13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦三角形中线、角平分线、高的定义、画法及性质，涵盖重心、内心、垂心概念。课堂导入通过回顾上节课三边关系和内角和定理，以提问引出特殊线段，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于合作探究环节引导学生动手画图观察交点，培养几何直观与空间观念（数学眼光），错误诊所辨析易错点提升推理意识（数学思维），分层检测结合中考链接，数学文化长廊联系实际应用，发展模型意识与应用意识（数学语言），助力学生全面掌握知识与素养。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、学习目标 1. 掌握三角形中线、角平分线和高的定义，能准确画出三种线段。 2. 理解重心、内心、垂心的概念，知道三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高所在直线交于垂心。 3. 掌握中线、角平分线、高的性质，并能运用其性质解决有关角度和面积的问题。 4. 能正确画出钝角三角形的高，理解不同三角形高的位置特征。 二、学习重点与难点 学习重点：掌握三角形中线、角平分线和高的定义和画法；理解重心、内心、垂心的概念和性质。 学习难点：钝角三角形高的画法；综合运用三种线段的性质求角度和面积；区分三角形的角平分线与角的平分线。 三、情境导入 回顾上节课学习的三角形三边关系和三角形内角和定理，我们知道三角形中有许多重要的特殊线段。除了边和角之外，三角形中还有哪些特殊的线段呢？ 在三角形中，连接顶点与对边中点的线段叫做中线；平分三角形一个内角的线段叫做角平分线；从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做高。 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE是∠BAC的角平分线，AF是边BC上的高。本节课我们将深入研究这三种重要的线段。 四、合作探究 探究一：三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 如图，在△ABC中，D是BC的中点，则AD是BC边上的中线。此时BD=CD=½BC。 动手画图：在下面的△ABC中，画出三条中线AD、BE、CF，观察它们有什么特点？ 性质总结： • ① 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 • ② 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 • ③ 重心将每条中线分成2:1的两段（从顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍）。 符号语言： ∵ AD是△ABC中BC边上的中线 ∴ BD = CD = ½BC 探究二：三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 辨析：三角形的角平分线是线段（从顶点到对边的交点），而角的平分线是射线，二者含义不同！ 动手画图：在下面的△ABC中，画出三条角平分线AD、BE、CF，观察它们有什么特点？ 性质总结： • ① 三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做三角形的内心。 • ② 内心到三角形三边的距离相等。 • ③ 三角形的角平分线始终在三角形内部。 符号语言： ∵ AE是△ABC中∠BAC的角平分线 ∴ ∠BAE = ∠CAE = ½∠BAC 探究三：三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 动手画图：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，观察高的位置和交点。 性质总结： 三角形类型 三条高的位置 交点（垂心）位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 垂心在三角形内部 直角三角形 两条高恰好是直角边，另一条在内部 垂心在直角顶点 钝角三角形 两条高在三角形外部，一条在内部 垂心在三角形外部 • 三角形的三条高所在直线交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。 • 锐角三角形的垂心在内部；直角三角形的垂心在直角顶点；钝角三角形的垂心在外部。 符号语言： ∵ AD是△ABC中BC边上的高 ∴ AD⊥BC，∠ADB = ∠ADC = 90° 五、典型例题 例题1（概念辨析——高） 在△ABC中，下列四个图形中，表示边BC上的高的是（ ） A. 从顶点A向BC作垂线段AD，D在BC上 B. 从顶点B向AC作垂线段BE，E在AC上 C. 从顶点C向AB作垂线段CF，F在AB上 D. 从顶点A到BC中点D的连线AD 例题2（中线与周长差） 如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3。求△ABD的周长与△ACD的周长之差。 ______________________________ ______________________________ 例题3（角平分线+高求角） 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线。