第12讲 幂函数讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第12讲 幂函数 目录 一、幂函数的概念 2 二、常见幂函数的图象与性质 2 题型1判断函数是否为幂函数 4 题型2求幂函数的解析式或函数值 4 题型3幂函数的定义域 5 题型4幂函数的值域 7 题型5幂函数的图象 7 题型6幂函数过定点问题 9 题型7根据幂函数的单调性求参数 10 题型8幂函数复合函数的单调性 11 题型9利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 12 01 学习新知 一、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 二、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)幂函数的奇偶性 （4）图象： ，图象过原点，且在， ，图象不过原点，且在 02 经典题型 题型1判断函数是否为幂函数 1. 下列函数中是幂函数的有(　　) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 答案　A 解析　因为y==x-2，所以A项是幂函数；y=2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0，1)，所以D项不是幂函数. 2. （多选）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，不是幂函数. 故选：BD 3. 以下结论中，错误的为(　　) A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案　ABC 解析　当α=0时，函数y=xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y=xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确. 题型2求幂函数的解析式或函数值 4. 若幂函数的图象过点(16，2)，则该幂函数的解析式是(　　) A.y=x4 B.y= C.y=x8 D.y= 答案　B 解析　设y=xα，则16α=2，∴α=∴y=. 5. 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 答案　16 解析　设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16. 6. 已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由题知，解得，，故选：C. 7. 已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 解　由题意得 解得 所以m=-3或m=1，n=. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】/ 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以 故答案为： 题型3幂函数的定义域 9. 给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④.故选：C 10. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是.故选：B 11. 若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 题型4幂函数的值域 12. 已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数的图像过点，，解得， ， 的值域是.故选：D. 13. 函数的值域为 . 【答案】 【详解】时，，时，， 所以的值域为.故答案为： 题型5幂函数的图象 14. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2-2 C.--2，2 D.2-2，- 答案　B 解析　根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y=xn递增的速度越快，故C1的n=2，曲线C2的n=；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-曲线C4的n=-2. 15. 如图，函数y=y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x-2 答案　B 解析　因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分， 所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，所以α<0， 又易知当x=2时，f(x)>故B符合题意. 16. 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 答案　B 解析　由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增，所以m>0， 由于y=xm的图象增长的越来越慢，所以m<1， y=xn在(0，+∞)上单调递减，所以n<0， 又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方，所以n<-1. 17. 函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除AB， 因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误. 故选：C 题型6幂函数过定点问题 18. 函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 19. 已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 【答案】 【详解】因为的图象恒过， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 20. 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 题型7根据幂函数的单调性求参数 21. 幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 22. 幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 23. 当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，因为函数在为减函数， 所以，解得； 当时，因为函数在为减函数， 所以函数在为增函数， 所以，解得或（舍）； 综上m的取值范围为，故选：C. 题型8幂函数复合函数的单调性 24. 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 25. 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由得，又， 所以函数的单调递减区间为. 故选：． 题型9利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 26. 比较下列各组数中两个数的大小： ①； ②； ③. 解　①因为幂函数y=x0.3在(0，+∞)上是增函数，又所以. ②因为幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，又-<-所以. ③因为幂函数y=在(0，+∞)上单调递增， 又2<所以即. 27. 已知f(x)=若0<m<n<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(m)<f(n)<f <f  B.f <f <f(n)<f(m) C.f(m)<f(n)<f <f  D.f <f(m)<f <f(n) 答案　B 解析　因为f(x)=在(0，+∞)上单调递减，且0<m<n<1，所以0<m<n<1<所以f <f<f(n)<f(m). 28. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可 【详解】因为的图象过点 所以，解得所以在定义域上递减 故解得故答案为： 29. 已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　①因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=图象过点(4，2)； 当m=0时，f(x)=图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)=. ②函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下： 设x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)= 因为0≤x1<x2，所以<0， 即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. ③因为函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f(a+1)>f(2a-3)，则解得≤a<4. 所以a的取值范围为. 30. 幂函数f(x)=(m2-2m+1)在定义域上为减函数. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　(1)∵f(x)=(m2-2m+1)为幂函数， ∴m2-2m+1=1， ∴m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=在定义域上为增函数，不符合题意； 当m=0时，f(x)=在定义域上为减函数，符合题意. 综上，f(x)=. (2)∵f(x)=在定义域(0，+∞)上为减函数且f(a+1)>f(2a-3)， 则解得a>4， ∴a的取值范围为(4，+∞). 31. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由于函数是幂函数，故， 解得或， 当时，不是偶函数，不合题意； 当时，是偶函数，符合题意.故. （2）由（1）知，则原不等式化为， 结合幂函数在上为增函数，得， 解得，即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数 目录 一、幂函数的概念 2 二、常见幂函数的图象与性质 2 题型1判断函数是否为幂函数 4 题型2求幂函数的解析式或函数值 4 题型3幂函数的定义域 5 题型4幂函数的值域 7 题型5幂函数的图象 7 题型6幂函数过定点问题 9 题型7根据幂函数的单调性求参数 10 题型8幂函数复合函数的单调性 11 题型9利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 12 01 学习新知 一、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 二、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)幂函数的奇偶性 （4）图象： ，图象过原点，且在， ，图象不过原点，且在 02 经典题型 题型1判断函数是否为幂函数 1. 下列函数中是幂函数的有(　　) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 2. （多选）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3. 以下结论中，错误的为(　　) A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 题型2求幂函数的解析式或函数值 4. 若幂函数的图象过点(16，2)，则该幂函数的解析式是(　　) A.y=x4 B.y= C.y=x8 D.y= 5. 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 6. 已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 7. 已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 题型3幂函数的定义域 9. 给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 10. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 11. 若幂函数的定义域为，求实数的值. 题型4幂函数的值域 12. 已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 13. 函数的值域为 . 题型5幂函数的图象 14. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2-2 C.--2，2 D.2-2，- 15. 如图，函数y=y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x-2 16. 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 17. 函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   题型6幂函数过定点问题 18. 函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 19. 已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 20. 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 题型7根据幂函数的单调性求参数 21. 幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 22. 幂函数在上是减函数，则的值为 ． 23. 当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8幂函数复合函数的单调性 24. 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 25. 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型9利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 26. 比较下列各组数中两个数的大小： ①； ②； ③. 27. 已知f(x)=若0<m<n<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(m)<f(n)<f <f  B.f <f <f(n)<f(m) C.f(m)<f(n)<f <f  D.f <f(m)<f <f(n) 28. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 29. 已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 30. 幂函数f(x)=(m2-2m+1)在定义域上为减函数. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 31. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $