26.2二次函数的图象和性质分类训练暑假预习2026-2027学年九年级数学上册人教版

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过八类题型系统整合顶点坐标、平移等核心考点，以题载法，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |顶点坐标|4题|顶点公式/对称轴求交点|概念生成：从顶点坐标切入图象基础| |平移|5题|“左加右减，上加下减”规律|性质应用：平移对解析式的影响| |对称性|5题|对称轴性质应用|性质深化：对称点与对称轴关系| |最值|5题|开口方向与顶点最值|性质应用：最值的代数与几何意义| |增减性|5题|对称轴与开口方向判断|性质深化：函数增减的区间规律| |系数符号|3题|图象位置判断a,b,c符号|图像与系数：形数结合推理| |待定系数法|3题|设一般式/顶点式/交点式|解析式求解：根据条件选设形式| |与一次函数综合|4题|联立方程/图象交点分析|综合应用：函数模型的实际运用|

26.2 二次函数的图象与性质分类训练 题型一、二次函数的顶点坐标 1.下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A.对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 3.将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4.二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 题型二、二次函数的平移 1.如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 2.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（   ） A． B． C． D． 3.若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4.如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 5.已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将二次函数的图象向上平移6个单位，向右平移m个单位后恰好经过点B，求m的值； 题型三、二次函数的对称性 1抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2.如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 3.已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 4.如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 5.如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为 ． 题型四、二次函数的最值 1.二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2.在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 3.已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　　 ． 4.如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 5.已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，若使最大，求点的坐标和此时的最大面积； 题型五、二次函数的增减性 1.若点、在二次函数的图象上，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3.已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 4.已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 5.已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)填表，并画出此函数的图象； x … … y … … (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型六、二次函数图象与各项系数符号的关系 1.已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3.如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七、待定系数法求二次函数的解析式 1.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，则抛物线的解析式是_______． 2.二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 3.如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． 题型八、与一次函数的综合题 1.在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（    ） A．B．C． D． 2.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3.已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 4.【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 26.2 二次函数的图象与性质分类训练 题型一、二次函数的顶点坐标 1.C 2.C 3.D 4.（1）①；② （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 题型二、二次函数的平移 1. 2.B 3.A 4.D 5.（1）解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的表达式化为顶点式是； 根据题意，平移后的二次函数的表达式为； 平移的抛物线经过点， ， ， 解得：舍去或， 即m的值为； 题型三、二次函数的对称性 1.A 2. 3. 4. 36 5. 题型四、二次函数的最值 1.A 2.D 3. ﹣16或2． 4.（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； 5.（1）解：由抛物线与轴交于点、两点，设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设直线解析式为，把、代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， 由 = = = ， 当时，有最大值，此时， ∴点的坐标为，最大面积为. 题型五、二次函数的增减性 1.C 2.D   3.B　 4. 5.（1）解：由题意得， ， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表如下： x … 0 … y … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）解：由函数图像可知，当时，或． 题型六、二次函数图象与各项系数符号的关系 1.B  2.D   3.D  题型七、待定系数法求二次函数的解析式 1. 2.（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）． 3.（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，. 题型八、与一次函数的综合题 1.C  2.B   3.（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （2） 如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 4.（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； （2）①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 学科网（北京）股份有限公司 $