已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的度数。 ______________________________ ______________________________ 例题4（中线与面积） 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点。若△ABC的面积为8，求△BEC的面积。 ______________________________ ______________________________ 六、错误诊所 判断下列说法是否正确，并说明理由： 辨析1：小明说："钝角三角形的三条高都在三角形外部。" 纠正：钝角三角形有两条高在外部（从两个锐角顶点向对边作的高），但从钝角顶点向对边作的高在三角形内部。因此钝角三角形并非三条高都在外部。 辨析2：小红认为："三角形的角平分线就是角的平分线。" 纠正：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段（从顶点到对边交点之间的部分）。二者本质不同，不能混为一谈。 辨析3：小刚认为："三角形的高、中线、角平分线都在三角形内部。" 纠正：中线和角平分线确实在三角形内部，但高不一定。钝角三角形有两条高在外部，直角三角形有两条高恰好是直角边。只有锐角三角形的三条高都在内部。 七、达标检测 A组 · 基础达标 A1. 三角形的重心是三角形三条____的交点。 A. 角平分线 B. 中线 C. 高 D. 垂直平分线 A2. 能把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ ） A. 三角形的高 B. 三角形的角平分线 C. 三角形的中线 D. 无法确定 A3. 如图，AD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为____。 A4. 三角形三条高线所在直线交点在三角形外部的是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 都有可能 A5. 如图，AE为△ABC的中线，AB=8cm，AC=6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为____cm。 B组 · 能力提升 B1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC的重心，连结BP、CP，则△BPC的面积为____。 B2. 在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长的差。 ______________________________ ______________________________ B3. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则阴影部分（△BEF）的面积为____。 C组 · 核心素养拓展 C1. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高。 （1）若AB=AC=10，DE=3，DF=5，求CG。 ______________________________ （2）DE、DF、CG之间存在着怎样的等量关系？请加以证明。 ______________________________ ______________________________ 中考链接 ZK1. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD与CE交于点H，求∠BHC的度数。 ______________________________ ______________________________ 八、数学文化长廊 三角形特殊线段在建筑与生活中的应用 三角形的中线、角平分线和高不仅是几何学中的重要概念，还在建筑、工程、导航等领域有着广泛的应用。 重心与建筑平衡： 在建筑设计中，确定结构的重心位置至关重要。重心是三角形三条中线的交点，它决定了物体的平衡点。工程师在建造桥梁和高楼时，需要精确计算结构的重心，以确保建筑物的稳定性和安全性。例如，吊车的配重设计就需要用到重心的概念。 角平分线与导航： 在航海和航空导航中，角平分线的性质被广泛运用。当需要从两个已知方向确定中间航线时，角平分线就派上了用场。GPS定位系统也会利用角度关系来确定位置。 高线与测量： 测量山高、河宽时，"高"的概念是核心工具。古人利用相似三角形中对应高的比例关系来测量不可到达的距离。现代测量仪器（如经纬仪）也基于三角函数中高度与角度的关系来工作。 思考：为什么起重机的吊臂在负重时，需要计算力臂（支点到力的作用线的垂线段，本质上就是"高"的概念）来确定力矩？这与三角形的高有什么关系？ 九、课堂小结 三种线段的对比： 线段 定义 交点名称 位置特征 中线 连接顶点与对边中点的线段 重心 始终在三角形内部 角平分线 顶点到对边交点间的线段（平分内角） 内心 始终在三角形内部 高 顶点到对边所在直线的垂线段 垂心 锐角三角形：内部 直角三角形：两条为直角边 钝角三角形：两条在外部 核心性质： • 中线性质：三条中线交于重心；中线将三角形分成面积相等的两部分。 • 角平分线性质：三条角平分线交于内心；内心到三边距离相等。 • 高的性质：三条高所在直线交于垂心；垂心位置随三角形类型而变。 十、课后反思 1. 如何区分三角形的中线、角平分线和高？它们各有什么性质？ 2. 为什么钝角三角形有两条高在外部？