第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，强化抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|定义、系数、解法、根的判别式等|第12题结合新能源汽车降价（时代情境），第8题关联菱形面积（几何应用）| |填空题|4/8|传染问题、动点面积、参数取值范围|第16题以传染问题考查建模，第18题动点问题融合几何与方程| |解答题|8/62|解方程、实际应用、根与系数关系、换元法|第23题销售盈利问题（模型意识），第27题换元法（转化思想），第26题等腰三角形与方程综合（推理能力）|

第二十五章一元二次方程单元测试卷 参考答案与解析 (全卷三个大题，共：8页：满分：100分：120分钟) 注意事项： 本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、 草稿纸上作答无效. 一、选择题（共15题，每题2分，共30分) 题号 y 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B 8 C B D D A D C C 题号 11 12 13 14 15 答案 D A B C A 二、填空题（共4题，每题2分，共8分) 16.10 .2号 18.1 19.2028 三、解答题（共8小题，共62分） 20.(8分) (1)x2+12x+27=0 (x+3)(x+9)=0 X=-3,x2=-9 (2)3x2+10x+5=0 a=3,b=10,c=5 △=b2-4ac=100-4×3×5=40 x=-J0±V40 2×3 x=-5+i0x=5-i0 3 (3)3x(x-1)=2-2x 3x2-x-2=0 (3x+2)(x-1)=0 =5=3 3； (4)(3x+1}-9=0 (3x+1)=32 3x+1=±3 4 2 x=36=3: 21.(6分) 2-(k+4)x+k+3=0 (1)证明：，方程 a=1.b=-(k+4)c=k+3 △=b2-4ac=[-(k+4)]-4×1x(k+3)=k2+4k+4=(k+2)2≥0 ∴无论k为何值，该方程总有两个实数根， (2)解：由方程 2-(k+4)x+k+3=0a(x-1)(x-k-3)=0 得 x-1=0或x-k-3=0. x=1x2=k+3 ,方程有一个根为负数， k+3<0 k<-3 ∴.k的取值范围是k<-3, 22.(6分) 解：(1)x2-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 x=1或x=3: (2)当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为V3+了=V0】 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为32-下=22 答：第三边的长是0成25 或 23.(8分) (1)解：设每箱桃子应降价x元，则销售量为 20+2x)箱，每件的利润 40-元 故(40-(20+2)=120 解得=10.专=20 要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价20元， (2)解：平均每天销售桃子盈利不能达到1500元；理由如下： 设每箱桃子降价V元时，销售桃子的盈利为1500元， 故(40-20+2y)）=150 整理得2少+60y-700=0 :△=602-4×(-2)x(-700)=-2000<0 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到1500元. 24.(7分) (1)解：：于*的一元二次方程-2x+-1=0有两个实数根和 :△=B-4ac=4-4x1xk-1≥0 .k≤2： X1+x2=2x2=k-1 (2)由根与系数得关系可知， +考-55<4 2-(k-1)<4 .k>-1 由(1)知k≤2， -1<k≤2， ∴.k的整数值有0,1,2. 25.(7分) (1)解：由题意得： △=b2-4ac=22-4×1×(m-1)≥0 即4-4(m-1)20 解得m≤2， 则m的取值范围为m≤2； 心）由韦达定理可知：+=6=-2,3m- a 若++3x-1=0 由+=(6+广-25可得G+-2+3-1=0, 即+广+x-1=0 b 将+x2=- =-2,xx=m-1代入得：（-2+(m-)-1=0, a 即m+2=0, 解得m=-2, 由(1)可知m≤2，故m=-2符合题意， 因此，m的值为-2. 26.(10分) (1)证明：由题意得，△=(-2m-4×1x(m2-1)=4>0 ∴方程有两个不相等的实数根： (2)解：x2-2mx+m2-1=0, [x-(m+1)][x-(m-1]=0 解得=m+1戈=m-1 当m+1=3时，解得m=2,m-1=2-1=1, 此时等腰三角形三边分别为1,3,3， 1+3>3, .此时能构成三角形， 1+3+3=7(cm) ∴.△ABC的周长为7cm; 当m-1=3时，解得m=4,m+1=4+1=5, 此时等腰三角形三边分别为3,3,5， 3+3>5, ∴此时能构成三角形， 5+3+3=11(cm) .△ABC的周长为llcm: 综上可知，△ABC的周长为7cm或11cm. 27.(10分) (1)解：(3x-5+43x-5)+3=0 把3x-5看做一个整体，设3x-5=y y2+4y+3=0 则原方程可化为 解得=-3，为=-1 ∴.3x-5=-3或者3x-5=-1 (2)解：x4-x2-6=0 把看做整体，设 =y y2-y-6=0 则原方程可化为 解得%=3⅓=-2 :=5.=-5 第二十五章 一元二次方程单元测试卷 （全卷三个大题，共：8页；满分：100分；120分钟） 注意事项： 本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共15题，每题2分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 3．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 4．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A．2或 B．2 C． D．0 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 6．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 10．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 11．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 12．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 13．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 14．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 15．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 二、填空题（共4题，每题2分，共8分） 16．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了___________人． 17．已知方程有实数根，则k的取值范围是_______ 18．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 19．已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 三、解答题（共8小题，共62分） 20．（8分）解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 22．（6分）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 23．（8分）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 24．（7分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 25．（7分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 26．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 27．（10分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $