所以 8 是 2 的倍数。 【详解】倍数研究的是非 0 自然数，0.5 不是自然数；12 是 2 的倍数，不是 2 是 12 的倍数；8 是 2 的 4 倍，因此选 A。 2．一个数既是 9 的倍数，又是 9 的因数，这个数是（ ）。 A．1 B．3 C．9 D．18 【答案】C 【分析】一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。 【详解】9 的最大因数是 9，最小倍数是 9，所以这个数是 9。 3．同时是 2、3、5 的倍数的最小两位数是 ()，最大两位数是 ()。 【答案】30；90 【分析】同时是 2、5 的倍数个位是 0，再满足是 3 的倍数，最小两位数十位是 3，最大两位数十位是 9。 【详解】个位为 0，十位是 3 的倍数，最小 30，最大 90。 4．20 以内的质数一共有 ( ) 个。 【答案】8 【分析】质数是只有 1 和本身两个因数的数，列举 20 以内的质数即可。 【详解】20 以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19，共 8 个。 5．12 和 18 的最大公因数是 ()，最小公倍数是 ()。 【答案】6；36 【分析】列举两个数的因数和倍数，找到最大公因数和最小公倍数。 【详解】12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18，最大公因数 6。12 的倍数：12、24、36…；18 的倍数：18、36…，最小公倍数 36。 6．有 36 个橘子，平均分给几个小朋友，每个小朋友分 4 个，可以分给多少个小朋友？ 【答案】9 个 【分析】求 36 里有几个 4，用除法计算，也可根据因数意义求解。 【详解】 （个） 答：可以分给 9 个小朋友。 7．一个长方形的面积是 24 平方厘米，长和宽都是整厘米数，长和宽分别可能是多少厘米？ 【答案】长 24 宽 1、长 12 宽 2、长 8 宽 3、长 6 宽 4 【分析】长 × 宽 = 24，找 24 的所有因数对即可。 【详解】 答：长和宽可能是 24cm 和 1cm、12cm 和 2cm、8cm 和 3cm、6cm 和 4cm。 B培优拔高 8．五（1）班有 40 多人，做广播操时排成 8 人一排或 12 人一排都正好排完。五（1）班有多少人？ 【答案】48 人 【分析】人数是 8 和 12 的公倍数，且在 40-50 之间，先求最小公倍数再找符合范围的数。 【详解】 8 和 12 的最小公倍数是 24 （人），符合 40 多人的条件 答：五（1）班有 48 人。 9．把长 60 厘米、宽 45 厘米的长方形彩纸剪成同样大的正方形，没有剩余，正方形边长最大是多少厘米？能剪多少个？ 【答案】15 厘米；12 个 【分析】求 60 和 45 的最大公因数就是正方形最大边长，再算长和宽分别能剪几个，相乘得总数。 【详解】 60 和 45 的最大公因数是 15，边长最大 15 厘米 长：（个），宽：（个） 总数：（个） 答：正方形边长最大 15 厘米，能剪 12 个。 10．两个连续自然数的和是 17，这两个数的最大公因数和最小公倍数分别是多少？ 【答案】最大公因数 1，最小公倍数 72 【分析】先求出两个连续自然数是 8 和 9，它们是互质数，最大公因数是 1，最小公倍数是乘积。 【详解】 较小数：，另一个是 9 8 和 9 互质，最大公因数是 1，最小公倍数： 答：最大公因数是 1，最小公倍数是 72。 11．有一堆桃子，3 个 3 个地数余 2 个，4 个 4 个地数余 2 个，5 个 5 个地数也余 2 个。这堆桃子最少有多少个？ 【答案】62 个 【分析】去掉 2 个桃子后，数量正好是 3、4、5 的公倍数，求最小公倍数再加 2 即可。 【详解】 3、4、5 的最小公倍数： 最少有：（个） 答：这堆桃子最少有 62 个。 12．用 10 以内的质数组成一个三位数，使它同时是 3 和 5 的倍数，这个数最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小 375，最大 735 【分析】10 以内质数：2、3、5、7；是 5 的倍数个位必须是 5；剩下两位数字和是 3 的倍数，选出数字排列即可。 【详解】 个位是 5，剩下数字选 3 和 7，是 3 的倍数 最小：375，最大：735 答：最小是 375，最大是 735。 13．有三根绳子，分别长 12 米、18 米、24 米。现在要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】6 米；9 段 【分析】求 12、18、24 的最大公因数，就是每段最长长度；总长度除以每段长度得段数。 【详解】 12、18、24 的最大公因数是 6，每段最长 6 米 总长度：（米） 段数：（段） 答：每段最长 6 米，一共可以截成 9 段。 14．一个数在 100 以内，且比 24 的倍数多 15，这个数最大是多少？ 【答案】87 【分析】先找 100 以内 24 的最大倍数，再加 15，不超过 100 即可。 【详解】 ，，不符合 ，，符合 答：这个数最大是 87。 C思维拓展 15．甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈用 4 分钟，乙跑一圈用 6 分钟，丙跑一圈用 8 分钟。三人同时从起点出发，至少经过多少分钟三人再次在起点相遇？ 【答案】24 分钟 【分析】再次在起点相遇的时间就是 4、6、8 的最小公倍数。 【详解】 4、6、8 的最小公倍数是 24 答：至少经过 24 分钟三人再次在起点相遇。 16．两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，其中一个数是 12，另一个数是多少？ 【答案】18 【分析】两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数，用这个关系计算另一个数。 【详解】 答：另一个数是 18。 17．有一盒玻璃球，4 个 4 个地数多 3 个，6 个 6 个地数多 5 个，9 个 9 个地数多 8 个。这盒玻璃球最少有多少个？ 【答案】35 个 【分析】补上 1 个玻璃球，数量就正好是 4、6、9 的公倍数，求最小公倍数再减 1 即可。 【详解】 4、6、9 的最小公倍数是 36 最少有：（个） 答：这盒玻璃球最少有 35 个。 18．把一张长 36 厘米、宽 24 厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米的正方形，且没有剩余。一共有多少种不同的剪法？边长最大是多少厘米？ 【答案】6 种；12 厘米 【分析】正方形边长是 36 和 24 的公因数，找出公因数的个数就是剪法数，最大公因数就是最大边长。 【详解】 36 和 24 的公因数：1、2、3、4、6、12，共 6 个 所以有 6 种剪法，最大边长 12 厘米 答：一共有 6 种不同的剪法，边长最大是 12 厘米。 19．两个自然数的和是 50，它们的最大公因数是 5，这两个数分别是多少？ 【答案】5 和 45、15 和 35 【分析】两个数都是 5 的倍数，设为 5a 和 5b，a 和 b 互质，且 5a+5b=50，即 a+b=10，找出互质的 a、b 组合。 【详解】 ，互质的组合：1 和 9、3 和 7 对应两个数：，；， 答：这两个数是 5 和 45，或 15 和 35。 20．一个班学生人数不足 50 人，分别按 6 人、8 人和 12 人分组，学生都正好分完。这个班最多有多少人？ 【答案】48 人 【分析】人数是 6、8、12 的公倍数，先求最小公倍数，再找 50 以内最大的公倍数。 【详解】 6、8、12 的最小公倍数是 24 50 以内最大公倍数：（人） 答：这个班最多有 48 人。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数 1.倍数与因数的意义与基础应用： ---- 在非零自然数范围内研究倍数与因数：若（均为非 0 自然数），则是的因数，是的倍数。一个数的因数个数有限，最小因数是 1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。可通过列举法找一个数的因数与倍数，解决平均分、分组等实际问题。 2.2、5、3 的倍数特征应用： ---- 2 的倍数：个位是 0、2、4、6、8；5 的倍数：个位是 0 或 5；3 的倍数：各位上数字之和是 3 的倍数。同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0。利用倍数特征可快速判断数的属性，解决分组、分配、排列数字类问题。 3.质数与合数的实际应用： ---- 质数：只有 1 和它本身两个因数；合数：除了 1 和它本身还有其他因数；1 既不是质数也不是合数。解决实际问题时，可通过分解因数、列举质数的方法，结合和差关系找到符合条件的质数，常用于图形边长、数字拆分等场景。 4.最大公因数的实际应用： ---- 几个数公有的因数叫公因数，其中最大的叫最大公因数。当题目出现 “最多分几份”“最长 / 最大是多少”“没有剩余” 等关键词时，通常是求几个数的最大公因数，常见于分物品、裁剪图形、分组等场景。 5.最小公倍数的实际应用： ---- 几个数公有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。当题目出现 “再次同时”“至少再过多久”“最少有多少” 等关键词时，通常是求几个数的最小公倍数，常见于行程相遇、周期重复、排队集合等场景。 类型 1 因数与倍数基础应用 典型例题 1：有 48 块糖果，平均分给若干个小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？