如何正确画出钝角三角形的高？ 3. 中线分三角形面积相等的性质如何应用于解题？你能举出一个具体例子吗？ 参考答案 五、典型例题 例题1：选A。边BC上的高是从顶点A向BC所在直线作垂线，顶点A与垂足D之间的线段AD。B选项描述的是AC边上的高，C选项描述的是AB边上的高，D选项描述的是中线。 例题2： 解：∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD = CD △ABD的周长 = AB + BD + AD = 5 + BD + AD △ACD的周长 = AC + CD + AD = 3 + CD + AD ∵ BD = CD ∴ △ABD的周长 - △ACD的周长 = (5 + BD + AD) - (3 + CD + AD) = 5 - 3 = 2 ∴ △ABD的周长与△ACD的周长之差为2。 例题3： 解：∵ AD是△ABC的高 ∴ ∠ADC = 90° 在△ADC中：∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 90° - 40° = 50° ∵ AE是∠BAC的角平分线，∠BAC = 82° ∴ ∠EAC = ½∠BAC = ½ × 82° = 41° ∴ ∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 50° - 41° = 9° 例题4： 解：∵ D是BC的中点 ∴ S△ABD = S△ACD = ½ × S△ABC = ½ × 8 = 4 ∵ E是AD的中点 ∴ S△BDE = ½ × S△ABD = ½ × 4 = 2 S△CDE = ½ × S△ACD = ½ × 4 = 2 ∴ S△BEC = S△BDE + S△CDE = 2 + 2 = 4 七、达标检测 A组 A1. 选B。三角形的重心是三条中线的交点。 A2. 选C。三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。因为中线连接顶点与对边中点，两个小三角形等底同高，所以面积相等。 A3. 9。 解：∵ AD是△ABC的中线，∴ BD = CD △ACD的周长 = AC + CD + AD = 3 + CD + AD = 8 ∴ CD + AD = 5 △ABD的周长 = AB + BD + AD = 4 + BD + AD ∵ BD = CD，∴ BD + AD = CD + AD = 5 ∴ △ABD的周长 = 4 + 5 = 9 A4. 选B。钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高所在直线的交点（垂心）在三角形外部。 A5. 22cm。 解：∵ AE是△ABC的中线，∴ BE = CE △ACE的周长 = AC + CE + AE = 6 + CE + AE = 20 ∴ CE + AE = 14 △ABE的周长 = AB + BE + AE = 8 + BE + AE ∵ BE = CE，∴ BE + AE = CE + AE = 14 ∴ △ABE的周长 = 8 + 14 = 22（cm） B组 B1. 4。 解：S△ABC = ½ × AB × BC = ½ × 6 × 4 = 12 ∵ P是△ABC的重心 ∴ 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形 ∴ S△BPC = ⅓ × S△ABC = ⅓ × 12 = 4 B2. 2cm。 解：∵ AD是BC边上的中线，∴ BD = CD △ABD的周长 = AB + BD + AD △ACD的周长 = AC + CD + AD △ABD的周长 - △ACD的周长 = (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 5 - 3 = 2（cm） B3. 4。 解：∵ D是BC的中点 ∴ S△ABD = S△ACD = ½ × S△ABC = ½ × 16 = 8 ∵ E是AD的中点 ∴ S△BDE = ½ × S△ABD = ½ × 8 = 4 S△CDE = ½ × S△ACD = ½ × 8 = 4 ∴ S△BCE = S△BDE + S△CDE = 4 + 4 = 8 ∵ F是CE的中点 ∴ S△BEF = ½ × S△BCE = ½ × 8 = 4 C组 C1.（1）CG = 8。 解：连接AD。 S△ABC = S△ABD + S△ACD ½ × AB × CG = ½ × AB × DE + ½ × AC × DF ∵ AB = AC = 10 ∴ ½ × 10 × CG = ½ × 10 × 3 + ½ × 10 × 5 ∴ CG = 3 + 5 = 8 （2）DE + DF = CG。 证明：连接AD。 S△ABC = S△ABD + S△ACD ½ × AB × CG = ½ × AB × DE + ½ × AC × DF ∵ AB = AC ∴ ½ × AB × CG = ½ × AB × DE + ½ × AB × DF ∴ CG = DE + DF 中考链接 ZK1. ∠BHC = 120°。 解：∵ BD是AC边上的高，CE是AB边上的高 ∴ ∠BD⊥AC，CE⊥AB ∴ ∠ADH = ∠AEH = 90° 在四边形AEHD中： ∠EHD = 360° - ∠AEH - ∠ADH - ∠A = 360° - 90° - 90° - 60° = 120° ∵ ∠BHC = ∠EHD（对顶角相等） ∴ ∠BHC = 120° 学科网（北京）股份有限公司 $