（人数大于 1） 【分析】正好分完说明小朋友的人数是 48 的因数，找出 48 所有大于 1 的因数即可。 【变式训练】一个数既是 12 的倍数，又是 36 的因数，这个数最大是多少？最小是多少？ 类型 2 2、5、3 的倍数特征应用 典型例题 2：水果店运来一批苹果，每 2 个装一袋、每 3 个装一袋、每 5 个装一袋都正好装完。这批苹果最少有多少个？ 【分析】同时是 2、3、5 的倍数，就是求这三个数的最小公倍数，个位是 0 且各位和是 3 的倍数，最小的数就是它们的最小公倍数。 【变式训练】从 0、4、5、7 四个数字中选三个组成三位数，同时是 2、3、5 的倍数，这样的三位数有哪些？ 类型 3 质数与合数的应用 典型例题 3：两个质数的和是 20，积是 91。这两个质数分别是多少？ 【分析】先把 91 分解成两个数相乘的形式，再判断哪组因数都是质数，且和为 20。 【变式训练】一个长方形的长和宽都是质数，周长是 40 厘米。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 类型 4 最大公因数的实际应用 典型例题 4：有两根铁丝，一根长 42 厘米，一根长 56 厘米。把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？ 【分析】截成同样长且无剩余，求最长长度就是求 42 和 56 的最大公因数；再分别算两根截的段数，相加得总段数。 【变式训练】用长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少块瓷砖？ 类型 5 最小公倍数的实际应用 典型例题 5：甲、乙两人到图书馆借书，甲每 6 天去一次，乙每 9 天去一次。如果 3 月 5 日他们同时去了图书馆，下次两人同时去图书馆是几月几日？ 【分析】先求 6 和 9 的最小公倍数，得到间隔天数，再从 3 月 5 日往后推算日期。 【变式训练】幼儿园小朋友做游戏，分成 6 人一组或 8 人一组都正好分完。如果总人数在 50 人以内，最多有多少个小朋友？ A夯实基础 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（ ）。 A．8 和 2 B．4 和 0.5 C．2 和 12 D．3 和 7 2．一个数既是 9 的倍数，又是 9 的因数，这个数是（ ）。 A．1 B．3 C．9 D．18 3．同时是 2、3、5 的倍数的最小两位数是 ()，最大两位数是 ()。 4．20 以内的质数一共有 ( ) 个。 5．12 和 18 的最大公因数是 ()，最小公倍数是 ()。 6．有 36 个橘子，平均分给几个小朋友，每个小朋友分 4 个，可以分给多少个小朋友？ 7．一个长方形的面积是 24 平方厘米，长和宽都是整厘米数，长和宽分别可能是多少厘米？ B培优拔高 8．五（1）班有 40 多人，做广播操时排成 8 人一排或 12 人一排都正好排完。五（1）班有多少人？ 9．把长 60 厘米、宽 45 厘米的长方形彩纸剪成同样大的正方形，没有剩余，正方形边长最大是多少厘米？能剪多少个？ 10．两个连续自然数的和是 17，这两个数的最大公因数和最小公倍数分别是多少？ 11．有一堆桃子，3 个 3 个地数余 2 个，4 个 4 个地数余 2 个，5 个 5 个地数也余 2 个。这堆桃子最少有多少个？ 12．用 10 以内的质数组成一个三位数，使它同时是 3 和 5 的倍数，这个数最小是多少？最大是多少？ 13．有三根绳子，分别长 12 米、18 米、24 米。现在要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长多少米？一共可以截成多少段？ 14．一个数在 100 以内，且比 24 的倍数多 15，这个数最大是多少？ C思维拓展 15．甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈用 4 分钟，乙跑一圈用 6 分钟，丙跑一圈用 8 分钟。三人同时从起点出发，至少经过多少分钟三人再次在起点相遇？ 16．两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，其中一个数是 12，另一个数是多少？ 17．有一盒玻璃球，4 个 4 个地数多 3 个，6 个 6 个地数多 5 个，9 个 9 个地数多 8 个。这盒玻璃球最少有多少个？ 18．把一张长 36 厘米、宽 24 厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米的正方形，且没有剩余。一共有多少种不同的剪法？边长最大是多少厘米？ 19．两个自然数的和是 50，它们的最大公因数是 5，这两个数分别是多少？ 20．一个班学生人数不足 50 人，分别按 6 人、8 人和 12 人分组，学生都正好分完。这个班最多有多少人？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $